2.2 直线及其方程 2.2.3 两条直线的位置关系 第1课时 两条直线的相交、平行与重合 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 聚焦两条直线位置关系判定，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，构建从概念理解到复杂问题解决的知识路径，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|平行/相交/重合判定|直接应用位置关系条件，如第1题考平行与重合判断| |中档层|综合计算与应用|结合倾斜角、交点位置，如第10题求平行时k值及交点象限范围| |提升层|复杂情境与拓展|涉及线段中点、轨迹问题，如第16题探究交点轨迹，发展逻辑推理|

2.2.3　两条直线的位置关系 第1课时　两条直线的相交、平行与重合 1.直线2x-y+k=0和直线4x-2y+1=0的位置关系是 (　 ) A.平行 B.不平行 C.平行或重合 D.既不平行也不重合 2.已知直线3x-(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k-3)y+2=0相交,则 (　 ) A.k≠1或k≠9 B.k≠1或k≠-9 C.k≠1且k≠9 D.k≠1且k≠-9 3.过直线x+y=2与x-y=0的交点,且平行于向量v=(3,2)的直线的方程为 (　 ) A.3x-2y-1=0 B. 3x+2y-5=0 C. 2x-3y+1=0 D. 2x-3y-1=0 4.[2026·长沙一中高二月考] 已知直线l1:mx+y+1=0与直线l2:3x+my-=0,若l1∥l2,则直线l1的倾斜角为 (　 ) A.30° B.60° C.120° D.60°或120° 5.已知直线kx-y=k-1与直线ky-x=2k的交点在第二象限,则实数k的取值范围是 (　 ) A. B. C.(0,1) D.{-1} 6.[2026·天津南开区高二月考] 已知直线l1:mx+y-4=0与l2:(2m+3)x+my+4=0平行,则实数m的值为 (　 ) A.3 B.3或-1 C.-1或2 D.2 7.(多选题)[2025·山东菏泽高二期中] 若直线(a-2)x+4y+a=0与直线(a-2)x+(a2+2a+4)y-2=0平行,则a的值可以是 (　 ) A.0 B.2 C.-2 D.4 8.已知两条直线l1:ax+3y-3=0,l2:4x+6y-1=0,若l1与l2相交,则实数a满足的条件是　　　　.  9.[2025·西安高新一中高二月考] 三条直线x+y=5,3x+y=7,ax+2y=6相交于A,B两点.已知A(2,1),则a=　　　　.  10.(13分)已知直线l1:y=kx-,直线l2:3x+2y-3=0. (1)若l1与l2平行,求k的值; (2)若l1与l2的交点位于第一象限,求l1的倾斜角θ的取值范围. ★11.直线l被直线l1:4x+y+3=0和l2:3x-5y-5=0截得的线段的中点为P(-1,2),则直线l的斜率为 (　 ) A.1 B.3 C.-3 D.-2 ★12.(多选题)若直线l1:3x+y=4,l2:x-y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形,则m的值可以为(　 ) A. B.- C. D.- 13.若直线l1:y=kx-3与直线l2:2x+3y-6=0的交点M在第一象限,则直线l1的倾斜角α的取值范围是　　　　.  14.(15分)已知l1:2x+y-8=0,l2:x-3y+10=0,过点P(0,1)作直线l. (1)若直线l被直线l1,l2所截得的线段被点P平分,求直线l的方程; (2)若直线l,l1,l2将平面分成6个部分,求直线l的方程. 15.已知P(2,3)是两条直线l1:a1x+b1y+1=0与l2:a2x+b2y+1=0的交点,则过A(a1,b1),B(a2,b2)两点的直线方程为　.  16.(15分)已知直线l1:ax-y+b=0,l2:bx+y+a=0(a∈R,b∈R). (1)判断直线l1与l2能否平行?并说明理由. (2)若直线l1与l2重合,求证:点P(a,b)与点Q(b,a)在同一条直线上. (3)求证:直线l1与l2的交点的轨迹是一条直线. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3　两条直线的位置关系 第1课时　两条直线的相交、平行与重合 1.C　[解析] 当k=时,两直线重合,当k≠时,两直线平行.故选C. 2.D　[解析] 因为直线3x-(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k-3)y+2=0相交,所以3(2k-3)-k[-(k+2)]≠0,解得k≠1且k≠-9.故选D. 3.C　[解析] 方法一:由解得所以两直线的交点坐标为(1,1).由题知所求直线的一个方向向量为v=(3,2),所以直线的斜率k=,所以所求直线的方程为y-1=(x-1),即2x-3y+1=0.故选C. 方法二:设所求直线的方程为x+y-2+λ(x-y)=0(λ∈R),整理得(1+λ)x+(1-λ)y-2=0,由题知所求直线的一个方向向量为v=(3,2),所以λ=-5,故所求直线的方程为2x-3y+1=0. 4.C　[解析] ∵l1∥l2,∴m×m=3×1,解得m=±.当m=时,l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,符合题意;当m=-时,l1:-x+y+1=0,l2:-x+y+1=0,两直线重合,不符合题意.故m=,则l1:x+y+1=0,其斜率为-,设直线l1的倾斜角为α,则tan α=-,又0°≤α<180°,所以α=120°.故选C. 5.A　[解析] 由题知,当k=±1时,显然不符合题意;当k≠±1时,由解得由题意得解得0<k<,所以实数k的取值范围为.故选A. 6.A　[解析] 由l1:mx+y-4=0与l2:(2m+3)x+my+4=0平行,得解得m=3.故选A. 7.AB　[解析] 因为两直线平行,所以由斜率相等得-=-,所以a-2=0或a2+2a+4=4,解得a=2或0或-2,当a=-2时两直线重合,舍去.故选AB. 8.a≠2　[解析] 直线l1:ax+3y-3=0的斜率为-,直线l2:4x+6y-1=0的斜率为-.因为l1与l2相交,所以-≠-,解得a≠2. 9.2　[解析] 由解得所以A(2,1)是直线ax+2y=6上的点,则2a+2=6,解得a=2. 10.解:(1)直线l2:3x+2y-3=0,即y=-x+,故直线l2的斜率为-. 因为直线l1:y=kx-与l2平行,所以k=-. (2)由解得 因为l1与l2的交点在第一象限,所以解得k>, 所以tan θ>,又θ∈[0,π),所以θ∈, 故l1的倾斜角θ的取值范围为. 11.C　[解析] 设直线l与l1的交点是A(x1,y1),直线l与l2的交点是B(x2,y2),则y1=-4x1-3,y2=x2-1,由题得=-1,=2,即x1+x2=-2,y1+y2=(-4x1-3)+=4,解得x1=-2,x2=0,所以A(-2,5),B(0,-1),故直线l的斜率k==-3.故选C. [点拨] 分别设出直线l与l1,l2的交点坐标,然后由中点坐标公式和斜率公式求解即可. 12.ABD　[解析] 若直线l1:3x+y=4,l2:x-y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形,则l1∥l3或l2∥l3或l3过l1与l2的交点.当l1∥l3时,=≠,解得m=-;当l2∥l3时,=≠,解得m=;当l3过l1与l2的交点时,由得代入l3的方程得2×1-3m×1=4,解得m=-.综上,m=-或m=或m=-.故选ABD. [易错点] 三条直线不能构成三角形所满足的条件考虑不全而导致错误. 13.　[解析] 易知直线l2:2x+3y-6=0在x轴和y轴上的截距分别为3,2,直线l1:y=kx-3恒过定点(0,-3).如图,设A(3,0),B(0,2),P(0,-3),连接AP,∵kPA=1,∴直线PA的倾斜角为.由图可知,要使直线l1:y=kx-3与l2:2x+3y-6=0的交点M在第一象限,则l1的倾斜角α的取值范围是. 14.解:(1)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,与l1的交点为A(0,8),与l2的交点为,线段中点的坐标为,不符合题意. 设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-1=kx, 由得l与l1的交点A的坐标为,由得l与l2的交点B的坐标为, 因为点P(0,1)是线段AB的中点,所以+=0,解得k=-, 故直线l的方程为y-1=-x,即x+4y-4=0. (2)若直线l,l1,l2将平面分成6个部分,则直线l经过l1与l2的交点或直线l与直线l1平行或直线l与直线l2平行. 由得l1与l2的交点为Q(2,4),当直线l经过l1与l2的交点时,直线l的斜率为=,则直线l的方程为y-1=x,即3x-2y+2=0; 当直线l与直线l1平行时,直线l的斜率与直线l1的斜率相等,即k1=-2, 则直线l的方程为y-1=-2x,即2x+y-1=0; 当直线l与直线l2平行时,直线l的斜率与直线l2的斜率相等,即k2=, 则直线l的方程为y-1=x,即x-3y+3=0. 综上所述,直线l的方程为3x-2y+2=0或2x+y-1=0或x-3y+3=0. 15.2x+3y+1=0　[解析] 方法一:因为P(2,3)是两条直线l1,l2的交点,所以2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0,两式相减得2(a1-a2)+3(b1-b2)=0,即=-,所以直线AB的斜率k==-,故所求直线的方程为y-b1=-(x-a1),即2x+3y-(3b1+2a1)=0.又2a1+3b1=-1,所以过A(a1,b1),B(a2,b2)两点的直线的方程为2x+3y+1=0. 方法二:由两条直线过点P(2,3)知由此方程组可知点A(a1,b1)与B(a2,b2)在直线2x+3y+1=0上,故过A(a1,b1),B(a2,b2)两点的直线方程为2x+3y+1=0. 16.解:(1)假设直线l1:ax-y+b=0与l2:bx+y+a=0(a∈R,b∈R)平行, 则a-(-b)=0且-a-b≠0,显然矛盾,所以直线l1与l2不能平行. (2)证明:若直线l1与l2重合,则a+b=0,所以点P(a,b)与点Q(b,a)在同一条直线上. (3)证明:若直线l1与l2相交,则a+b≠0, 由得所以直线l1与l2的交点坐标为(-1,b-a),都在直线x=-1上,故直线l1与l2的交点的轨迹是一条直线. 学科网（北京）股份有限公司 $