2.2.1 坐标法-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦平面解析几何中的坐标法，涵盖数轴与平面直角坐标系的距离公式、中点坐标公式及坐标法应用。通过“两人上学路线交点”的实际问题导入，从数轴上点与实数的对应关系逐步过渡到平面直角坐标系中的公式推导，搭建从一维到二维的知识学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，结合例1判断三角形形状、例2求最小值等实例，培养学生数学思维与推理能力。通过即时练、跟踪训练强化数学语言表达，帮助学生提升用数学眼光分析问题的能力，为教师提供系统的教学资源和清晰的知识脉络，助力高效教学。

第二章　平面解析几何 2．1　坐标法 新课导入 学习目标 如图，小王与小李两位同学早上从家出发去上学，7：15同时到达学校．假设两人的行走路线都是直线，则学校可以看作两条直线的交点，假设两人速度一样，那么两人从家出发的时间一样吗？ 1.掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式、中点坐标公式，并会应用公式解决问题． 2.了解坐标的含义，并会利用坐标法解决平面几何问题． 返回导航 内 容 索 引 新知学习探究 1 1 课堂巩固自测 2 新知学习探究 第一部分 4 知识点一　数轴上的基本公式 思考1　数轴的三要素是什么？ [提示]　原点、单位长度与正方向． 思考2　数轴上的点与实数有何关系？ [提示]　一一对应． 返回导航 [知识梳理] 如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为____，记作________)，且B(x2). x1 A(x1) x2－x1 |x2－x1| 返回导航 [即时练] 1．下列各组点中，点C位于点D的右侧的是(　　) A．C(－3)和D(－4) B．C(3)和D(4) C．C(－4)和D(3) D．C(－4)和D(－3) 解析：对于A，C在D右侧，符合题意； 对于B，C在D左侧，不符合题意； 对于C，C在D左侧，不符合题意； 对于D，C在D左侧，不符合题意．故选A. A 返回导航 A 返回导航 3．在数轴上，已知A(3)，B(－1)，则|AB|＝________；AB中点的坐标为________． 4 1 返回导航 感悟提升 返回导航 知识点二　平面直角坐标系中的基本公式 思考　已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当P1P2与坐标轴不平行时，怎样求这两点间的距离|P1P2|? 返回导航 2．中点坐标公式 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点M(x，y)的坐标公式x＝ ____________，y＝____________． 返回导航 [例1] (对接教材例1)如图，已知△ABC的三个顶点A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7). (1)判断△ABC的形状； 返回导航 返回导航 返回导航 (1)判断平面多边形的形状或判断点之间的关系时，若已知点的坐标，一般转化为两点之间的距离求解． (2)根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等，在进行判断时，一定要得出最终结果，比如一个三角形是等腰直角三角形，若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的． 感悟提升 返回导航 返回导航 返回导航 知识点三　坐标法 思考　能否利用两点之间的距离公式证明勾股定理？ [提示]　能．先将直角三角形放到平面直角坐标系中，确定三个顶点的坐标，再利用两点之间的距离公式求出三边的长度，进而证明勾股定理． 返回导航 [知识梳理] 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题．这种解决问题的方法称为坐标法． 返回导航 [例2] 已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求此最小值． 返回导航 返回导航 建立平面直角坐标系的原则 (1)要使尽可能多的已知点落在坐标轴上，这样便于计算． (2)如果图形中有互相垂直的两条线，可以考虑将其作为坐标轴． (3)如果图形具有中心对称性，可以考虑将图形的对称中心作为坐标原点． (4)如果图形具有轴对称性，可以考虑将对称轴作为坐标轴． 感悟提升 返回导航 证明：如图所示，以A为坐标原点，Rt△ABC的直角边AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设B(b，0)，C(0，c)， 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 第二部分 26 C 返回导航 BC 返回导航 返回导航 (7，－8) 25 返回导航 返回导航 4．已知▱ABCD的两个顶点坐标分别为A(4，2)，B(5，7)，对角线的交点为E(－3，4)，求另外两个顶点C，D的坐标． 返回导航 课堂小结 1．已学习：平面直角坐标系中的基本公式、坐标法． 2．须贯通：充分利用平面图形的几何特征建立适当的坐标系． 3．应注意：建立的平面直角坐标系不同，相关点的坐标也不同，但不影响几何性质． 返回导航 (1)向量 eq \o(AB,\s\up16(→)) 的坐标为________． (2)A，B两点之间的距离为|AB|＝| eq \o(AB,\s\up16(→)) |＝________． (3)线段AB的中点坐标为x＝ eq \f(x1＋x2,2) . 2．A，B为数轴上的两点，点B的坐标为－5， eq \o(BA,\s\up16(→)) ＝－6，则点A的坐标为(　　) A．－11 B．－1或11 C．－1 D．1或－11 解析：设点A的坐标为xA，因为 eq \o(BA,\s\up16(→)) ＝xA－(－5)＝－6，所以xA＝－11.故选A. 解析：由题意，得|AB|＝|－1－3|＝4，AB中点的坐标为 eq \f(3－1,2) ＝1. (1)数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以点的坐标的大小决定彼此的相互位置，显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标． (2)数轴上两点A(x1)，B(x2)，距离公式|AB|＝|x2－x1| 与两点的顺序无关；向量 eq \o(AB,\s\up16(→)) 的坐标须用终点坐标减去起点坐标，即 eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝x2－x1表示. [提示]　当P1P2与坐标轴不平行时， 如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2| ＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2) . 即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离 |P1P2|＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2) . [知识梳理] 1．两点间的距离公式 点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离|AB|＝| eq \o(AB,\s\up16(→)) |＝ _________________________. eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2) eq \f(x1＋x2,2) eq \f(y1＋y2,2) 【解】　因为|AB|＝ eq \r(（3＋3）2＋（－3－1）2) ＝ eq \r(52) ＝2 eq \r(13) ，|AC|＝ eq \r(（1＋3）2＋（7－1）2) ＝ eq \r(52) ＝2 eq \r(13) ，|BC|＝ eq \r(（1－3）2＋（7＋3）2) ＝ eq \r(104) ＝2 eq \r(26) ， 所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 且|AB|＝|AC|. 所以△ABC是等腰直角三角形． (2)设BC的中点为D，求 eq \o(AD,\s\up16(→)) 及|AD|. 【解】　由中点坐标公式可得D(2，2)， 所以 eq \o(AD,\s\up16(→)) ＝(5，1)，|AD|＝| eq \o(AD,\s\up16(→)) |＝ eq \r(52＋12) ＝ eq \r(26) . [跟踪训练1] 已知点A(－3，4)，B(2， eq \r(3) )，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，则|PA|的值为________． 解析：设点P的坐标为(x，0)，则有|PA|＝ eq \r(（x＋3）2＋（0－4）2) ＝ eq \r(x2＋6x＋25) ， |PB|＝　 eq \r(（x－2）2＋（0－\r(3)）2 ) ＝ eq \r(x2－4x＋7) . eq \f(2\r(109),5) 由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－ eq \f(9,5) . 故所求点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，0)) . 所以|PA|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)＋3))\s\up12(2)＋（0－4）2) ＝ eq \f(2\r(109),5) . 【解】　以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图． 则A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)a)) ，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0)) ，C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0)) . 设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2 ＝x2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)a)) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1( x＋\f(a,2))) eq \s\up12(2) ＋y2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2))) eq \s\up12(2) ＋y2 ＝3x2＋3y2－ eq \r(3) ay＋ eq \f(5a2,4) ＝3x2＋3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),6)a)) eq \s\up12(2) ＋a2≥a2， 当且仅当x＝0，y＝ eq \f(\r(3),6) a时，等号成立， 所以所求最小值为a2，此时P点的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),6)a)) ，是正三角形ABC的中心． [跟踪训练2] 已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝ eq \f(1,2) |BC|. 因为点M是BC的中点，故点M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)，\f(c,2))) . 由两点间的距离公式，得 |BC|＝ eq \r(（0－b）2＋（c－0）2) ＝ eq \r(b2＋c2) ， |AM|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)－0))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)－0))\s\up12(2)) ＝ eq \f(1,2) eq \r(b2＋c2) ，所以|AM|＝ eq \f(1,2) |BC|. 1．(教材P73习题2－1AT5改编)已知数轴上A(－1)，B(2)两点，且点A关于点C的对称点为点B，则C点的坐标为(　　) A．5 B．3 C． eq \f(1,2) D．－ eq \f(1,2) 解析：由题意，点C为AB的中点，由中点坐标公式得C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) . 2．(多选)数轴上点P，M，N的坐标分别为－2，8，－6，则有(　　) A． eq \o(MN,\s\up16(→)) 的坐标等于 eq \o(NM,\s\up16(→)) 的坐标 B．|MP|＝10 C． eq \o(PN,\s\up16(→)) 的坐标为－4 D． eq \o(MP,\s\up16(→)) 的坐标为10 解析：数轴上的两点对应向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，故 eq \o(MN,\s\up16(→)) 的坐标与 eq \o(NM,\s\up16(→)) 的坐标不相等，A不正确； 数轴上两点间的距离一定是非负的，|MP|＝| eq \o(MP,\s\up16(→)) |＝|－2－8|＝10，B正确； eq \o(PN,\s\up16(→)) 的坐标为－6－(－2)＝－4，C正确； eq \o(MP,\s\up16(→)) 的坐标为－2－8＝－10，D不正确．故选BC. 3．已知点A的坐标(－8，12)，线段AB中点的坐标为(－ eq \f(1,2) ，2)，则B点的坐标为________，|AB|＝________． 解析：设B点的坐标为(x，y)， 因为点A的坐标(－8，12)，线段AB中点的坐标为(－ eq \f(1,2) ，2)， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(－8＋x,2)＝－\f(1,2)，,\f(12＋y,2)＝2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝－8，)) 即B点的坐标为(7，－8)，所以|AB|＝ eq \r(（7＋8）2＋（－8－12）2) ＝25. 解：设C(x1，y1)，D(x2，y2). 因为E为AC的中点，所以－3＝ eq \f(4＋x1,2) ，4＝ eq \f(2＋y1,2) ，解得x1＝－10，y1＝6. 又因为E为BD的中点，所以－3＝ eq \f(5＋x2,2) ，4＝ eq \f(7＋y2,2) ，解得x2＝－11，y2＝1.所以C的坐标为(－10，6)，D的坐标为(－11，1). $