2.3.1 圆的标准方程-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦圆的标准方程，通过“月亮文学描写”情境导入，结合思考问题引导学生回顾圆的定义，借助知识梳理明确圆心与半径要素，通过即时练衔接方程推导，构建从几何直观到代数表达的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实（如月亮情境），用数学思维推理（待定系数法与几何性质求方程），借数学语言表达实际问题（圆拱桥建模）。例3通过坐标系将拱高跨度转化为方程求解，培养学生模型意识与应用能力，教师可依托系统例题与自测提升教学效率。

2．3　圆及其方程 2．3.1　圆的标准方程 新课导入 学习目标 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，在文学作品中有大量描写：小时不识月，呼作白玉盘．又疑瑶台镜，飞在青云端……，如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，那么我们如何确定该圆的方程呢？ 1.掌握圆的定义及标准方程． 2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系． 3.会利用圆的标准方程解决实际问题． 返回导航 内 容 索 引 新知学习探究 1 1 课堂巩固自测 2 新知学习探究 第一部分 4 知识点一　圆的标准方程 思考1　结合以往所学圆的定义，写出确定圆的要素有哪些？各要素与圆有怎样的关系？ [提示]　确定圆的要素包括圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 思考2　已知圆心为A(a，b)，半径为r，设圆上任一点M(x，y)， 你能得到x，y的关系吗？ 返回导航 [知识梳理] 1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的_______称为圆，其中定点是_______，定长为_______． 2．标准方程：在平面直角坐标系中，以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为_____________________． 集合 圆心 半径 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定．(　　) (2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(　　) (3)圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的圆心坐标是(1，－1)，直径长是4.(　　) (4)圆心为(1，－2)且半径为3的圆的标准方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝3.(　　) √ × × × 返回导航 BD 返回导航 3．(2026·平谷月考)写出一个关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为_______________________________________________________________． 解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r＞0，圆心坐标为(a，b)，半径为r，因为圆关于直线x－y＋1＝0对称，所以a－b＋1＝0，所以b＝a＋1， 不妨取a＝0，r＝1，则b＝1， 则关于直线x－y＋1＝0对称的一个圆的方程为x2＋(y－1)2＝1. x2＋(y－1)2＝1(答案不唯一，形如(x－a)2＋(y－a－1)2＝r2，r＞0即可) 返回导航 4．已知圆C1：(x＋3)2＋(y－2)2＝5，圆C2与圆C1是同心圆且过点A(5，0)，则圆C2的标准方程为_________________________． (x＋3)2＋(y－2)2＝68 返回导航 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间的距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条不平行的弦的中垂线的交点必为圆心”等． 感悟提升 返回导航 知识点二　点与圆的位置关系 思考　平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判定？ [提示]　分为点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以用圆心与点的距离与圆的半径相比较判断位置． 返回导航 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点在圆外 D___r (x0－a)2＋(y0－b)2___r2 点在圆上 d___r (x0－a)2＋(y0－b)2___r2 点在圆内 d___r (x0－a)2＋(y0－b)2___r2 ＞ ＞ ＝ ＝ ＜ ＜ 返回导航 [例1] 已知两点P1(3，8)和P2(5，4)，求以线段P1P2为直径的圆的标准方程，并判断点M(5，3)，N(3，4)，P(3，5)是在圆上、在圆内、还是在圆外． 返回导航 返回导航 判断点与圆的位置关系的方法 (1)几何法：只需计算该点与圆心的距离，与半径作比较即可． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小关系，并作出判断． 感悟提升 返回导航 [跟踪训练1] (1)(2026·临沂期中)已知圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，则下列点中在圆C内的是(　　) A.(1，－2) B．(－1，1) C．(2，－1) D．(0，2) C 返回导航 解析：因为(1－1)2＋(－2)2＝4， 所以点(1，－2)在圆C上； 因为(－1－1)2＋12＝5＞4， 所以点(－1，1)在圆C外； 因为(2－1)2＋(－1)2＝2＜4， 所以点(2，－1)在圆C内； 因为(0－1)2＋22＝5＞4， 所以点(0，2)在圆C外． 综上，在圆C内的是(2，－1). 返回导航 (2)若点A(a＋1，3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意得m<(a＋1－a)2＋(3－1)2＝5，而m>0， 所以实数m的取值范围是(0，5). (0，5) 返回导航 知识点三　求圆的标准方程 [例2] (对接教材例2)求经过A(1，3)，B(4，2)两点，且圆心C在直线l：x＋y－3＝0上的圆的标准方程． 返回导航 返回导航 母题探究　经过A(1，3)，B(4，2)两点且周长最小的圆的标准方程为 ____________________________． 返回导航 确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．一般地，在解决有关圆的问题时，利用圆的几何性质作转化较为简捷． 感悟提升 返回导航 C 返回导航 返回导航 (2)过O(0，0)，M1(－1，3)，M2(－3，－1)三点的圆的标准方程是________________________． (x＋2)2＋(y－1)2＝5 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 由于圆具有对称性，在实际应用中，一般通过建立适当的平面直角坐标系，把实际问题转化为与圆的半径、弦长等有关的问题来求解，最后不要忘记根据实际意义来作答．建立平面直角坐标系时，注意根据垂径定理等寻找垂直关系． 感悟提升 返回导航 [跟踪训练3] 某圆拱桥的拱高为5 m，现有宽10 m，水面以上的高度为3 m的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度(单位：m)在下列哪个区间内(　　) A．(12，13) B．(13，14) C．(14，15) D．(15，16) B 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 第二部分 33 1．(教材P106练习A T1改编)在平面直角坐标系中，圆心为(1，－3)，半径为2的圆的标准方程为(　　) A．(x－1)2＋(y＋3)2＝4 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝2 C．(x＋1)2＋(y－3)2＝4 D．(x＋1)2＋(y－3)2＝2 解析：圆心为(1，－3)，半径为2的圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝4. A 返回导航 2．(多选)已知圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是(　　) A．圆M的圆心坐标为(4，－3) B．点(1，0)在圆内 C．圆M的半径为5 D．点(－3，1)在圆内 ABC 返回导航 解析：圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，A，C正确； 由(1－4)2＋(0＋3)2＝18<25，得点(1，0)在圆内，B正确； 由(－3－4)2＋(1＋3)2＝65>25，得点(－3，1)在圆外，D错误． 返回导航 3．若点(1，a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是________． 解析： 因为点(1，a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，所以(1－1)2＋a2<1，即a2<1，解得－1<a<1，则实数a的取值范围是(－1，1). (－1，1) 返回导航 4．已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程． 返回导航 课堂小结 1．已学习：圆的标准方程及点与圆的位置关系． 2．须贯通：求圆的标准方程有待定系数法和几何性质法，利用方程思想和数形结合思想． 3．应注意：利用几何法求圆的标准方程时，要全面考虑，否则易出现漏解的情况． 返回导航 [提示]　|MA|＝r，由两点间的距离公式，得 eq \r(（x－a）2＋（y－b）2) ＝r，两边平方得(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2．(多选)对于圆C：(x－1)2＋y2＝2，下列说法正确的是(　　) A．圆C的圆心为(－1，0) B．圆C的圆心为(1，0) C．圆C的半径为2 D．圆C的半径为 eq \r(2) 解析：因为圆C：(x－1)2＋y2＝2，所以圆C的圆心为(1，0)，圆C的半径为 eq \r(2) .故选BD. 解析：依题意，圆C2的圆心C2(－3，2)，则半径r＝|C2A|＝ eq \r(（－3－5）2＋22) ＝2 eq \r(17) ， 所以圆C2的标准方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝68. [知识梳理] 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，已知点P(x0，y0)， 设d＝|PC|＝ eq \r(（x0－a）2＋（y0－b）2) . 【解】　由题可知圆心坐标为(4，6)，圆的半径r＝ eq \f(1,2) |P1P2|＝ eq \f(1,2) × eq \r(（5－3）2＋（4－8）2) ＝ eq \r(5) ， 所以圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5. 分别计算点M，N，P到圆心(4，6)的距离： eq \r(（4－5）2＋（6－3）2) ＝ eq \r(10) > eq \r(5) ， eq \r(（4－3）2＋（6－4）2) ＝ eq \r(5) ， eq \r(（4－3）2＋（6－5）2) ＝ eq \r(2) < eq \r(5) ， 所以点M在圆外，点N在圆上，点P在圆内． 【解】　如图，连接AB，过AB的中点D( eq \f(5,2) ， eq \f(5,2) )作AB的垂直平分线，kAB＝－ eq \f(1,3) ，可求出垂直平分线的方程为y－ eq \f(5,2) ＝3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2))) ，即为3x－y－5＝0，由垂径定理可知，圆心C也在该垂直平分线上， 所以联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y－5＝0，,x＋y－3＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，)) 即圆心C的坐标为(2，1). 又圆C经过点A，则r2＝(1－2)2＋(3－1)2＝5，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 解析：当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即所求圆以线段AB的中点D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(5,2))) 为圆心， eq \f(1,2) |AB|＝ eq \f(1,2) × eq \r(（4－1）2＋（2－3）2) ＝ eq \f(\r(10),2) 为半径，故所求圆的标准方程为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(5,2) . eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(5,2) [跟踪训练2] (1)已知圆C的圆心在直线3x－y－1＝0上，且过点A(－2，3)，B(2，5)，则圆C的方程为(　　) A．(x－1)2＋(y－2)2＝ eq \r(10) B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝ eq \r(10) C．(x－1)2＋(y－2)2＝10 D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 解析：由题知kAB＝ eq \f(5－3,2＋2) ＝ eq \f(1,2) ，且AB的中点坐标为(0，4)，故线段AB的中垂线方程为y＝－2x＋4，故圆心在直线y＝－2x＋4上，与3x－y－1＝0联立，可得圆心为(1，2)，所以半径为 eq \r(（2－1）2＋（5－2）2) ＝ eq \r(10) ，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝10. 解析：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝r2，,（－1－a）2＋（3－b）2＝r2，,（－3－a）2＋（－1－b）2＝r2，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝r2，,a－3b＋5＝0，,3a＋b＋5＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝1，,r2＝5，)) 所以圆的标准方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5. eq \a\vs4\al(应用点　圆的标准方程的实际应用) [例3] (对接教材例3)如图是某圆形拱桥——孔圆拱的示意图．此图中，圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(参考数据： eq \r(33) ≈5.745，精确到0.01 m). 【解】　以O为原点， eq \o(AB,\s\up16(→)) 方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则圆心在y轴上， 设圆心坐标为(0，a)，圆拱所在圆的方程为x2＋(y－a)2＝r2， 因为P(0，4)，A(－10，0)， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（4－a）2＝r2，,（－10）2＋a2＝r2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－10.5，,r＝14.5，)) 所以圆拱所在圆的方程为x2＋(y＋10.5)2＝14.52. 将x＝－2代入圆方程， 得4＋(y＋10.5)2＝14.52，整理得y2＋21y－96＝0，解得y＝ eq \f(－21＋5\r(33),2) ≈3.86或y＝ eq \f(－21－5\r(33),2) (舍去)，所以A2P2＝y≈3.86(m). 解析：由题意，建立平面直角坐标系如图所示，则G(0，5)，C(－5，0)，D(5，0)，E(－5，3)，F(5，3)，其中H为圆拱桥的圆心．设拱桥所在的圆的方程为x2＋(y－a)2＝r2， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－5）2＋（3－a）2＝r2，,（5－a）2＝r2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(9,4)，,r＝\f(29,4)，)) 则圆拱桥的水面跨度为 2　 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(29,4)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)))\s\up12(2)) ＝ eq \r(190) ∈(13，14). 解：由题设知，|PA|＝ eq \r(10) ，|PB|＝ eq \r(13) ，|PC|＝5， 所以|PA|<|PB|<|PC|，要使A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外， 则圆以|PB|为半径，故圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13. $