周周练3 章末检测——空间向量与立体几何-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（人教B版）

这是一份高中数学空间向量与立体几何的周测资料，包含8道单选、3道多选、3道填空及5道解答题，覆盖射影、方向向量、线面垂直等核心知识点，解析详细，提供坐标法、向量法等解题支架。 资料特色鲜明，通过正方体、折叠问题等模型培养空间观念（数学眼光），借助方程推理、法向量计算提升逻辑思维（数学思维），利用向量坐标表达强化数学语言应用，能帮助学生巩固知识，为教师教学提供针对性反馈。

周周练3 章末检测 空间向量与立体几何 周周练 2 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.(2026榆林月考)已知点B是点A(2,3,1)在坐标平面Oxy内的射影，则 10B 1=(C) A.V5 B.V10 C.V13 D.4 ①②34⑤6⑦8⑨10012131415161⑦1819 周周练 3 解析：根据题意点A(2,3,1)在坐标平面Oy内的射影为点B(2,3,0),所 以0B|=V22+32=V13. ①②3456⑦8⑨101①12131415161⑦1819 周周练 4 2.(2026烟台期中)若向量p在基底{a,b,c下的坐标为(2,4， 3),则p在基底{a一b,a+b,;下的坐标为() A·(-1,3,3) B.(3,-1,3) C.(-3,1,3) D.(1,-3,3) ①②34⑤6⑦89101①1213141⑤161⑦1819 周周练 5 解析：由题意p=2a+4b+3c,令p=x(a-b)+y(M+b)+c=2a+4b+3c, x+y=2, x=-1, 所以y一x=4,解得y=3, 所以p在基底{a一b,M十b,c}下的坐标为 z=3, z=3, (-1,3,3). ①234⑤6⑦8101①1213141⑤161⑦1819 周周练 6 3.已知直线1的方向向量为v=(1,2,一4)，平面a的一个法向量为n=(x, 1,一2)，若直线1与平面a垂直，则实数x的值为(D) A.-10 B.10 c.-2 D.2 kx=1, 解析：因为直线I与平面a垂直，故v∥n.设v=kn且k∈R,即k=2, -2k=-4, 解得= ①2③4⑤6⑦891011213141⑤161⑦1819 周周练 7 4.(2026·朝阳月考)已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任 意一点P,都有A0=一3PA+5P市+mC求，则实数m的值为(D) A.-2 B.-1 C.0 D.2 ①②3④⑤6⑦8⑨101①1213141⑤161⑦1819 周周练 8 解析：由A=一3PA+5P3+mC产，得P0-P=一3Pi+5P3 mP乙，所以P立=-2Pi+5PB一mP元，动，点Q在△4BC所在平面内运 动，可知Q,A,B,C四，点共面，由空间中四点共面的向量定理可知，一2 +5-m=1,解得m=2. 123④56⑦8910112131415161⑦1819 周周练 9 5.(2026·济宁期中)在空间直角坐标系中，0为坐标原点，已知A(1,2,3), B(2,一1,0)，C3,6,一5)，则三棱锥OABC的体积为(D) 25 25 A. 24 B. 12 C. 35 6 D. 35 3 1②34⑤6⑦891011213141516171819 周周练 10 解析：由题可得0A=(1,2,3),0i=(2,-1,0),0C=(3,6,-5), 因为A0i=1×2+2X(-1)+3×0=0,所以0A⊥0B,所以0A⊥0B, 即△0AB为直角三角形，又0A|=V1+22+32=V14,OB|=4+1= N5,所以△01B的面积为S=2×14×V5=0,设平面01B的法向 量为n=(x,y,), 1②34⑤6⑦891011213141516171819 周周练 11 则 m-0A=x+2y+3z=0, n0B=2.x-y=0, 令x=1,得=2，=-，故n=1,2,—到， 25 所以，点C到平面0B的距离日=l定山_ +12+ Inl V70 =V70,则三棱锥 3 0HBC约体表a1=c0=-号×Y0 ×70 35 3 1234⑤6⑦8©101①12131415161⑦1819 1周周练 12 6.(2026佛山月考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形， 过点A的平面a分别与棱PB,PC,PD交于点E,F,G,若PB=2P它， 成=3元，则既=(A) G A. 14 2 E 1 A 3 D D 123)4(5678 9(10(11(12(13141516171819 周周练 13 P E 解析：设C =,连接AF,如图， B 则A尔=护十P市=A护十P心=+(B十茄-心)=B 十 AD+(1-)A亦.因为P市=3P(,即AD-A亦=3(AG-A),故AG= }市+号护，图为4，E,八，G四点共面，且花，花不共线， 12)3)456⑦8910111213141⑤16171819 周周练 14 存在4，t∈R,使得市=uA花+AG,所以A下=u花+AG=号A亦+十 护)+亦+号前-台应+号而+怡+办，由空间向量的蒸本定 1 理可得 3=, 解得u 2 所以 =4 2t 3 2+3=1-1, I- 1) 2)3(4567(8(910111213141516171819 周周练 15 7.(2026岳阳月考)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1CD1中，E,F 分别为BB,CC的中点，G为线段DD上的点，且DG=3DD1,过E,F, G的平面交AA1于点H,则直线A1D1到平面EFGH的距离为(A) 437 2137 A. 37 B. 37 A B G C. 2 37 E 37 D. 37 C B 1(2)3)4(5)(6⑦8(9(10(111213141516171819 周周练 16 解析：以点D为坐标原点，直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、？轴建 立空间直角坐标系，如图所示， 剥中，1，引，0,1，，G0,0,,D0,0,1,4,0,0,所 以成=(-1,0,0，元=0，-1，君司，A,=(-1,0,0,则4ò D =EF，所以AD1∥EF. A B G E C y B 1(2(3(4(5(6⑦8(910111213141516171819 周周练 17 又因为EFC平面EFGH,A1D1￠平面EFGH,所以A1D1∥平面EFGH. 所以A1D1到平面EFGH的距离，即为，点D1到平面EFGH的距离. E亦=0，厂=0， 设平面EFGH的法向量为n=(c,y,),则 即門 令z nFG=0,y+=0, =6,则y=-1,所以n=(0,一1,6)， 又国为DiF=0,1,习，所以点D到平面EFGH的距离d= DF·nl n 437 4V37 37 ，所以直线AD1到平面EFGH的距离为 37 1(2(3(4(5(6⑦8(910111213141516171819 周周练 18 8. (2026无锡月考)在空间直角坐标系Oyyz中，经过点P(x0,y0,z0),且一 个法向量为m=(A,B,C的平面方程为A(c一xo)十By一yo)十C(z一z0)=0, 经过点P(x0,Jyo,0)且一个方向向量为n=(4,D,ω)uwω≠0)的直线1的方 程为-=。.闵读上面的材料并解决下面问短：现给出平面a 的方程为3x一十：一7=0，经过0,0,0)的直线1的方程为=戈=名1， 则直线1与平面a所成角的余弦值为(D V10 B. 1V10 A 5 35 C. 1V15 9/15 5 D. 35 5) )(1213 14)(1516(171819 1周周练 19 解析：因为平面a的方程为3x一5y十z一7=0，故其一个法向量为m=(3, -5,1,且直线1的方程为=号=名1，故其一个方向向量为n=3,2, -1,设直线1与平面a所成的角为0∈0，引，则si血0=sm,>川 m'n m-n =沿，可得cm台=1-9-》g5 =710 ，所以直线1与 ,9/15 平面a所成角的余孩值为35 12)3(4(5(6(789)10111213141516171819 周周练 20 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分.) 9.(2026三明期中)已知空间向量=(2,0,1)，b=(1,1,一1)，则以下说 法正确的是(BCD) A.la+b=5 B.ab=1 C.2a+b=(5,1,1) D.向量a在b上的投影为3-司 (23(4(5(6)7)8101112 1 (13 (14)(15)(16(17)(18)(19 周周练 21 解析：对于A,因为a=(2,0,1),b=(1,1,一1)，所以M+b=(3,1,0), 由空间向量的模长公式得十b=32+12=V10,故A错误； 对于B,因为M=(2,0,1),b=(1,1,一1)，所以b=2一1 =1,故B正确； 对于C,因为4=(2,0,1)，b=(1,1,-1),所以20+b= 腾于，即爱€定1-)2=5，所以向量a在b上的授影为 b 弓b=,3,司，放D正确， 3(4(5(6(7(8101112131415(1617(1819 周周练 22 10.如图，在平行六面体ABCD-A1B1CD1中，AA1=AD=AB=1,∠A1AD =∠A1AB=∠BAD=60°，M为B1D1的中点，则(ACD) A.DM=3店+i,-i D B.CM=-3店-i-)茄 A C.元= DA D.CM办=- 1(23(4(5(6)0 9101112131415161718(19 周周练 23 解析：连接DB,则DiM=D成+DiM=A4:+2亦=AA,+2(i花- 而)=2店+1-市，故A正确； =+Dò，+DiM=-店+，+) 市 =一 1 AB + D 1-)而，故B错误； A B 2 C A B 123)45)(6(7)8)910111213141516171819 周周练 24 元店=i,店=H游ks∠AAB=1X1×=号，故C正确； 成而=(-3店+-3办)办=店亦+病市- }而：=-2峦Hi市cos∠BMD+ii,hi市es∠A1D-是而= }×对+分3=4，故D正确， 1②3456⑦8©101①12131415161⑦1819 周周练 25 11.(2026河池月考)如图1，已知长方形ABCD中，AB=2,AD=1,M为 DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM,如图2 所示，在四棱锥D-ABCM中，下列选项正确的是(ACD) A.AD⊥BM D B.AD和BC所成的角为30° C.点C到直线MD的距离为 3 A B 图1 图2 D.若点E为线段BD上的动点，且二面角AMD的余弦值为5，则器 1 2 3)(4(5)6(7)(8(9(10⑦12(13141516171819 周周练 26 解析：取AM中点O,连接DO,因为AB=2,AD=1,M为DC中点，所 以AD=DM=1,所以DO⊥AM,因为平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩ 平面ABCM=AM,DOC平面ADM, 所以DO⊥平面ABCM.以O为坐标原点，分别以过O与AB垂直、平行的直 线为x轴、y轴，以OD所在直线为z轴， 遮立知图所示空同角坐标系，则00,0,0，号—20，喝，多，0， -,是，0，M-220,D0,0,, 3(4(5(6)(7(8)(910012(13141516171819 周周练 27 对于4，市=-2,2，习，威=(-1，-1,0，市藏=0，所以 AD⊥BM,故A正确； 对于B,元=（一1,0,0，设AD和BC所威的角为0，则cos=市- ADIBCT 2 1 1×1 =2，又0°<0≤90°，所以0=60°，故B错误； 123)45)(6(7)8)9)1001213141516171819 周周练 28 对于℃，市=63习，m=6,,另 则，点C到直线MD i游-0=-号 2，故C正确； 对于D,设器-2，E0,0,连接0D,则症=亦+=0,0， +,弘，-=，弘，，所以症 侵-，+2，当-是，应=(-1,1,0，设平面4wE的法向量为m 3)4(5(6(7)(8 9(1010 12(131415161718(19 周周练 29 2(1-0=0, =(心，y,), m-,及-w+眼++ -x十y=0, 令=1，则=1-会，所以m=,12 是平面AME的一个法 n-AM-0, 向量.设n=(a,b,c)是平面AMD的法向量，则 即 i=0, -M+b=0, -++是=0， 123456⑦8910①12131415161⑦1819 周周练 30 令a=1,则b=1,c=0,所以n=(1,1,0)是平面AMD的一个法向量.设 二面角EAMD的大小为a,由图知二面角E-AM-D是锐二面角，则cosu= mn 2 mlInl 82 盟，解得-，即所，D正确 2+a)22 V 123456⑦891012131415161⑦1819 周周练 31 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题 中横线上.) 12.(2026赣州月考)已知向量a=(1,-2,1),b=(3,2,), 若a∥万，则= 18 解折：国为向量a=(,-2,1),b=B,元，，且a/6,所以2=2-生， 得2=-6，u=3,所以=-18. 1②34⑤6⑦891012131415161⑦1819 周周练 32 2 13.(2026衡阳期中)如图，在几何体ABCDEF中，AD∥BC,∠BAD AB=AD=2BC=6,AE∥CF,AE三2CF=4,AE⊥平面ABCD,则异面直 线EF与AB所成角的余弦值为7 A D B 123456⑦891011231415161⑦1819 周周练 33 解析：因为AE⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,所以AE工AD,AELAB, 又因为∠BAD=,所以AE,AD,AB两两垂直，以A为坐标原点，建立 如图所示的空间直角坐标系，因为AB=AD=2BC=6,AE=2CF=4,所以 BC=3,CF=2,则A(0,0,0),B(6,0,0),E(0,0,4),F6,3,2),所 以西=6,0,0，亦=6,3，-2，所以s亦，亦>1=办：萌 LABEF ×V62+32+(-2)2=7，所以异面直线EF与AB所成角的余弦值 16X6 6 为7 (2 3)(4)5)(6)(7(8)910(11(121314(15(1617(1819 周周练 34 14.(2026佛山月考)已知在正方体ABCDA1B1CD1中，点P是A1C上的动点， 点E是CD的中点，若4，B,P,E四点共面，则C=2 解析：设，点A1到平面AEB1的距离为d1,点C到平面AEB1的距离为，则 PC -，以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为轴、y轴、 AP d C' B E C y B 1(2(3(4(5(6)(7(8(910111213141516171819 周周练 35 z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A(2,0,0),E(0,1,0), B1(2,2,2),A1(2,0,2),C0,2,0),AE=(-2,1,0),AB1=(0,2, 2),A1A=(0,0,-2),CA=(2,-2,0),设平面AEB1的法向量为m= mAE=-2x+y=0, (x,y,),则 令x=1得y=2,z=-2,故m=(1,2, mAB1=2y+2z=0, -2,所以=测=10,0，-2》·4,2，-2) 4 m 3 d2= V1+4+4 CAm_1(2,-2,0)·(1,2,-2)12 d 一d2 =2. m /1+4+4 ò)7)8 9(10(11(12(13 14151617(18(19 周周练 36 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明 过程或演算步骤.) 15.(本小题满分13分)2026·漯河月考)已知空间向量4，b满足4= (1,2,-2),b1=6. (1)若a与b的夹角为60°，求3a-b1;(5分) ①23456⑦89101①121314516171819 周周练 37 解：因为a=(1,2,-2),所以川a=V12+22+（-2)2=3.因为b=6,且 a与b的夹角为60°，所以ah=aHc0s口a,b加=3×6X2=9,则3a- b2=9a2-6b+b2=9X32-6×9+62=63, 故3M-bl=V63=3V7. ①23456⑦89101121314⑤161⑦1819 周周练 38 (2)若u∥b,求向量b的坐标.(8分) 解：因为a∥b,所以b=ka(k∈R): 当向量a,b同向时，k= -☆=2，则=2a=2,4,一：当向量a,b反向 1 时，=-背 a =-2,则b=-2a=(-2,-4,4).综上，向量b的坐标为(2， 4,-4)或(-2，-4,4). ①23456⑦89101①121314⑤161⑦1819 周周练 39 16.(本小题满分15分)如图，正四棱锥PABCD的底面边长和高均为 2,E,F分别为PD,PB的中点 (1)证明：EF⊥PC;(6分) P M C B 123456⑦891011213141561⑦1819 周周练 40 证明：连接AC,BD交于O,连接OP,由正四棱锥的性质可得PO⊥平面 ABCD,底面ABCD为正方形，则AC⊥BD,所以以O为坐标原点，OA, OB,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(V2, 0,0,0,2,0,r0,02,c《-20,0,0,-2,0,0,-是，， 0,是，1，则萨=0,2,0，元=(-2,0，-2， 则EF·PC=0,所以EF⊥PC 1(2)3)45(6(7(8(91011121314151617(18(19 B 周周练 41 (2)若点M是线段PC上的点，且PM=3PC,判断点M是否在平面AEF内， 并证明你的结论.(9分) 解：点M在平面AEF内，证明如下：连接AM,由（①）知AE 〔-2，-，，亦=-2，是，1，=(-2,0,2，成= +号元=(-5,0,2+号(-2,0，-2)--2,0，到，花+ =(-22,0,2,所以M=子正+子AF,所以A,M,E,F四点共 面，即点M在平面AEF内. 1(2(3(4(5(6)(7(8(91011121314151617(1819 B 周周练 42 17.(本小题满分15分)如图所示，平行六面体ABCD-A1B1CD1中，E,F分 别在BB和DD上，BE=3BB,DF=子DD (1)求证：四边形AECF为平行四边形；(7分) D A B 1(2)(3(4(5(6(7(8(9(1011121314151617 18)(19 周周练 43 证明：设B=,AD=b,AA1=c,以{a,b,c}为空间的一个基底，AE =亦+酝=a+号c,F元=ò+D流-}c+a,则花=，即 AE=FC1且AE∥FC1,所以四边形AECF为平行四边形. 123456⑦89101112131415161819 周周练 44 (2)若底面ABCD为正方形，且AB=4,AA1=3,∠AAB=∠AAD =60°，AC,与EF相交于点M,求点M到直线AB的距离.(8分) 解：由题意可知，l@=bl=4,lc=3,mb=0,ac=bc=3X4Xc0s60°=6， 由(I)可知，四边形AECF为平行四边形，所以M为AC1的中，点，则AM= 是A花=号a+b+0,则iiP-2(a+b+0)]:=号4+4+3+2x6 1(2(3(4(56(7(89101112131415161819 周周练 45 +2X6-的，应-a十b+ga=Ⅱ，则点M到直线4B的距离为 -r-- -”,则点M到直线的距 离为40。 1②34⑤6⑦8910112131415161819 周周练 46 18.(本小题满分17分)如图1，△ABC是底边为2的等腰三角形，且AB= BC=V3,△DAC为等腰直角三角形，∠CDA=90°，将△DAC沿AC翻折 到△PAC的位置，且点P不在平面ABC内（如图2）， (1)证明：AC⊥PB;(7分) P B 图1 图2 1(2)3(4(5(6(7(8(910111213141516171819 周周练 47 证明：取AC中点为E,连接PE,BE, 因为PA=PC,AB=BC,所以PE⊥AC,BE⊥AC,又PE∩BE= E,PE,BEC平面PBE,所以AC⊥平面PBE,又PBC平面PBE, 所以AC⊥PB. B 123456⑦8910112131415161⑦1819 周周练 48 6 (2)若直线PC与AB所成角的余弦值为4，设平面PAC与平面ABC所成的 角为a,求cosa的值.(10分) 解：以E为坐标原点，EA,EB所在直线分别为X轴、y轴，过点E垂直于 平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则A(1,0,0),B(0,2,0),C(-1,0,0), 因为△DAC为等腰直角三角形，所以DA=DC=V2, 12)3(45(6(7(8910111213141516171819 周周练 49 所以EP=1,设∠BEP=0,则P0,cos0,sin),则P℃=(-1，-cos0, -m0,花=(-1,2,0，故c花，亦》1= P记B 成 2-学，所以m0- 或 c0s0= 52 (舍去)，又 a∈0，引，所以cmsa=1s=是. 123456⑦89101①12131415161⑦1819 周周练 50 19.(本小题满分17分)在五面体ABCDEF中，CD⊥平面ADE, EF⊥平面ADE. (1)求证：AB∥CD;(5分) E B 123456⑦8910112131415161⑦181Θ 周周练 51 证明：因为CD⊥平面ADE,EF⊥平面ADE,所以CD∥EF,因为 CD4平面ABFE,EFC平面ABFE, 所以CD∥平面ABFE,因为平面ABFE∩平面ABCD=AB,CDC平 面ABCD, 所以AB∥CD. 123456⑦8910112131415161⑦181Θ 周周练 52 (2)若AB=2AD=2EF=2,∠ADE=∠CBF=90°，点D到平面ABFE的距 离为子，求二面角46rC的大小6分 解：因为CD⊥平面ADE,AB∥CD,所以AB⊥平面ADE,又AEC平 面ADE, 所以AB⊥AE,又因为CD⊥平面ADE,AD,EDC平面ADE, 所以CD⊥AD,CD⊥ED 又因为∠ADE=90°，AD∩CD=D,AD,CDC平面ABCD,所以 ED⊥平面ABCD, 周周练 53 2 连接BE,BD,因为Vn-BE=EABn,所以SA =SA4BDED,所以2 ABA是-B1D-ED,即Ac7 2 =AD-EDRAE-2 ED, 所以AE=AD2+ED2=V2ED,即AD=ED=1,AE=V2, 以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 12)3(45(6(7(8)910111213141516171819 周周练 54 设CD=c,则A(1,0,0),B(1,2,0),C0,c,0),F0,1,1),所以BF =(-1,-1,1),BC=(-1,c-2,0),因为∠CBF=90°，所以BFBC =1一c+2=0,解得c=3, 设平面BFA的法向量为m=(1,y1,z1),平面BFC的法向量为n=(x2,y2, 2), 因为AB=(0,2,0),BF=(-1,-1,1), 1(2)3(4(5(6(7(8(9)10111213141516171819 ■周周练 55 Bm=21=0, 所以 BFm=-x1-y1十1=0， 令x1=1,则m=(1,0,1), 因为BC=(-1,1,0),BF=(-1,-1,1), BCn=-x2+2=0, BFn=-2-2+2=0, ①234⑤6⑦8910111213141⑤161⑦18Θ 周周练 56 令2=1，则n=(1,1,2), 设二面角ABFC的大小为0，结合图象可知0为钝角，所以0s0=一 mnl mn 1+2 3 =-2×6 =-2, 5元 故0= 6 1234⑤6⑦89101①12131415161⑦18® 周周练 57 (3)在第(2)问条件下，线段AB上是否存在点M,使得DM与平面BCF 所成的角为30°.若存在，求AM的长度，若不存在，请说明理由.(6分) 解：设线段AB上存在点M,使得DM与平面BCF所成的角为30°， 设AM=t,t∈[0,2，则M(1,t,0), 又D(0,0,0),则DM=(1,t,0), 由(2)知，平面BCF的一个法向量为n=(1,1,2), 1(2(3(4(5(6(7(8(910111213141516171819 周周练 58 所风o成，+血3r-,1,得号 t=2士V3,因为0≤t≤2，所以t=2-V3, 所以线段AB上存在，点M,使得DM与平面BCF所成的角为30°，此时AM =2-V3. 1②3456⑦8©1o1①12131415161⑦18