1.1.2 空间向量基本定理 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 本同步练习围绕空间向量基本定理，构建基础-提升-综合三级分层体系，通过概念辨析、空间表征到复杂应用的递进路径，培养空间观念与推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|基底判定、共线共面向量|选择填空为主，如基底概念辨析题，强化符号意识| |提升层|空间向量线性表示|★标记题（如四面体中点向量表示），突出几何直观| |综合层|几何体中向量应用|解答题（如平行六面体、正四面体问题），发展模型观念与运算能力|

1.1.2　空间向量基本定理 1.已知点M 在平面ABC 内,并且对于空间任意一点O,都有=x-+ ,则x 的值是 (　 ) A. B. C. D. 2.[2026·广东江门高二期中] 若{e1,e2,e3}是空间向量的一组基底,且向量a=e1+e2,b=e2-e3,c=e1+te3不能构成空间向量的一组基底,则t= (　 ) A.-1 B.1 C.0 D.-2 ★3.已知在四面体ABCD中,M,N分别是BC,AD的中点,设=a,=b,=c,则=(　 ) A.(-a+b+c) B.(a+b-c) C.(a-b+c) D.(-a-b+c) 4.在四面体OABC中,=2,=3,则= (　 ) A.-++ B.-+- C.-+- D.-+- 5.已知空间向量a,b,且=3a+6b,=-10a+12b,=14a-4b,则一定共线的三点是(　 ) A.A,B,C B.B,C,D C.A,B,D D.A,C,D 6.如图所示,若P为平行四边形ABCD所在平面外一点,H为PC上的点,且=,点G在AH上,且=m.若G,B,P,D四点共面,则m= (　 ) A. B.- C. D.- ★7.(多选题)已知空间四点A,B,C,D及空间任意一点O,由下列条件一定可以得出A,B,C,D四点共面的有 (　 ) A.=2+3 B.=3-- C.∥ D.=+3-5 8.在四面体OABC中,M,N分别是BC,OA的中点,设=a,=b,=c,则用基底{a,b,c}表示向量=　　　　　　　　.  9.已知A,B,C三点共线,则对空间中任一点O,若=2+μ,则μ=　　　　;如果存在三个不为0的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n的值为　　　　.  10.(13分)[2026·浙江金华高二月考] 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长均为1,且两两夹角均为60°.记=a,=b,=c. (1)用a,b,c表示,并求||. (2)线段B1C上是否存在点P,使得,,是共面向量?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 11.[2026·陕西汉中高二月考] 在四面体OABC中,OA=1,OB=2,OC=2,∠AOB=∠AOC=∠BOC=,空间一点M满足=-++m,若A,B,C,M四点共面,则||= (　 ) A. B. C. D. 12.(多选题)关于空间向量,以下说法正确的是 (　 ) A.非零向量a,b,若a·b=0,则a⊥b B.若对空间中任意一点O,有=++,则P,A,B,C四点共面 C.空间四个点P,A,B,C,若=+,则A,B,C三点共线 D.设{a,b,c}是空间向量的一组基底,则{a-b,b+c,a+c}也是空间向量的一组基底 ★13.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,=,=,=2,AC1与平面EFG交于点M,则=　　　　.  14.(15分)如图,已知正四面体ABCD的棱长为1,E,F,G,H分别是正四面体ABCD中各棱的中点,设=a,=b,=c. (1)用a,b,c表示,并求EF的长; (2)求与的夹角的大小. 15.在正四棱锥P-ABCD中,若=,=,平面AEF与棱PD交于点G,若=λ,则λ=　　　　.  16.(15分)[2025·长春高二期中] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,M分别是A1D,EC,AA1的中点.设=a,=b,=c. (1)用基底{a,b,c}表示向量. (2)在棱BC上是否存在一点G,使得MF⊥EG?若存在,指出点G的位置;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2　空间向量基本定理 1.D　[解析] 因为M,A,B,C四点共面,且=x-+,所以x-+=1,解得x=.故选D. 2.B　[解析] 因为a=e1+e2,b=e2-e3,c=e1+te3不能构成空间向量的一组基底,所以存在实数x,y使得c=xa+yb,即e1+te3=x(e1+e2)+y(e2-e3),即e1+te3=xe1+(x+y)e2-ye3,因为{e1,e2,e3}是空间向量的一组基底,所以解得故选B. 3.D　[解析] 连接AM,如图,因为=a,=b,=c,M,N分别是BC,AD的中点,所以=+=-+=-(+)+=--+=-a-b+c=(-a-b+c).故选D. [技巧点拨] 用指定的基向量表示空间向量,一般都是应用“走道原理”,即从点M“走”到点N,应用向量的线性运算连接即可. 4.D　[解析] 由题可知=++=-+=(-)-+=-+-.故选D. 5.C　[解析] =3a+6b,=-10a+12b,若A,B,C三点共线,则=λ,即无解,故A错误.=-10a+12b,=14a-4b,若B,C,D三点共线,则=λ,即无解,故B错误.因为=3a+6b,=-10a+12b,=14a-4b,所以=+=4a+8b,所以=,所以A,B,D三点共线,故C正确.因为=3a+6b,=-10a+12b,=14a-4b,所以=+=-7a+18b,若A,C,D三点共线,则=λ,即无解,故D错误.故选C. 6.C　[解析] 由题得=m=m=m=m=++,因为G,B,P,D四点共面,所以++=1,解得m=.故选C. 7.ACD　[解析] 对于A,因为=2+3,所以,,共面,故A,B,C,D四点共面,故A正确;对于B,=3--=3-+,3-1+1≠1,故A,B,C,D四点不共面,故B错误;对于C,因为∥,所以A,B,C三点共线,所以A,B,C,D四点共面,故C正确;对于D,=+3-5=--3+5,-1-3+5=1,故A,B,C,D四点共面,故D正确.故选ACD. [技巧点拨] 判断点共面一般有两种方法:一是共面定理,即四个点确定的三个向量能够线性表示,则四点共面;二是若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任意一点O,有=x+y+z,且x+y+z=1成立,则P,A,B,C四点共面. 8.a-b-c　[解析] 连接OM,则=+=-(+)+=a-b-c. 9.-1　0　[解析] ∵A,B,C三点共线,=2+μ,∴2+μ=1,∴μ=-1.∵λ+m+n=0,∴=--,由A,B,C三点共线知--=1,则λ+m+n=0. 10.解:(1)由题意知|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,∴a·b=b·c=c·a=1×1×cos 60°=. ∵=++=-a+c+b, ∴=(b+c-a)2=b2+c2+a2+2b·c-2b·a-2c·a=1+1+1+1-1-1=2,∴||=. (2)设=t=t(-)=t(b-c),则=+=a+t(b-c). 若,,是共面向量,即存在x,y,使得=x+y,即a+t(b-c)=x(-a+b+c)+y(a+b), 则解得故存在满足题意的点P,且=. 11.B　[解析] 由=-++m,得-=-++m,所以=++m.因为A,B,C,M四点共面,所以++m=1,解得m=,又·=·=1×2×cos=1,·=2×2×cos=2,所以=++=(2++),所以||== = =.故选B. 12.AC　[解析] 对于A,非零向量a,b,若a·b=0,则a⊥b,故A正确;对于B,因为++≠1,所以P,A,B,C四点不共面,故B错误;对于C,因为+=1,所以A,B,C三点共线,故C正确;对于D,因为a+c=a-b+b+c,所以a-b,b+c,a+c是共面向量,所以{a-b,b+c,a+c}不是空间向量的一组基底,故D错误.故选AC. 13.　[解析] 设=λ(0<λ<1),因为=++=3+3+,所以=3λ+3λ+λ,因为M,E,F,G四点共面,所以3λ+3λ+λ=1,解得λ=,所以=. [易错点] 不能够准确地利用共线向量基本定理得到=λ(0<λ<1),进而导致计算受阻. 14.解:(1)因为E,F分别为棱BC,AD的中点, 所以=++=-+=(-)-+=--+=-a-b+c. 因为正四面体ABCD的棱长为1,所以|a|=|b|=|c|=1,且a·b=a·c=b·c=,所以||2==a2+b2+c2+a·b-a·c-b·c=+++×-×-×=,所以||=,即EF的长为. (2)由题意得=++=-++=-++(-)=-++=-a+b+c, 所以·=-(a+b-c)·(a-b-c)=(a2-b2+c2-2a·c)==0, 所以⊥,所以与的夹角为90°. 15.　[解析] ==(+)=(+-).由题知A,E,F,G四点共面,可设=x+y,则+=x(+)+y(+),所以+(+-)=x+x+y +yλ=x+x(-)+y+y(λ-λ),整理可得+ +=0.因为,,不共面,所以解得 16.解:(1)因为=(+)=(-)=b-c,=+=-++=a+b-c,所以=(+)==a+b-c. (2)假设在棱BC上存在点G,使得MF⊥EG,设=λ(0≤λ≤1). 由题得=-=a+b-c+c=a+b-c,=-=+-= a+λb-(b+c)=a+b-c. 因为MF⊥EG,所以·=0,化简得++=0,解得λ=-<0, 所以在棱BC上不存在一点G,使得MF⊥EG. 学科网（北京）股份有限公司 $