2.2.1 第2课时 直线的方向向量、法向量-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦直线的方向向量、法向量及与斜率、倾斜角的关系，以笛卡尔观察蜘蛛的故事导入，从生活情境抽象数学问题，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接方向向量定义、性质及法向量与方向向量的垂直关系。 其亮点在于采用“思考-探究-即时练-例题-跟踪训练”递进式设计，通过“方向向量是否同向”等思考培养数学眼光，结合实例推导斜率公式发展数学思维。小结系统梳理知识联系，助力学生构建逻辑体系，教师可提升教学效率。

第2课时　直线的方向向量、 法向量 新课导入 学习目标 数学家笛卡尔某天躺在床上静静地思考，思考着如何确定事物的位置，这时他发现苍蝇粘在蜘蛛网上，蜘蛛迅速爬过去把它捉住，笛卡尔此时恍然大悟……若蜘蛛由位置A爬到位置B，你能算出A，B两点间的距离吗？这就是本节课我们要学习的内容． 1.了解直线的方向向量与直线的法向量的概念． 2.掌握直线的方向向量与直线斜率的关系． 返回导航 内 容 索 引 新知学习探究 1 1 课堂巩固自测 2 新知学习探究 第一部分 4 知识点一　直线的方向向量 思考　直线l的方向向量是否都同向？ [提示]　不一定，可以同向也可以反向． 返回导航 [知识梳理] 一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l______________，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作_______． (1)a＝(1，0)是所有倾斜角为____°(即与y轴垂直)的直线的一个方向向量． b＝(0，1)是所有倾斜角为_____°(即与x轴垂直)的直线的一个方向向量． c＝(1，1)是所有倾斜角为45°的直线的一个方向向量． 平行或重合 a∥l 0 90 返回导航 (2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量_______都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定 _______． λa 共线 返回导航 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)a＝(1，0)表示与y轴垂直的直线的一个方向向量．(　　) (2)b＝(0，1)表示与x轴垂直的直线的一个方向向量．(　　) (3)c＝(1，1)只能为第一、三象限角平分线的方向向量．(　　) (4)任何直线都有无数个方向向量．(　　) √ √ × √ 返回导航 BC 返回导航 返回导航 3．过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1，－1)，则y＝________． －1 返回导航 感悟提升 返回导航 知识点二　直线的方向向量与倾斜角、斜率的关系 [知识梳理] 1．如果直线l的倾斜角为θ，则a＝____________为直线l的一个方向向量． 如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)为直线l的一个方向向量． 2．如果a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则 当u＝0时，直线l的斜率________，倾斜角为____； 当u≠0时，直线l的斜率存在，且k＝tan θ＝____． (cos θ，sin θ) 不存在 90° 返回导航 返回导航 返回导航 感悟提升 返回导航 [跟踪训练1] (1)若直线的一个方向向量为a＝(0，－2 024)，则直线的倾斜角为(　　) A．0° B．90° C．120° D．270° 解析：因为a＝(0，－2 024)，根据直线的方向向量的定义可知，直线的倾斜角为90°.故选B. B 返回导航 返回导航 知识点三　直线的法向量 思考　类比平面的法向量，你能推测出直线的法向量所在的直线与该直线的位置关系吗？ [提示]　能，垂直． 返回导航 [知识梳理] 一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l______，则称向量v为直线l的一个法向量，记作______． (1)一条直线的方向向量与法向量____________． (2)当x0与y0不全为0时，因为向量(x0，y0)与(y0，－x0)是互相垂直的，所以，如果其中一个为直线l的一个方向向量，则另一个一定是直线l的一个____________． 垂直 v⊥l 互相垂直 法向量 返回导航 [例2] (1)直线l过点A(－1，3)和B(3，2)，则直线l的一个法向量为(　　) A．(－1，4) B．(2，5) C．(5，－2) D．(－1，－4) D 返回导航 30° 返回导航 若直线的方向向量为a＝(x0，y0)，则直线的法向量v＝(y0，－x0)，即要求直线的法向量，只需先求直线的方向向量即可． 感悟提升 返回导航 30° 返回导航 (2)直线l上两点A(－2，3)，B(4，m)，若直线l的一个法向量为v＝(2，－3)，则m＝ __________． 7 返回导航 课堂巩固自测 第二部分 26 D 返回导航 2．(多选)若直线的一个法向量a＝(－4，2)，则直线的方向向量可能是(　　) A．(－2，4) B．(1，2) C．(3，6) D．(2，－4) BC 返回导航 解析：选.对于A，－4×(－2)＋2×4＝16≠0， 对于B，－4×1＋2×2＝0， 对于C，－4×3＋2×6＝0， 对于D，－4×2＋2×(－4)＝－16≠0， 因为一条直线的方向向量与法向量互相垂直，所以A，D不可能是直线的方向向量； B，C都可以是直线的方向向量．故选BC. 返回导航 返回导航 返回导航 课堂小结 1．已学习：直线的方向向量、法向量以及直线的方向向量与斜率、倾斜角的关系． 2．须贯通：通过直线的方向向量和法向量能确定直线的斜率与倾斜角，一条直线的方向向量都共线． 3．应注意：直线的方向向量和法向量都存在，但不唯一． 返回导航 (3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量． 2．(多选)已知直线l经过点P(1，2)和点Q(－2，－2)，则直线l的一个单位方向向量为(　　) A．(－3，－4) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(4,5))) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5))) 解析：由题意得，直线l的一个方向向量为 eq \o(PQ,\s\up16(→)) ＝(－2－1，－2－2)＝(－3，－4)，所以直线l的一个单位方向向量为± eq \f(\o(PQ,\s\up16(→)),|\o(PQ,\s\up16(→))|) ＝± eq \f(1,5) (－3，－4)＝± eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5))) .故选BC. 解析：由题意知 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝(－2，－3－y)， 又因为直线的一个方向向量为n＝(－1，－1)， 所以n∥ eq \o(AB,\s\up16(→)) ，所以(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，解得y＝－1. 求直线的方向向量，只需在直线上任取两个不同的点A，B， eq \o(AB,\s\up16(→)) 与 eq \o(BA,\s\up16(→)) 均是该直线的方向向量；同一直线的方向向量有无数个，它们都是共线向量． eq \f(v,u) [例1] (对接教材例4)已知直线l过点P(1，－3)，Q(4， eq \r(3) －3)，求直线l的一个方向向量、斜率和倾斜角． 【解】　设直线l的斜率为k，倾斜角为θ. 方法一： eq \o(PQ,\s\up16(→)) ＝(3， eq \r(3) ). 所以 eq \o(PQ,\s\up16(→)) ＝(3, eq \r(3) )为直线l的一个方向向量，所以k＝ eq \f(\r(3),3) ，所以tan θ＝ eq \f(\r(3),3) ，又0°≤θ<180°，所以θ＝30°. 故直线l的斜率为 eq \f(\r(3),3) ，倾斜角为30°. 方法二：k＝ eq \f(（\r(3)－3）－（－3）,4－1) ＝ eq \f(\r(3),3) ，所以tan θ＝ eq \f(\r(3),3) ，又0°≤θ<180°，所以θ＝30°.所以直线l的一个方向向量为a＝(1，k)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3))) . 设直线l的一个方向向量为a＝(u，v)，直线l的倾斜角为θ，A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上不同的两点，则 (1)u＝0⇔x2－x1＝0⇔θ＝ eq \f(π,2) ⇔k不存在； (2)u≠0⇔k＝ eq \f(y2－y1,x2－x1) ＝tan θ＝ eq \f(v,u) ⇔a＝u(1，k). (2)已知直线l1的一个方向向量为m＝(1， eq \r(3) )，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则l2的斜率为________． 解析：设直线l1的倾斜角为α(0≤α<π)，则直线l2的倾斜角为2α，因为直线l1的一个方向向量为m＝(1， eq \r(3) ), 所以直线l1的斜率为tan α＝ eq \r(3) ，所以α＝ eq \f(π,3) ，所以直线l2的斜率为tan 2α＝－ eq \r(3) . － eq \r(3) 【解析】　因为直线l过点A(－1，3)，B(3，2)，所以 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝(4，－1)，而 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝(4，－1)是直线l的一个方向向量，所以(－1，－4)为直线l的一个法向量．故选D. (2)直线l的一个法向量为v＝( eq \r(3) ，－3)，则直线l的斜率为________，倾斜角为________． 【解析】　设直线l的斜率为k，倾斜角为θ.因为v＝( eq \r(3) ，－3)为直线l的一个法向量，所以a＝(3， eq \r(3) )为直线l的一个方向向量，所以k＝ eq \f(\r(3),3) .所以tan θ＝ eq \f(\r(3),3) ，而0°≤θ<180°，所以θ＝30°. eq \f(\r(3),3) [跟踪训练2] (1)直线PQ的斜率为－ eq \r(3) ，则直线PQ的法向量所在直线的倾斜角为________________． 解析：因为kPQ＝－ eq \r(3) ，所以直线PQ的倾斜角为120°，又直线PQ的法向量与直线PQ垂直，故PQ的法向量所在直线的倾斜角为30°. 解析： eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝(6，m－3)，所以 eq \o(AB,\s\up16(→)) 为直线l的一个方向向量，所以 eq \o(AB,\s\up16(→)) ⊥v，即6×2＋(－3)×(m－3)＝0，解得m＝7. 1．(教材P79尝试与发现(2)改编)已知直线l的斜率为 eq \f(2,3) ，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2，－3) B．(2，3) C．(－3，2) D．(3，2) 解析：因为直线l的斜率k＝ eq \f(2,3) ，所以(3，2)是直线l的一个方向向量．故选D. 3．若n＝(－ eq \r(3) ，1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角为________． 解析：由n＝(－ eq \r(3) ，1)是直线l的一个法向量，可知直线l的一个方向向量为(1， eq \r(3) ). 设直线l的倾斜角为α，0°≤α<180°，可得直线l的斜率k＝tan α＝ eq \r(3) ，所以直线l的倾斜角α＝ eq \f(π,3) . eq \f(π,3) 4．(教材P80尝试与发现(2)改编)已知直线l的一个方向向量为v＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－2\r(3))) ，求直线l的倾斜角和斜率． 解：由直线l的一个方向向量为v＝(2，－2 eq \r(3) )，得直线的斜率k＝ eq \f(－2\r(3),2) ＝－ eq \r(3) ，设直线l的倾斜角为α，α∈[0，π)， 故k＝tan α＝－ eq \r(3) ，解得α＝ eq \f(2π,3) ， 故直线l的倾斜角α＝ eq \f(2π,3) ，斜率k＝－ eq \r(3) . $