2.2.3 两条直线的位置关系-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦两条直线的相交、平行、重合与垂直的判定及应用，通过过山车铁轨的现实情境导入，从平面几何同位角等旧知过渡到倾斜角、斜率的新知，搭建从几何直观到代数表达的学习支架。 其亮点是以“思考-梳理-例题-应用”为主线，通过现实问题抽象数学关系培养数学眼光，如过山车轨道平行问题；用方程组法、斜率法推理判定培养数学思维，如例1判断直线位置关系；以四边形形状判定等综合应用强化数学语言表达。学生能提升实际问题解决能力，教师可借助系统资源优化教学。

2．2.3　两条直线的位置关系 新课导入 学习目标 过山车是一种富有刺激性的游乐设施．实际上，过山车的运动包含了许多数学、物理学原理．过山车的两条铁轨是永远平行的轨道，它们依靠一根根巨大且垂直于地面的钢筋支撑着．你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直又用什么来刻画呢？ 1.掌握两条直线的相交、平行与重合的条件，并会利用它们解决实际问题． 2.掌握两条直线垂直的条件，并会用垂直解决实际问题． 返回导航 内 容 索 引 新知学习探究 1 1 课堂巩固自测 2 新知学习探究 第一部分 4 知识点一　两条直线的相交、平行与重合 思考1　在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ [提示]　两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 思考2　平面中的两条平行直线被x轴所截，它们的倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ [提示]　两直线平行，倾斜角相等． 返回导航 [知识梳理] 1．若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则： l1与l2相交⇔________； l1与l2平行⇔________且________； l1与l2重合⇔________且________． 2．若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0， l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则： l1与l2相交⇔________________； l1与l2平行⇔________________且A1C2≠A2C1； l1与l2重合⇔________________且A1C2＝A2C1. k1≠k2 k1＝k2 b1≠b2 k1＝k2 b1＝b2 A1B2≠A2B1 A1B2＝A2B1 A1B2＝A2B1 返回导航 [例1] (对接教材例1)判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出它们的交点坐标． (1)l1：x＋3y＋1＝0，l2：3x＋4＝0； 返回导航 返回导航 感悟提升 返回导航 (2)斜率法：若两直线的斜率不相等，则两直线相交；若两直线的斜率相等，截距不相等，则两直线平行；若两直线的斜率相等，截距也相等，则两直线重合．特别地，要考虑斜率不存在的情况． (3)方向向量法：若两直线的方向向量不共线，则两直线相交；若两直线的方向向量共线，则两直线平行或重合． 返回导航 [跟踪训练1] (1)已知A(1，1)，B(4，－2)，C(6，0)，D(4，4)，则直线AD与BC的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 B 返回导航 (2)已知直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：2x－by－1＝0相交于点M(1，1)，则a－b＝________． －3 返回导航 知识点二　两条直线的垂直 思考　平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ [提示]　a⊥b⇔a·b＝0⇔1＋k1k2＝0. 返回导航 [知识梳理] 1．若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则： l1⊥l2⇔_____________． 2．若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则：l1⊥l2⇔______________． k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 返回导航 [例2] (对接教材例3)判断下列两条直线是否垂直． (1)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10，4)，B(20，3)； 返回导航 (2)直线l1经过点A(3，4)，B(3，7)，直线l2经过点P(－2，4)，Q(2，4)； 【解】　直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1与l2垂直． (3)直线l1的方向向量为(1，2)，直线l2的方向向量为(2，－1). 返回导航 判断两直线垂直的步骤 (1)一看：看每条直线所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行下一步； (2)二代：将点的坐标代入斜率公式计算斜率； (3)三判断：根据两斜率之间的关系进行判断． 提醒　(1)判断两直线是否垂直也可以根据两直线的方向向量的数量积是否为0进行判断． (2)利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况． 感悟提升 返回导航 [跟踪训练2] (2026·中卫月考)已知直线l1过A(1，3)，B(2，5)两点，且l1⊥l2，则直线l2的斜率为________． 返回导航 应用点　平行与垂直的综合应用) 角度1　利用直线平行或垂直求直线方程 [例3] 求满足下列条件的直线l的方程： (1)直线l过点(－2，1)，且与直线x＋y－3＝0平行； 【解】　方法一：由直线l与直线x＋y－3＝0平行，可得l的斜率k＝－1. 又l过点(－2，1)，由点斜式可得l：y－1＝－(x＋2)，即l：x＋y＋1＝0. 方法二：由l与直线x＋y－3＝0平行，可设l的方程为x＋y＋m＝0(m≠－3)， 将点(－2，1)代入上式得m＝1，所以所求直线l的方程为x＋y＋1＝0. 返回导航 (2)直线l过点(－1，2)，且与直线x＋3y＋1＝0垂直． 方法二：由l与直线x＋3y＋1＝0垂直，可设l的方程为3x－y＋n＝0，将点(－1，2)代入上式得n＝5，所以所求直线的方程为3x－y＋5＝0. 返回导航 与已知直线平行(垂直)的直线方程的两种求法 (1)先求出已知直线的斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式求出直线方程． (2)利用待定系数法(直线系)求直线方程． 常用结论　(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C). (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0. 感悟提升 返回导航 角度2　利用直线平行或垂直求参数 [例4] 已知a，b为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线l1：ax＋by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y－2＝0，l3：x＋2y＋3＝0. (1)若l1⊥l2，且l1经过点(－1，1)，求实数a，b的值； 返回导航 返回导航 (2)若l1∥l2且l1⊥l3，求实数a，b的值． 返回导航 (1)平行问题：①如果直线的斜率存在，可将一般式化成斜截式进行判断；②如果一般式中y的系数含参数，需根据系数是否为0分类讨论；③l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0). (2)垂直问题：①如果直线的斜率存在且不为0，那么l1⊥l2⇔k1k2＝－1；②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 感悟提升 返回导航 角度3　平行或垂直的综合应用 [例5] 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，D(4，2).试判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 返回导航 返回导航 母题探究　本题条件“B(1，1)”变为“B(x，y)”，当四边形ABCD是平行四边形时，求x，y. 返回导航 利用两条直线平行或垂直判定 几何图形形状的步骤 感悟提升 返回导航 [跟踪训练3] (1)过点(0，1)且与直线2x－y＋1＝0垂直的直线方程是(　　) A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－2＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0 解析：与直线2x－y＋1＝0垂直的直线方程可设为x＋2y＋C＝0，将(0，1)代入可得2＋C＝0，解得C＝－2，故所求的直线方程为x＋2y－2＝0.故选B. B 返回导航 (2)已知两直线l1：2mx＋(3－m)y＋1＝0，l2：2x＋2my＋m＝0，当l1⊥l2时，m＝________；当l1∥l2，m＝________． 0或5 返回导航 返回导航 (3)已知四边形ABCD的顶点B(6，1)，C(3，3)，D(2，5)，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 第二部分 35 1．(教材P96T3改编)已知直线l过点(1，0)且与直线m：x－2y＋5＝0平行，则直线l的方程为(　　) A．2x＋y－2＝0 B．2x－y－2＝0 C．x－2y－1＝0 D．x－2y＋1＝0 解析：设直线l为x－2y＋k＝0(k≠5)，把(1，0)代入上式得1＋k＝0，解得k＝－1，故直线l的方程为x－2y－1＝0．故选C. C 返回导航 2．(多选)已知l1，l2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有(　　) A.若l1，l2斜率相等，则l1，l2平行 B．若l1，l2平行，则l1，l2的斜率相等 C．若l1，l2的斜率乘积等于－1，则l1，l2垂直 D．若l1，l2垂直，则l1，l2的斜率乘积等于－1 AC 返回导航 解析：根据题意及两直线的位置关系可知若l1，l2斜率相等，则l1，l2平行，故A正确； 若l1，l2平行，当l1，l2都与y轴平行时，l1，l2的斜率不存在，故B错误； 易知若l1，l2的斜率乘积等于－1，则l1，l2垂直，故C正确； 若l1，l2垂直，当l1与x轴平行，l2与y轴平行时，直线l1的斜率为0，l2的斜率不存在，故D错误． 返回导航 3．已知过点A(－3，m)和B(m，9)的直线与斜率为2的直线平行，则m的值为________． 1 返回导航 4.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t>0.试判断四边形OPQR是否为矩形． 返回导航 返回导航 所以kOP＝kRQ，kOR＝kPQ， 从而OP∥RQ，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形． 又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR， 故四边形OPQR为矩形． 返回导航 课堂小结 1．已学习：两条直线平行与垂直的判定及应用． 2．须贯通：探究及应用两直线平行、垂直的条件体现了数形结合、分类讨论的思想方法． 3．应注意：研究两直线位置关系时，不要忽略直线斜率为0或不存在的情况． 返回导航 【解】　因为l1：x＋3y＋1＝0，l2：3x＋4＝0， 联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y＋1＝0，,3x＋4＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(4,3)，,y＝\f(1,9)，)) 所以l1与l2相交，交点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(1,9))) . (2)l1：x－3y＋1＝0，l2：y＝ eq \f(1,3) x＋4. 【解】　因为l2：y＝ eq \f(1,3) x＋4可化为x－3y＋12＝0，联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3y＋1＝0，,x－3y＋12＝0，)) 方程组无解，所以l1与l2平行． (1)方程组法：判断两直线的位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0)) 有唯一解时，两直线相交；无解时，两直线平行；有无数解时，两直线重合． 解析kAD＝ eq \f(4－1,4－1) ＝1，kBC＝ eq \f(0－（－2）,6－4) ＝1，由图可知A，B，C，D不共线，所以AD∥BC. 解析：由题设 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1＋1＝0，,2－b－1＝0，)) 可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝1，)) 所以a－b＝－3. 【解】　直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝ eq \f(3－4,20－10) ＝－ eq \f(1,10) ，因为k1k2＝－10×(－ eq \f(1,10) )＝1，所以l1与l2不垂直． 【解】　因为直线l1的方向向量为(1，2)，所以直线l1的斜率k1＝2.因为直线l2的方向向量为(2，－1)，所以直线l2的斜率k2＝－ eq \f(1,2) ，k1k2＝2×(－ eq \f(1,2) )＝－1，所以l1与l2垂直． 解析：因为直线l1过A(1，3)，B(2，5)，所以直线l1的斜率为k1＝ eq \f(5－3,2－1) ＝2，因为l1⊥l2，所以直线l2的斜率为k2＝－ eq \f(1,k1) ＝－ eq \f(1,2) . － eq \f(1,2) 【解】　方法一：由直线x＋3y＋1＝0的斜率为－ eq \f(1,3) ，直线l与直线x＋3y＋1＝0垂直， 可得直线l的斜率k＝3，又l过点(－1，2)，由点斜式可得l：y－2＝3(x＋1)，即l：3x－y＋5＝0. 【解】　因为l1：ax＋by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y－2＝0，且l1⊥l2，所以a(a－1)＋b＝0， 又直线l1过点(－1，1)，所以－a＋b＋4＝0，所以b＝a－4，所以a(a－1)＋(a－4)＝0， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－6.)) 【解】　若l1∥l2且l1⊥l3，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b（a－1）＝a，,－2b≠4，,a＋2b＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝\f(1,2)．)) 由于a，b不能同时为0，故 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝\f(1,2)．)) 【解】　四边形ABCD是直角梯形．证明如下： 由题意得kCD＝ eq \f(2－3,4－2) ＝－ eq \f(1,2) ，kAB＝ eq \f(1－（－1）,1－5) ＝－ eq \f(1,2) ，kBC＝ eq \f(3－1,2－1) ＝2，kAD＝ eq \f(2－（－1）,4－5) ＝－3， 所以kCD＝kAB，kBC≠kAD，即AB∥CD且BC与AD不平行，所以四边形ABCD是梯形，又因为kBC·kCD＝kBC·kAB＝－1，所以BC⊥CD，BC⊥AB，综上，四边形ABCD是直角梯形． 解：由题意可得kCD＝－ eq \f(1,2) ，kAD＝－3，kAB＝ eq \f(y－（－1）,x－5) ＝ eq \f(y＋1,x－5) ，kBC＝ eq \f(y－3,x－2) ，因为四边形ABCD是平行四边形，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kCD＝kAB，,kBC＝kAD，)) 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y＋1,x－5)＝－\f(1,2)，,\f(y－3,x－2)＝－3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0.)) 解析：当l1⊥l2时， 若m＝0，则l1：3y＋1＝0，l2：x＝0，满足l1⊥l2，若m≠0，因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－ eq \f(2m,3－m) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m))) ＝ eq \f(2,3－m) ＝－1，解得m＝5，所以当l1⊥l2时，m＝0或m＝5. 当l1∥l2时，有k1＝k2，即－ eq \f(2m,3－m) ＝－ eq \f(1,m) ，解得m＝1或m＝－ eq \f(3,2) . － eq \f(3,2) 当m＝1时，l1：2x＋2y＋1＝0，l2：2x＋2y＋1＝0，则l1和l2重合，不满足题意；当m＝－ eq \f(3,2) 时，l1：6x－9y－2＝0，l2：4x－6y－3＝0，满足题意．所以m＝－ eq \f(3,2) . 解：存在．设点A(x，y). 若AB∥CD，AD⊥CD， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y－1,x－6)＝\f(5－3,2－3)＝－2，,\f(y－5,x－2)＝\f(1,2)，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(18,5)，,y＝\f(29,5)，)) 所以点A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)，\f(29,5))) . 若AD∥BC，AB⊥BC， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y－5,x－2)＝\f(3－1,3－6)＝－\f(2,3)，,\f(y－1,x－6)＝\f(3,2)，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(86,13)，,y＝\f(25,13)，)) 所以点A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(86,13)，\f(25,13))) . 解析：由过点A(－3，m)和B(m，9)的直线与斜率为2的直线平行，得 eq \f(9－m,m－（－3）) ＝2，解得m＝1，所以m的值为1. 解：由斜率公式得kOP＝ eq \f(t－0,1－0) ＝t， kRQ＝ eq \f(2－（2＋t）,－2t－（1－2t）) ＝t， kOR＝ eq \f(2－0,－2t－0) ＝－ eq \f(1,t) ， kPQ＝ eq \f(2＋t－t,1－2t－1) ＝－ eq \f(1,t) ， $