周周练2 圆的方程及应用(范围：§2)-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

周周练2　圆的方程及应用(范围：§2) (满分：100分　时间：80分钟) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．以点C(－1，－5)为圆心，并与x轴相切的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y＋5)2＝9 B．(x＋1)2＋(y＋5)2＝16 C．(x－1)2＋(y－5)2＝9 D．(x＋1)2＋(y＋5)2＝25 解析：选D.由题意，圆心为点C(－1，－5)，半径为5，则圆的方程为(x＋1)2＋(y＋5)2＝25. 2．若方程ax2＋by2＋bx－4y＋a＝0表示一个圆，则b的取值范围为(　　) A．(0，) B．(－，0)∪(0，) C．(－，) D．(－，0)∪(0，) 解析：选D.若方程ax2＋by2＋bx－4y＋a＝0表示一个圆，则a＝b≠0， 方程可化为x2＋y2＋x－y＋1＝0， 所以1＋(－)2－4＞0， 解得－＜b＜，且b≠0， 所以－＜b＜0或0＜b＜. 3．“a＝3”是“圆(x－a)2＋y2＝9截直线x－y＋1＝0所得弦长为2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.圆(x－a)2＋y2＝9的圆心为(a，0)，半径为3，若弦长为2，则圆心到直线的距离为d＝＝2，由点到直线的距离公式可得d＝＝2， 即|a＋1|＝4，解得a＝－5或a＝3，所以“a＝3”是“圆(x－a)2＋y2＝9截直线x－y＋1＝0所得弦长为2”的充分不必要条件． 4．已知点P(1，0)，点Q是圆x2＋y2＝4上的一个动点，则线段PQ的中点的轨迹方程是(　　) A．(x－)2＋y2＝1 B．x2＋(y－)2＝4 C．x2＋(y－)2＝1 D．(x－)2＋y2＝0 解析：选A.设Q(x0，y0)，PQ的中点M(x，y)，所以x＝，y＝， 即x0＝2x－1，y0＝2y，又因为点Q是圆x2＋y2＝4上的一个点， 所以x＋y＝(2x－1)2＋(2y)2＝4，化简得(x－)2＋y2＝1，所以M的轨迹方程为(x－)2＋y2＝1. 5．已知A(－2，0)，B(2，0)，若圆(x－a－1)2＋(y－3a＋2)2＝4上存在点P满足·＝5，则a的取值范围是(　　) A．[－1，2] B．[－2，1] C．[－2，3] D．[－3，2] 解析：选A.设点P(x，y)，则＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)，所以·＝(－2－x)(2－x)＋y2＝5，则x2＋y2＝9，所以点P的轨迹方程为x2＋y2＝9，圆心为(0，0)，半径为3，由此可知圆(x－a－1)2＋(y－3a＋2)2＝4与x2＋y2＝9有公共点，又圆(x－a－1)2＋(y－3a＋2)2＝4的圆心为(a＋1，3a－2)，半径为2，所以1≤≤5，解得－1≤a≤2，即a的取值范围是[－1，2]. 6．已知圆C1：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，圆C2：(x－2)2＋(y－3)2＝4，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) A．4－3 B．2－3 C．4 D．5－4 解析：选A.圆C1：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，圆心为C1(－2，1)，半径r1＝1， 圆C2：(x－2)2＋(y－3)2＝4，圆心为C2(2，3)，半径为r2＝2，如图， 圆C1关于x轴的对称圆为圆C′1：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1，连接C′1C2，交x轴于P，交圆C′1于M′，交圆C2于N， 此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PM|＋|PN|＝|C′1C2|－r1－r2＝ －1－2＝4－3. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．直线l：x－y＋1＝0与圆C：(x＋a)2＋y2＝2(－1≤a≤3)的公共点的个数可能为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选BC.圆C：(x＋a)2＋y2＝2的圆心为C(－a，0)，半径r＝，当－1≤a≤3时，点C(－a，0)到直线l的距离d＝＝∈[0，]，因此直线l与圆相切或相交，所以直线l与圆C的公共点个数为1或2. 8．(2026·咸阳期中)已知直线l：y＝tx－2(t∈R)，圆C：x2＋y2＋4x－4＝0，则下列说法正确的有(　　) A．t＝－1时，圆C关于直线l对称 B．t＝1时，直线l与圆C有两个公共点 C．存在t∈R，使得直线l与圆C没有公共点 D．若直线l被圆C截得的弦长为，则t＝－5±2　 解析：选AD.对于A，当t＝－1时，直线为y＝－x－2，而圆C的方程x2＋y2＋4x－4＝0⇒(x＋2)2＋y2＝8，可知圆心为C(－2，0)， 此时点C(－2，0)在直线y＝－x－2上，所以圆C关于直线l对称，故A正确； 对于B，当t＝1时，直线为y＝x－2，此时圆心到直线的距离为＝2， 由于圆C的半径为2，所以直线l与圆C相切，只有一个公共点，故B错误； 对于C，要使得直线l与圆C没有公共点，则圆心到直线的距离为＞2， 此时不等式(t－1)2＜0无解，所以不存在t∈R，使得直线l与圆C没有公共点，故C错误； 对于D，由直线l被圆C截得的弦长为，圆心到直线的距离为， 得2＝，化简得t2＋10t＋1＝0， 解得t＝－5±2，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．若圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝4上存在两点关于直线ax＋y－1＝0对称，则a的值为________． 解析：圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝4的圆心为C(2，－3)，半径为2，圆上存在两点关于直线ax＋y－1＝0对称，则圆心在直线上，所以2a－3－1＝0，解得a＝2. 答案：2 10．某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向50米的A处出发，沿A处西北方向走向位于设备正北方向的B处，则这名工作人员被持续监测的时长为________分钟． 解析：以设备的位置为坐标原点O，其正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系xOy，如图所示， 则A(50，0)，B(0，50)，可得lAB：x＋y＝50，圆O：x2＋y2＝10 000. 记从N处开始被监测，到M处监测结束，因为O到lAB的距离为|OO′|＝＝50米， 所以|MN|＝2＝100米，故监测时长为＝2分钟． 答案：2 11．已知圆C1：(x－1)2＋y2＝1，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝4，其中a，b∈R.若两圆外切，则的取值范围为________． 解析：圆C1：(x－1)2＋y2＝1和圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝4外切， 则＝1＋2， 整理得到(a－1)2＋b2＝9， 表示圆(x－1)2＋y2＝9上的点P(a，b)与M(－3，3)形成直线的斜率， 易知直线斜率存在，设直线PM方程为y＝k(x＋3)＋3，即kx－y＋3k＋3＝0， 所以d＝≤3， 解得－≤k≤0. 答案：[－，0] 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)已知A(1，2)，B(3，6)，动点P满足·＝－4，设动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的标准方程；(6分) (2)求过点A(1，2)且与曲线C相切的直线的方程．(7分) 解： (1)设P(x，y)，则＝(1－x，2－y)，＝(3－x，6－y)， 由·＝(1－x)(3－x)＋(2－y)·(6－y)＝－4，得(x－2)2＋(y－4)2＝1， 所以曲线C的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝1. (2)曲线C是以(2，4)为圆心，1为半径的圆，若过点A(1，2)的直线斜率不存在，直线方程为x＝1，满足与圆C相切； 若过点A(1，2)的切线斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，由圆心到直线距离d＝＝1，解得k＝， 则方程为3x－4y＋5＝0. 所以过点A(1，2)且与曲线C相切的直线的方程为x＝1或3x－4y＋5＝0. 13．(本小题满分15分)已知圆C的圆心在直线l：x－3y＋1＝0上，且过点(2，4)，(5，1). (1)求圆C的方程；(4分) (2)已知点P(x0，y0)是圆C上的一点，求x0＋2y0的取值范围；(5分) (3)已知直线n：ax＋by－a－2b＝0与圆C交于A，B两点，求|AB|的最小值．(6分) 解：(1)因为圆C的圆心在直线l：x－3y＋1＝0上，可设C(3a－1，a)，又圆C过点(2，4)，(5，1)， 所以 ＝， 解得a＝1，所以C(2，1)，所以圆C的半径＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝9. (2)设x0＋2y0＝t，又点P(x0，y0)是圆C上的点，所以直线x＋2y＝t与圆有公共点，所以≤3，解得4－3≤t≤4＋3，即x0＋2y0的取值范围是[4－3，4＋3]. (3)直线n：ax＋by－a－2b＝0可以化为a(x－1)＋b(y－2)＝0，则直线恒过定点(1，2)， 且该点在圆内．设圆心到直线的距离为d，由题意得|AB|＝2， 当d最大时，|AB|最小，易知当直线与圆心和定点的连线垂直时d最大， 此时d＝＝， 则|AB|min＝2＝2. 14．(本小题满分15分)已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：x－y－1＝0，点P在直线l上． (1)求|PO|2＋|PM|2的取值范围；(4分) (2)过点P引圆M的两条切线PA，PB，切点为A，B. ①求四边形MAPB面积的最小值；(5分) ②设AB中点为N，是否存在定点Q使得|NQ|为定值？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．(6分) 解：(1)因为点P在直线l：x－y－1＝0， 故可设点P的坐标为(x0，x0－1)， 圆M：x2＋(y－2)2＝1的圆心M的坐标为(0，2)，半径为1， 所以|PO|2＋|PM|2 ＝x＋(x0－1)2＋x＋(x0－3)2 ＝4x－8x0＋10＝4(x0－1)2＋6≥6， 所以|PO|2＋|PM|2的取值范围为[6，＋∞). (2)①因为PA，PB为圆的两条切线，所以PA⊥AM，PB⊥BM， 又|MA|＝|MB|＝1， 所以S四边形MAPB＝2S△MAP ＝2××|MA||AP|＝|AP| ＝， 圆心M到直线l的距离为d＝＝， 所以当|PM|＝时，四边形MAPB的面积取最小值，最小值为， ②由①得M，A，P，B四点共圆，且以MP为直径， 因为M(0，2)，P(x0，x0－1)， 所以该圆方程为(x－x0)(x－0)＋(y－x0＋1)(y－2)＝0， A，B在圆(x－x0)(x－0)＋(y－x0＋1)(y－2)＝0上， A，B又在圆x2＋(y－2)2＝1上， 两式作差可得直线AB为x0x＋(x0－3)y＋5－2x0＝0， 即x0(x＋y－2)＋5－3y＝0， 所以直线AB过定点D(，)， 因为MN⊥ND，所以点N在以MD为直径的圆上， 取MD的中点为Q(，)， 则|NQ|为定值，|NQ|＝|MD|＝×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $