第2章 3.2 第2课时 抛物线方程及性质的应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦高中数学抛物线方程及性质的应用，系统梳理焦半径、焦点弦、通径的定义与公式，衔接轨迹问题的直接法、定义法、相关点法，延伸至实际应用问题，构建从基础概念到综合应用的递进学习支架。 资料通过例题解析（如探照灯反射镜问题）与跟踪训练结合，以数学眼光观察现实情境，用相关点法推导轨迹方程培养数学思维，公式推导与方程建立提升数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后助力学生回顾强化，弥补知识盲点。

第2课时　抛物线方程及性质的应用 知识点一　焦半径和焦点弦、通径 [知识梳理] 1．抛物线的焦半径 定义 以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段 焦半径公式 P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点． ①若抛物线y2＝2px(p>0)，则|PF|＝x0＋； ②若抛物线y2＝－2px(p>0)，则|PF|＝－x0； ③若抛物线x2＝2py(p>0)，则|PF|＝y0＋； ④若抛物线x2＝－2py(p>0)，则|PF|＝－y0 2.焦点弦 设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝＝2p(1＋)(α是直线AB的倾斜角，α≠0°，k为直线AB的斜率)，利用弦所在的直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可求出焦点弦长． 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径，通径长为2p. [例1](1)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB的中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为(　　) A．6 B．9 C．12 D．14 (2)已知过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且垂直于x轴的直线与C在第一象限内交于点A，点B(－3，0)，若|FB|＝|AF|＋1，则p＝____________． 【解析】　(1)如图所示，过点A，M，B分别作准线x＝－1的垂线，垂足分别为C，M′，D，由抛物线的定义，得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，因为点M为AB的中点，且|MM′|＝6，所以|AC|＋|BD|＝12，即|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝12. (2)由题意可知F，令x＝，则y2＝p2，故|AF|＝p，由B(－3，0)，|FB|＝|AF|＋1得＋3＝p＋1，解得p＝4. 【答案】　(1)C　(2)4 求抛物线的焦半径和焦点弦、通径，除了需要把抛物线的方程化为标准形式外，还需要结合抛物线的定义求解． [跟踪训练1] (1)已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P(1，y)在抛物线C上，则|PF|＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C．由y＝2x2，得x2＝y，则p＝.又点P(1，y)在抛物线C上，所以y＝2.由抛物线的定义，知|PF|＝2＋＝2＋＝.故选C． (2)若过抛物线y＝2x2的焦点作垂直于y轴的垂线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝________________________________________________. 解析：抛物线的方程可化为x2＝y，则2p＝，又因为AB为抛物线的通径，所以|AB|＝. 答案： 知识点二　与抛物线有关的轨迹问题 [例2] (1)已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是(　　) A．x2＝－y B．x2＝y C．x2＝4y D．x2＝－4y (2)已知点A(1，0)，M，N分别是x轴、y轴上的动点，且满足·＝0.若点P满足＝2，则点P的轨迹方程是___________________． 【解析】　(1)设M(x，y)，B(x0，y0)，则x0＝2x，y0＝2y＋1，又y0＝2x＋1，所以2y＋1＝2×(2x)2＋1，即y＝4x2，所以x2＝y，即为所求点M的轨迹方程．故选B． (2)设M点坐标为(a，0)，N点坐标为(0，b)，点P坐标为(x，y)，则＝(－1，b)，＝(－a，b)，所以·＝a＋b2＝0，则a＝－b2.而＝(x－a，y)，＝(x，y－b)，又＝2，所以解得代入a＝－b2可得y2＝4x. 【答案】　(1)B　(2)y2＝4x 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程． (2)定义法：利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线，再根据抛物线的性质写出方程． (3)相关点法：利用两个动点间的关系求动点的轨迹方程． [跟踪训练2] (1)已知A，B两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程为(　　) A．y＝－x2＋1(x≠±1) B．y＝x2＋1(x≠±1) C．x＝－y2＋1(y≠±1) D．x＝y2＋1(y≠±1) 解析：选A．设M(x，y)(x≠±1)，则kAM－kBM＝－＝2，整理得y＝－x2＋1(x≠±1)， 所以动点M的轨迹方程为y＝－x2＋1(x≠±1). (2)已知点A(2，0)，B(1，4)，M，N是y轴上的动点，且满足|MN|＝4，△AMN的外心P在y轴上的投影为Q，则点P的轨迹方程为___________________，|PQ|＋|PB|的最小值为________． 解析：不妨设点M(0，t)，N(0，t－4)，P(x，y)， 根据点P是△AMN的外心， 则P(x，t－2)，而|PM|2＝|PA|2， 则x2＋4＝(x－2)2＋(t－2)2， 所以x＝，又y＝t－2， 从而得到点P的轨迹方程为y2＝4x，焦点为F(1，0). 由抛物线的定义可知|PF|＝|PQ|＋1，因为|PF|＋|PB|≥|BF|＝4，所以|PF|＋|PB|＝|PQ|＋1＋|PB|≥4， 即|PQ|＋|PB|≥3，当点P在线段BF上时等号成立． 答案：y2＝4x　3 应用点　抛物线的实际应用问题 [例3] 如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知灯口圆的直径为60 cm，灯的深度为40 cm. (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点．光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66 cm，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． 【解】　(1)如图，在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴(抛物线开口方向是x轴的正方向)，以1 cm为单位长度，则可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0).灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为(40，30)，代入抛物线方程得302＝2p×40，解得p＝，则×＝5.625(cm).故光源应安置在与顶点相距5.625 cm处． (2)由(1)可得抛物线方程为y2＝x.灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为＝33.故将y＝33代入抛物线方程求得x＝＝48.4.此时，探照灯的深度为48.4 cm. 解决抛物线实际应用问题的五个步骤 [跟踪训练3] 某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货的木船露在水面上的部分为0.75 m，货物的宽度与木船相同，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？ 解：以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系(如图).设抛物线的方程是x2＝－2py(p＞0)，由题意知A(4，－5)在抛物线上，故16＝－2p×(－5)，所以p＝，则抛物线的方程是x2＝－y(－4≤x≤4).设水面上涨，木船货物上表面两侧与抛物线形拱桥接触于点B，B′时，木船开始不能通航．设B(2，y′)，故22＝－y′，所以y′＝－.所以＋0.75＝2(m).故当水面上涨到与拱顶相距2 m时，木船开始不能通航． 1．抛物线x＝8y2的通径长为(　　) A．8 B．4 C． D． 解析：选C．抛物线x＝8y2，即y2＝x，可得2p＝，因此通径长为.故选C． 2．已知抛物线C的焦点在x轴的正半轴上，顶点为坐标原点，若抛物线上一点M(2，m)满足|MF|＝6，则抛物线C的方程为(　　) A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝16x 解析：选D．设抛物线C的方程为y2＝2px，p>0，因为|MF|＝2＋ ＝6，所以p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝16x.故选D． 3．已知点P是抛物线y2＝16x上的动点，过P向x轴作垂线段，垂足为M，记垂线段PM的中点为Q.则点Q的轨迹方程为________． 解析：设Q的坐标为(x，y)，则P的坐标为(x，2y)，又点P在抛物线y2＝16x上，故(2y)2＝16x，即y2＝4x. 答案：y2＝4x 4．已知点P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到点A(0，－1)的距离与到直线x＝－1的距离之和的最小值是____________． 解析：依题意设P在抛物线准线上的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F(1，0).由y2＝4x可知x＝－1是抛物线的准线，依抛物线的定义知P到直线x＝－1的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点A(0，－1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝. 答案： 5．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．则水位下降1 m后，水面宽为________m. 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2 m. 答案：2 1．已学习：与抛物线有关的轨迹问题和最值问题、抛物线的实际应用． 2．须贯通：灵活求解抛物线的轨迹问题和最值问题． 3．应注意：用定义法求轨迹未考虑变量的取值范围而致错． 学科网（北京）股份有限公司 $