第3章 4.3 第2课时 空间中的距离问题-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦高中数学空间中的距离问题，系统讲解点到平面、点到直线、相互平行的直线及平面间距离的向量求解方法，构建“定义理解-公式推导-实例应用”的学习支架，衔接平面向量与空间向量知识脉络。 以蔬菜大棚路线设计情境导入，培养数学眼光，通过思考问题引导抽象距离公式发展数学思维，例题与跟踪训练结合空间坐标系，用向量语言表达空间关系，课中辅助教师教学，课后练习题助力学生查漏补缺。

第2课时　空间中的距离问题 新课导入 学习目标 如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路，某人要在点A处修建一个蔬菜存储库．在公路上选择一个点，修一条公路到达A点，要想使这个路线长度理论上最短，应该如何设计？ 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题. 　2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 思考1　点到平面的距离是如何定义的？ 提示：过点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段的长度为点到平面的距离． 思考2　如图， 过点P作PQ⊥平面α，垂足为Q，平面α内的点A异于点Q，则PQ＝与平面α内的点A的位置有关吗？ 提示：无关． [知识梳理] 点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝|·n0|． 点拨　点P到平面α的距离还可以表示为d＝＝，其中n是平面α的一个法向量． [例1] (对接教材例12) 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BC，C1D1的中点．求： (1)点B1到平面EFG的距离； (2)点A到平面EFG的距离． 【解】　 (1)如图，以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，G(0，1，2)，B1(2，2，2)，＝(－1，1，0)，＝(－2，0，2)，＝(0，－1，－2)， 设平面EFG的法向量m＝(x，y，z)，则 即令x＝1，则y＝1，z＝1，故m＝(1，1，1). 则点B1到平面EFG的距离d1＝＝＝. (2)由(1)知，平面EFG的法向量m＝(1，1，1)，＝(0，1，0)，所以点A到平面EFG的距离d2＝＝＝. 用向量法求点到平面的距离的步骤 [跟踪训练1] 如图 所示，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝AF＝2，∠ADC＝60°.求点A到平面FBD的距离． 解：设AC∩BD＝O，因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，所以AC⊥BD，AF⊥平面ABCD，以O点为坐标原点，以OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，过O点且平行于AF的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则B(－，0，0)，D(，0，0)，F(0，1，2)，A(0，1，0).＝(2，0，0)，＝(，1，2)，设平面FBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，得n＝(0，－2，1)，又因为＝(0，0，2)，所以点A到平面FBD的距离d＝＝＝. [例2] 如图， 在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N分别是OA，BC的中点．求直线MN与平面OCD的距离． 【解】　因为OA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，以点A为坐标原点，AB，AD，AO所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(2，2，0)，D(0，2，0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)，N(2，1，0)， 所以＝(2，0，0)，＝(0，－2，2)， 设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则取y＝1， 可得n＝(0，1，1)，又＝(2，1，－1)， 所以·n＝0，因为MN⊄平面OCD，所以MN∥平面OCD，所以直线MN与平面OCD的距离为点N到平面OCD的距离． ＝(0，1，0)，点N到平面OCD的距离d＝＝＝，所以直线MN与平面OCD的距离为. 母题探究　在本例中，再取AD的中点R，则平面MNR与平面OCD的距离为________． 解析：由例题可知，R(0，1，0)，＝(－2，0，0)，·n＝0， 因为NR⊄平面OCD，所以NR∥平面OCD. 因为MN∩NR＝N，MN，NR⊂平面MNR，所以平面MNR∥平面OCD，所以平面MNR与平面OCD的距离即为点N到平面OCD的距离，即为. 答案： 求直线到平面、两平面之间的距离的前提是线面、面面平行，二者均可转化为求点到平面的距离． 方法如下： (1)如果直线l与平面α平行，那么可在直线l上任取一点P，将直线l到平面α的距离转化为点P到平面α的距离． (2)如果两个平面α，β平行，那么可在平面α内任取一点P，将两个平行平面之间的距离转化为点P到平面β的距离． 　 [跟踪训练2] 已知 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为D1C1的中点． (1)求D1C到平面A1BE的距离； (2)求平面A1DB与平面D1CB1的距离． 解：(1)因为DA，DC，DD1两两垂直， 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，E(0，，1)，　 所以＝(－1，，0)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，－1)，因为＝，所以A1B∥D1C，又A1B⊂平面A1BE，D1C⊄平面A1BE，所以D1C∥平面A1BE，所以直线D1C到平面A1BE的距离就是点D1到平面A1BE的距离， 设m＝(a，b，c)为平面A1BE的法向量， 则即 令a＝1得m＝(1，2，2)，＝(1，0，0)， 故点D1到平面A1BE的距离d＝＝， 即直线D1C到平面A1BE的距离为. (2)由(1)可得，＝(1，0，1)，＝(1，1，0)，＝(0，1，－1)，＝(1，1，0)，设n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分别为平面A1DB、平面D1CB1的法向量，所以 令x1＝1，可得y1＝－1，z1＝－1，所以n1＝(1，－1，－1)， 令x2＝1，可得y2＝－1，z2＝－1， 所以n2＝(1，－1，－1)，所以n1＝n2，所以平面A1DB∥平面D1CB1， 可得点A1到平面D1CB1的距离即为所求，＝(1，0，0)，所以点A1到平面D1CB1的距离为＝＝，故平面A1DB与平面D1CB1的距离为. 思考1　点到直线的距离是如何定义的？ 提示：点到已知直线的垂线段的长度． 思考2　如图， 过点P作PQ⊥直线l，垂足为Q，直线l上的点A异于点Q，则PQ＝与直线上点A的位置有关吗？ 提示：无关． [知识梳理] 若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为d＝． 点拨　点P到直线l的距离也可以表示为d＝ ＝，其中l是直线l的一个方向向量． [例3] (对接教材例15) 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AB＝2，AA1＝3，点E，F分别是CC1，A1D1的中点，点G为BC上的一点，且CG＝CB. (1)求点G到直线AF的距离； (2)证明：AF∥EG，并求它们之间的距离． 【解】　连接AG，以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得A(2，0，0)，E(0，2，)，F(1，0，3)，G(，2，0). (1)方法一：易得＝(－1，0，3)，＝(，－2，0)，则||＝，·＝－，故点G到直线AF的距离d＝＝ ＝. 方法二：过点G作直线AF的垂线段GH，垂足为H，设＝λ ＝λ(－1，0，3)＝(－λ，0，3λ)，则＝＋＝(，－2，0)＋(－λ，0，3λ)＝(－λ，－2，3λ).由⊥得，·＝－1×(－λ)＋0×(－2)＋3×3λ＝0，解得λ＝，即＝(，－2，).故点G到直线AF的距离d＝||＝＝. (2)因为＝(－1，0，3)，＝(，0，－)，于是有＝－2 ，所以∥，即AF∥EG.所以平行直线EG与AF之间的距离等于点G到直线AF的距离，即AF与EG之间的距离为. 利用向量方法求点到直线的距离的方法 (1)利用点到直线的距离公式： ①确定直线的方向向量l，并求l0； ②确定所求点P与直线上任意一点A的向量，并计算||，|·l0|； ③设点到直线的距离为d，则d＝ . (2)过已知点作已知直线的垂线段，将点到直线的距离转化为求垂线段所对应的向量的模，即利用待定系数法求垂足的坐标，或直接用待定系数法求垂线段所对应的向量的坐标，求向量的模即得点到直线的距离． 　 [跟踪训练3] (1)已知空间内有三点E(2，1，1)，F(1，2，2)，P(3，1，－4)，则点P到直线EF的距离为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.由题意得，＝(－1，1，1)，则与同方向的单位向量为u＝(－，，)，又＝(1，0，－5)，则点P到直线EF的距离为d＝＝ ＝. (2)(2026·桂林月考)已知点A(1，0，2)与点B(1，1，1)，若z轴上一点M到直线AB的距离为1，则点M的坐标为________． 解析：设点M(0，0，z)，则＝(－1，0，z－2)，＝(0，1，－1)，则方向上的单位向量为e＝(0，，－)，由点M到直线AB的距离为d＝＝＝1， 解得z＝2，故点M(0，0，2). 答案：(0，0，2) 1．(教材P139T2改编)已知A(2，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，则点A到直线BC的距离为(　　) A．2 B． C．4 D． 解析：选B.由题意可得，＝(－2，1，0)，＝(0，－1，2)，则点A到直线BC的距离为 ＝＝.故选B. 2．(多选)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，z)到平面α的距离为，则z＝(　　) A．－16 B．－4 C．4 D．16 解析：选AC.点A(－1，3，0)，P(－2，1，z)，所以＝(－1，－2，z)，又n＝(－2，－2，1)，则点P到平面α的距离d＝＝＝＝，解得z＝4或z＝－16. 3．若两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是________． 解析：依题意，平行平面α，β间的距离即为点O到平面β的距离，而＝(2，1，1)，所以平行平面α，β间的距离d＝＝＝. 答案： 4．(教材P138T6改编)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，B1C1的中点． (1)求点F到直线A1C的距离； (2)求点F到平面A1CE的距离． 解：(1) 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(2，0，2)，C(0，2，0)，F(1，2，2)，＝(－2，2，－2)，||＝＝2，令u＝＝(－2，2，－2). 又＝(1，0，2)，所以2＝12＋02＋22＝5，·u＝(－2＋0－4)＝－， 设点F到直线A1C的距离为d， 则d＝＝＝. (2)设平面A1CE的法向量为n＝(x，y，z)，E(2，1，0)， 则＝(0，1，－2)， 则令z＝1，则x＝1，y＝2，所以n＝(1，2，1). 又＝(1，0，2)，所以点F到平面A1CE的距离为＝＝. 1．已学习：点到平面的距离与直线到平面的距离、点到直线的距离． 2．须贯通：利用三种距离公式解决与距离有关的问题体现了数形结合与转化化归的思想方法． 3．应注意：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用；对公式推导过程的理解是应用的基础． 学科网（北京）股份有限公司 $