第2章 2.1 坐标法（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦坐标法，涵盖数轴与平面直角坐标系中的距离公式、中点坐标公式及坐标法应用，通过笛卡尔与蜘蛛的漫画故事导入，从数轴公式自然过渡到平面公式，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动，结合“数学眼光”观察几何问题转化，“数学思维”进行代数推理（如证明直角三角形斜边中点性质），“数学语言”表达坐标关系。例题与跟踪训练结合，小结梳理知识清单与方法，助力学生发展抽象能力与推理意识，为教师提供系统教学资源。

2.1 第二章　 平面解析几何 <<< 坐标法 1.通过数轴上两点间的距离公式的探索，掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式. 2.理解坐标法的意义，并会用坐标法解决有关问题. 学习目标 漫画故事 有一天，法国数学家笛卡尔生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题： 导 语 几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？他就拼命琢磨，通过什么样的办法，才能把“点”和“数”联系起来.突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，在上边左右拉丝.蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗.如果把蜘蛛看作一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？后来在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系.平面内建立直角坐标系后，点的位置可以用坐标来刻画.此时，平面内的直线是否可以通过直线上点的坐标来刻画呢？平面内其他几何对象能否也用类似的方法来描述？这些都是本章我们要一起去探讨的问题. 一、平面直角坐标系中的基本公式 二、用坐标法证明几何问题 课时对点练 三、坐标法的应用 随堂演练 内容索引 平面直角坐标系中的基本公式 一 提示　可以解决一些有关距离和中点的问题. 利用平面直角坐标系中的基本公式可以解决哪些问题？ 问题1 提示　(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上； (2)如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴； (3)考虑图形的对称性：可将图形的对称中心作为原点，将图形的对称轴作为坐标轴. 如何建立平面直角坐标系？ 问题2 1.数轴上的基本公式 如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为 ，记作 )，且B(x2). (1)向量的坐标为 . (2)A，B两点之间的距离为|AB|＝||＝ . (3)A，B两点的中点坐标为x＝. x1 A(x1) x2－x1 |x2－x1| 知识梳理 2.平面直角坐标系中的基本公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2). (1)＝ . (2)两点间的距离公式： |AB|＝||＝ . (3)中点坐标公式：若M(x，y)为AB的中点，则x＝ ，y＝ . (x2－x1，y2－y1) 　(1)已知数轴上A(－4)，B(3)，则|AB|＝　　. (2)若A(－5，6)，B(a，－2)两点之间的距离为10，则a＝　　　　　. 例 1 7 1或－11 ∵|AB|＝＝10， ∴a＝1或－11. 解析 9 (3)已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4，2)，B(5，7)，对角线交点为E(－3，4)，求另外两顶点C，D的坐标. 设C点坐标为(x1，y1)，则由E为AC的中点， 得 设D点坐标为(x2，y2)，则由E为BD的中点， 得 故C点的坐标为(－10，6)，D点的坐标为(－11，1). 解 10 (3)(课本例1)已知A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)是△ABC的三个顶点，求这个三角形AB边上中线的长. 设AB的中点为M(x，y)，则x＝＝2，y＝＝3， 从而可知所求中线长为|CM|＝＝3. 解 11 (1)两点间的距离公式应用的两种形式 ①在求到某点的距离满足某些条件的点P(x，y)的坐标时，需要根据已知条件列出关于x，y的方程或方程组，解之即可. ②利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状. (2)利用中点坐标公式可求得以A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3， y3)为顶点的△ABC的重心坐标为. 反 思 感 悟 12 　(1)已知点A(－3，4)，点B(2，1)，试在x轴上找一点P，使得d(P，A)＝d(P，B)，则d(P，A)＝　　　. 跟踪训练 1 13 设P(x，0)，由题意得 d(P，A)＝， d(P，B)＝. 由d(P，A)＝d(P，B)， 即， 化简得x＝－2，故点P的坐标为， d(P，A)＝ . 解析 14 (2)点M(4，3)关于点N(5，－3)的对称点的坐标为　　　　　. 设所求点的坐标为(x，y)， 则 故所求对称点的坐标为(6，－9). 解析 15 二 用坐标法证明几何问题 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为 ，然后通过 等解决问题的方法称为坐标法. 代数问题 代数运算 　证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. 例 2 18 如图所示，以直角三角形的直角顶点C为坐标原点，直角边CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则C(0，0). 设A(a，0)，B(0，b)，则斜边中点M的坐标为. 因为|OM|＝ ， |BM|＝ ， |MA|＝ ， 所以|OM|＝|BM|＝|MA|. 即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. 证明 19 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果翻译成几何结论. 反 思 感 悟 20 如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，试用坐标法证明：|AE|＝|CD|. 跟踪训练 2 21 令△ABD的边长为a，△BCE的边长为b， 如图，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，C(b，0)， D，E. |AE|＝， |CD|＝， ∴|AE|＝|CD|，即证原等式成立. 证明 22 坐标法的应用 三 已知正△ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求此最小值. 例 3 24 以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示. 则A，B，C， 设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2 ＝x2＋＋y2＋＋y2 ＝3x2＋3y2－ay＋a2 ＝3x2＋3＋a2≥a2， 解 25 当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立， 所以所求最小值为a2， 此时点P的坐标为. 解 26 (课本例2)已知ABCD是一个长方形，AB＝4，AD＝1.判断线段CD上是否存在点P，使得AP⊥BP.如果存在，指出满足条件的P有多少个；如果不存在，说明理由. 例 3 27 以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系.依据已知可得A(－2，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(－2，1). 设P(t，1)是线段CD上一点，则－2≤t≤2， 而且＝(－2－t，－1)，＝(2－t，－1). 因为AP⊥BP的充要条件是·＝0， 这也等价于(－2－t)(2－t)＋1＝0. 又因为上述方程的解为t＝或t＝－，所以满足条件的P点存在，而且有两个. 解 28 坐标法解决问题的一般解题步骤 (1)建立平面直角坐标系. (2)分类讨论所有可能的情况. (3)分别进行代数运算. (4)回归几何问题. 反 思 感 悟 29 已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0). (1)判断△ABC的形状； 跟踪训练3 由已知得， |AB|＝＝2， |AC|＝， |BC|＝＝5. ∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， ∴△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形. 解 30 (2)求△ABC的面积. 由角A为直角，得S△ABC＝|AB|·|AC|＝×2×＝5. 解 31 1.知识清单： (1)数轴上的基本公式. (2)平面直角坐标系中的两点间距离公式、中点坐标公式和重心坐标公式. (3)坐标法的应用. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：用坐标法解决几何问题时，最后需还原到原几何问题. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.下列各组点中，点C位于点D的右侧的是 A.C(－3)和D(－4) B.C(3)和D(4) C.C(－4)和D(3) D.C(－4)和D(－3) √ 1 2 3 4 2.已知A(－8，－3)，B(5，－3)，则线段AB的中点坐标为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 3.已知点P(a，2)，Q(－2，－3)，M(1，1)，且|PQ|＝|PM|，则a的值是 A.－2 B.2 C.－ D. √ 因为点P(a，2)，Q(－2，－3)，M(1，1)， 且|PQ|＝|PM|， 所以， 解得a＝－. 解析 1 2 3 4 4.已知△ABC的三个顶点坐标是A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7).则△ABC的形状是　 　　　. 等腰直角三角形 ∵|AB|＝＝2， |AC|＝＝2， 又|BC|＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形. 解析 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C C B D BC 题号 8 11 12 13 14 15 答案 (－2，4)　3 BCD D CD (－∞，4] B 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 　16 答案 (1)①3　②－3或1　③4　(2)①或 ②当0≤t≤4时，点P表示的数为2t－2， 则d(E，P)＝|4－(2t－2)|＝|6－2t|； 当4<t≤8时，点P表示的数为14－2t， 则d(E，P)＝|4－(14－2t)|＝|2t－10|. 对一对 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A(－1，－2)，B(3，1)，C(0，2)，第四个顶点D的坐标为(x，y)， (1)若四边形ABCD是平行四边形， 则由中点坐标公式得 解得 ∴点D的坐标为(－4，－1). (2)若四边形ABDC是平行四边形， 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则由中点坐标公式得 ∴点D的坐标为(4，5). (3)若四边形ACBD是平行四边形， 则由中点坐标公式得 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得 ∴点D的坐标为(2，－3). 综上所述，满足条件的平行四边形第四个顶点的坐标为(－4，－1)或(4，5)或(2，－3). 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取BC边所在直线为x轴，BC边的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示. 设A(m，n)，B(－a，0)，C(a，0)(a>0)， 则|AB|2＋|AC|2＝(m＋a)2＋n2＋(m－a)2＋n2 ＝2(m2＋a2＋n2)， 又|AO|2＋|OC|2＝m2＋n2＋a2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2). 基础巩固 1.在数轴上从点A(－2)引一线段到点B(1)，再同向延长同样的长度到点C，则点C的坐标为 A.13 B.0 C.4 D.－2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，故C(4)为所求. 解析 2.若点P(x，y)到两点M(2，3)，N(4，5)的距离相等，则x＋y的值为 A.5 B.6 C.7 D.不确定 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由两点间距离公式，得，两边平方，得x＋y＝7. 解析 3.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于 A.5 B.4 C.2 D.2 √ 设A(a，0)，B(0，b)， 则＝2，＝－1，解得a＝4，b＝－2， ∴|AB|＝2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若A，B，C，D是数轴上的四个点，且＝6，＝－2，＝6，则等于 A.0 B.－2 C.10 D.－10 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，＝6，|BA|＝6，且A在B右侧， ＝－2，|BC|＝2，且C在B左侧， ∴|CA|＝|CB|＋|BA|＝8且A在C右侧， 又＝6，∴|CD|＝6且D在C右侧， ∴D在A左侧，且|AD|＝2，∴＝－2. 解析 5.在平面直角坐标系中，若点(2，b)到原点的距离不小于5，则b的取值范围是 A.(－∞，－] B.[，＋∞) C.[－，] D.(－∞，－]∪[，＋∞) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据两点间的距离公式得点(2，b)到原点的距离 d＝≥5， 即4＋b2≥25，所以b2≥21， 解得b≤－或b≥. 解析 6.(多选)在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为(0，4)，(3，3)，则点B的坐标可能是 A.(6，4) B.(2，0) C.(4，6) D.(0，2) √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设B(x，y)，＝(3，－1)，＝(x－3，y－3)， 则 解得 解析 7.已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是　　　.  由题意知， ∴d＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在△ABC中，A(1，－2)，B(－3，2)，C(－4，12)，其重心坐标为 　　　　 ，AB边的中线长为　　　 .  (－2，4) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 ∵在△ABC中，A(1，－2)，B(－3，2)，C(－4，12)， 设重心坐标为G(xG，yG)， ∴xG＝＝－2，yG＝＝4， ∴重心坐标为(－2，4). 又∵AB中点的横坐标为x＝＝－1， 纵坐标为y＝＝0， ∴AB的中点坐标为(－1，0)， ∴AB边的中线长为＝3. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知一平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，－2)，(3，1)，(0，2)，求这个平行四边形第四个顶点的坐标. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A(－1，－2)，B(3，1)，C(0，2)，第四个顶点D的坐标为(x，y)， (1)若四边形ABCD是平行四边形， 则由中点坐标公式得 解得 ∴点D的坐标为(－4，－1). (2)若四边形ABDC是平行四边形， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则由中点坐标公式得 ∴点D的坐标为(4，5). (3)若四边形ACBD是平行四边形， 则由中点坐标公式得 解得 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴点D的坐标为(2，－3). 综上所述，满足条件的平行四边形第四个顶点的坐标为(－4，－1)或(4，5)或(2，－3). 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知AO是△ABC中BC边的中线，证明：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取BC边所在直线为x轴，BC边的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示. 设A(m，n)，B(－a，0)，C(a，0)(a>0)， 则|AB|2＋|AC|2＝(m＋a)2＋n2＋(m－a)2＋n2＝2(m2＋a2＋n2)， 又|AO|2＋|OC|2＝m2＋n2＋a2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2). 证明 11.(多选)对于，下列说法正确的是 A.可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B.可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C.可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离 D.可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 √ √ √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，可得 ＝ ＝ ＝， 可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离， 可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离， 可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故选项A不正确. 解析 12.光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射之后经过点B(2，10)，则光线从点A到点B的距离为 A.5 B.2 C.10 D.5 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 点B(2，10)关于x轴的对称点为B'(2，－10)，由光线反射的对称性可知，从点A到点B的光线距离就是线段AB'的长度. |AB'|＝＝5. 解析 13.(多选)已知△ABC的两个顶点A(3，7)，B(－2，5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则点C的坐标可以是 A.(－3，－7) B.(2，－5) C.(2，－7) D.(－3，－5) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设C(x，y)，显然AC，BC的中点不在同一条坐标轴上.若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则有y＋7＝0，－2＋x＝0，即C(2，－7)； 若AC的中点在y轴上，BC的中点在x轴上，则有3＋x＝0，5＋y＝0，即C(－3，－5). 解析 √ 14.使得|x－3|＋|x＋1|≥a恒成立的a的取值范围为　　　　　. (－∞，4] 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设函数y＝|x－3|＋|x＋1|， 则y表示到点A(3)和B(－1)的距离的和，即y≥4， 所以使|x－3|＋|x＋1|≥a恒成立的a的取值范围为(－∞，4]. 解析 15.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)间的距离.结合上述观点，可得f(x)＝的最小值为 A.2 B.5 C.4 D.8 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 ∵f(x)＝ ＝， ∴f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(－2，4)与B(－1，3)的距离之和，设点A(－2，4)关于x轴的对称点为A'，则A'(－2，－4). 要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值， 利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A'B|＝＝5，当 且仅当A'，M，B三点共线时等号成立， 即f(x)＝的最小值为5. 16.(定义新知)在数轴上，点M和点N分别表示数x1和x2，可以用绝对值表示点M，N两点间的距离d(M，N)，即d(M，N)＝|x1－x2|. (初步应用)(1)在数轴上，点A，B，C分别表示数－1，2，x，解答下列问题： ①d(A，B)＝　　；  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 d(A，B)＝|－1－2|＝3. 解析 ②若d(A，C)＝2，则x的值为　　　　；  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －3或1 ∵d(A，C)＝2， ∴|－1－x|＝2，即－1－x＝2或－1－x＝－2. ∴x＝－3或x＝1. 解析 ③若d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)，且x为整数，则符合条件的x的取值有 　　个. 4 ∵d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)， ∴|－1－x|＋|2－x|＝3， 当x≤－1时，|－1－x|＋|2－x|＝－1－x＋2－x＝3，x＝－1； 当－1<x≤2时，|－1－x|＋|2－x|＝1＋x＋2－x＝3，符合条件的x的取值为0，1，2； 当x>2时，|－1－x|＋|2－x|＝1＋x＋x－2＝3，x＝2(舍去)， 综上所述，符合条件的x的取值有4个. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (综合应用)(2)在数轴上，点D，E，F分别表示数－2，4，6.动点P沿数轴从点D开始运动，到达点F后立刻返回，再回到点D时停止运动.在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位.设点P的运动时间为t秒. ①当t＝　　　　时，d(D，P)＝3；  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 或 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得，d(D，F)＝8，点P从D到F的时间为4秒，运动路程为2t， 当0≤t≤4时，点P表示的数为2t－2，则 d(D，P)＝|－2－(2t－2)|＝3， 解得t＝或t＝－(舍去)； 当4<t≤8时，点P表示的数为14－2t，则 d(D，P)＝|－2－(14－2t)|＝3，解得t＝(舍去)或t＝， 综上所述，t＝. 解析 ②在整个运动过程中，请用含t的代数式表示d(E，P). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案　当0≤t≤4时，点P表示的数为2t－2， 则d(E，P)＝|4－(2t－2)|＝|6－2t|； 当4<t≤8时，点P表示的数为14－2t， 则d(E，P)＝|4－(14－2t)|＝|2t－10|. 第二章　 平面解析几何 <<< $