周周练1 直线的方程及应用(范围：§1)-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

周周练1　直线的方程及应用(范围：§1) (满分：100分　时间：80分钟) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．过点A(，1)且倾斜角为90°的直线方程为(　　) A．x＝－ B．y＝－1 C．x＝ D．y＝1 解析：选C.因为倾斜角为90°，所以该直线与x轴垂直，又过点A(，1)， 所以直线方程为x－＝0，即x＝. 2．已知直线l1：y＝kx－2k＋1与直线l2关于点(1，0)对称，则l2恒过定点(　　) A．(2，1) B．(2，－1) C．(0，－1) D．(－1，－1) 解析：选C.直线l1的方程可化为k(x－2)＋1－y＝0，由得 所以直线l1过定点(2，1)，点(2，1)关于点(1，0)的对称点为(0，－1)， 因此，直线l2恒过定点(0，－1). 3．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线y＝2x＋3上的两点，若|AB|＝5，则|y1－y2|＝(　　) A． B．2 C．2 D．2 解析：选B.因为A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线y＝2x＋3上的两点，所以y1＝2x1＋3，y2＝2x2＋3. 根据两点间的距离公式， 得|AB|＝ ＝ ＝＝|y1－y2|＝5， 解得|y1－y2|＝2. 4．一条光线从点P(4，2)射出，经过直线y＝x反射后与y轴相交于点Q(0，－2)，则入射光线所在直线的方程为(　　) A．x－3y－2＝0 B．3x－y－2＝0 C．x－3y＋2＝0 D．x＋3y－10＝0 解析：选C.根据题意可得反射光线经过点Q(0，－2)，易得入射光线所在直线经过点Q′(－2，0)，因为入射光线经过点P(4，2)，所以入射光线所在直线的方程为＝，即x－3y＋2＝0. 5．(2026·滨海期中)点(3，2)到动直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的最大值是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选C.(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5可化为m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0， 由解得即直线经过定点(9，－4). 所以点(3，2)到点(9，－4)的距离就是点(3，2)到动直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的最大值， 所以最大值为＝6. 6．(2026·池州期中)已知实数a，b，c，d满足＝＝，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.因为＝＝，则3a－4b＝0，3c－4d＋6＝0，即点(a，b)在直线3x－4y＝0上，点(c，d)在直线3x－4y＋6＝0上， 而(a－c)2＋(b－d)2的几何意义为点(a，b)和点(c，d)之间的距离的平方， 故(a－c)2＋(b－d)2的最小值为两平行线3x－4y＝0和3x－4y＋6＝0间距离的平方， 所以最小值为()2＝. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．已知直线l：x－3y＋1＝0，则下列说法正确的是(　　) A．直线l在x轴上的截距为1 B．直线l与直线l1：x－3y＋2＝0平行 C．直线l的一个方向向量为n＝(1，3) D．直线l与直线l2：3x＋y＋1＝0垂直 解析：选BD.对于A，直线l在x轴上的截距为－1，A错误； 对于B，直线l与直线l1的斜率均为，它们的横截距分别为－1，－2，则l∥l1，B正确； 对于C，直线l的一个方向向量为(3，1)，C错误； 对于D，由1×3＋(－3)×1＝0，得l⊥l2，D正确． 8．已知曲线C：|y－2|＝－x，则(　　) A．C不经过第一、四象限 B．C关于直线y＝－2对称 C．直线y＝x与C有两个交点 D．C与直线x＝－2围成一个面积为4的三角形 解析：选AD.由|y－2|≥0，得－x≥0，所以x≤0，所以曲线C不经过第一、四象限，故A正确； 当y－2≥0，即y≥2时，C的方程为x＋y－2＝0，当y－2＜0，即y＜2时，C的方程为x－y＋2＝0， 作出曲线C的图象，如图1，可知C关于直线y＝2对称，不关于直线y＝－2对称，故B错误； 由y＝x及|y－2|＝－x得|y－2|＝－y， 所以或 此方程组无解，所以直线y＝x与C没有交点，故C错误； 把x＝－2代入|y－2|＝－x得y＝0或y＝4， 如图2，C与直线x＝－2围成以(0，2)，(－2，0)，(－2，4)为顶点的三角形，其面积为×4×2＝4，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．经过点P(1，)，Q(4，0)两点的直线l的倾斜角α为________． 解析：由题意可得直线l的斜率k＝＝－， 则tan α＝k＝－，解得α＝. 答案： 10．已知直线(1＋k)x＋y－k－2＝0恒过定点P，则点P到直线x－y－2＝0的距离为______ . 解析：直线(1＋k)x＋y－k－2＝0可化为k(x－1)＋(x＋y－2)＝0， 令解得于是此直线恒过点P(1，1).由点到直线的距离公式得点P到直线x－y－2＝0的距离d＝＝. 答案： 11．如图，已知两点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射到直线OB上，再经直线OB反射到P点，则光线所经过的路程|PM|＋|MN|＋|NP|＝________． 解析： 易知直线AB的方程为y＝－x＋4，设点P(2，0)关于直线AB的对称点为P1(a，b)， 则＝1且＝－＋4，解得a＝4，b＝2，即P1(4，2)， 又点P(2，0)关于y轴的对称点为P2(－2，0)， 由光的反射规律可知，M，N，P1共线，M，N，P2共线，从而M，N，P1，P2共线， 所以光线所经过的路程长为 |PM|＋|MN|＋|NP|＝|P1M|＋|MN|＋|NP2|＝|P1P2|＝＝2. 答案：2 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)已知两条直线l1：x＋y－2＝0和l2：2x－y＋5＝0的交点为P.求： (1)经过点P和点Q(3，2)的直线的一般式方程；(6分) (2)经过点P且与l2垂直的直线的斜截式方程．(7分) 解：(1)联立 解得P(－1，3)，又Q(3，2)， 由斜率公式可得kPQ＝＝－， 故所求直线的方程为y－2＝－(x－3)， 即x＋4y－11＝0. (2)因为l2：2x－y＋5＝0， 所以直线l2的斜率为2， 由垂直条件知所求直线的斜率k＝－， 故所求直线的方程为y－3＝－(x＋1)， 即y＝－x＋. 13．(本小题满分15分)已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，l2：4x－2y－1＝0，l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.求： (1)a的值；(5分) (2)过直线l1与l3的交点，且垂直于l1的直线方程；(5分) (3)与l1平行且到l1，l2距离相等的直线l的方程.(5分) 解：(1)因为l2：2x－y－＝0，l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，所以l1与l2间的距离为d＝＝＝， 即＝，因为a＞0，所以a＋＝，解得a＝3. (2)由解得 即两直线的交点坐标为P(－，)， 设所求直线方程为x＋2y＋m＝0，代入P(－，)得－＋2×＋m＝0， 解得m＝－，故所求直线方程为x＋2y－＝0，即3x＋6y－8＝0. (3)直线l1：2x－y＋3＝0，l2：4x－2y－1＝0， 由题可设所求直线l的方程为2x－y＋n＝0(n≠3且n≠－)，则有＝， 所以|n－3|＝，解得n＝， 故直线l的方程为2x－y＋＝0，即8x－4y＋5＝0. 14．(本小题满分15分)(2026·十堰期中)已知平面直角坐标系内，点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2).求： (1)直线AB的方程和线段AB的长度；(3分) (2)△ABC的面积；(5分) (3)∠ABC的平分线所在直线的方程．(7分) 解：(1)因为A(1，1)，B(2，3)， 所以kAB＝＝2， 所以lAB：y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0， |AB|＝＝. (2)点C(3，2)到直线AB的距离为d＝＝，所以S△ABC＝|AB|·d＝××＝. (3) 易知∠ABC的平分线所在直线的斜率存在，故设∠ABC的平分线所在直线的斜率为k， 则此直线方程为y－3＝k(x－2)，在角平分线上取不同于B的一点P(1，3－k), 因为B(2，3)，C(3，2)，kBC＝＝－1， 所以直线BC的方程为y－2＝－(x－3)，即x＋y－5＝0， 由角平分线性质可知，点P到lAB的lBC的距离相等， 所以＝，化简得k2＋6k－1＝0, 解得k＝－3±， 由图形观察可知k＝－3＋为外角平分线，k＝－3－为内角平分线， 所以∠ABC的平分线所在直线方程为y＝(－3－)x＋9＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $