第3章 4.3 第2课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦空间向量在距离计算中的应用，系统梳理点到平面、两平行平面间、点到直线及直线到平面的距离公式推导与应用，从基础公式到正方体、四棱锥等综合几何模型逐步深入，构建知识学习支架。 资料通过建立空间直角坐标系，以具体几何模型培养数学眼光观察空间形式，推导距离公式发展数学思维中的推理能力，规范向量运算体现数学语言的精确表达。课中辅助教师讲解，课后帮助学生巩固练习，有效查漏补缺。

1．已知n＝(1，1，1)是平面ABC的一个法向量，且＝(1，2，3)，则点M到平面ABC的距离为(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 解析：选B.依题意，点M到平面ABC的距离d＝＝＝2. 2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　) A． B． C． D．3 解析：选A.因为两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(1，2，3)，＝(1，2，3)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，所以两平面间的距离d＝＝＝. 3．已知直线l的方向向量为n＝(3，0，3)，且过点M(1，－1，－1)，则点N(1，1，a)到直线l的距离的最小值为(　　) A．1 B．2 C． D．6 解析：选B.＝(0，2，a＋1)，所以点N(1，1，a)到直线l的距离为 ＝ ＝， 所以当a＝－1时，所求距离有最小值，最小值为＝2. 4．(2026·驻马店月考)已知在四棱锥P-ABCD中，＝(5，1，－2)，＝(0，2，1)，＝(2，1，－2)，则该四棱锥的高为(　　) A． B． C． D． 解析：选D.设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 取x＝1，得n＝(1，－1，2)， 所以点P到平面ABCD的距离d＝＝＝，即四棱锥的高为. 5．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，平面PAD⊥底面ABCD，∠PAD＝60°，PA＝2，记平面PAD与平面PBC的交线为l，则直线l到直线BC的距离为(　　) A． B． C． D．2 解析：选B. 依题意，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(4，0，0)，C(4，4，0)，P(0，1，)， 所以＝(0，4，0)，＝(－4，－3，)， 因为AD∥BC，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD， 又平面PAD与平面PBC的交线为l，所以BC∥l，所以点P到直线BC的距离即为直线l到直线BC的距离， 则＝. 6．(多选)已知A(1，8，11)，B(2，6，9)，C(3，4，10)，D(1，8，14)，则(　　) A．||＝3 B．直线AB的一个方向向量为(－，－1，1) C．A，B，C，D四点共面 D．点C到直线AB的距离为 解析：选ACD.因为＝(1，－2，－2)，所以||＝＝3，A正确； 又不与(－，－1，1)平行，B错误； 由题意得＝(－2，4，4)，则＝－2，所以A，B，C，D四点共面，C正确； ＝(2，－4，－1)，||＝＝，·＝2＋8＋2＝12， 则点C到直线AB的距离为 ＝＝，D正确． 7．已知直线l的方向向量为n＝(1，0，2)，点A(0，1，1)在直线l上，若点P(1，a，2)到直线l的距离为，则a＝________． 解析：由题意得＝(1，a－1，1)，所以·n＝1＋0＋2＝3，|n|＝＝，所以点P到直线l的距离为 ＝＝， 解得a＝0或a＝2. 答案：0或2 8．(2026·南阳月考)在空间直角坐标系中，A(0，0，0)，B(1，1，1)，C(1，0，0)，D(－1，2，1)，其中A∈α，B∈α，C∈β，D∈β.已知平面α∥平面β，则平面α与平面β间的距离为________． 解析：由已知得＝(1，1，1)，＝(－2，2，1)，＝(1，0，0)，设向量n＝(x，y，z)与向量，都垂直，则即取x＝1，则n＝(1，3，－4). 又平面α∥平面β， 所以平面α与平面β间的距离d＝＝＝. 答案： 9． 如图，已知在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1A，C1D1的中点，连接BE，ED1，EF，BD1，BF，得到三棱锥D1-BEF，则该三棱锥的体积为________． 解析： 依题意，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(4，4，0)，E(4，0，2)，F(0，2，4)，D1(0，0，4)，所以＝(4，0，－2)，＝(0，2，0)，||＝2，||＝2， 则·＝0，所以⊥， 所以S△D1EF＝||·||＝2， 设平面D1EF的法向量为m＝(x，y，z)， 则令x＝1，则m＝(1，0，2)，又＝(－4，－4，4)，所以点B到平面D1EF的距离d＝＝，所以V三棱锥D1-BEF＝V三棱锥B-D1EF＝S△D1EF×d＝. 答案： 10．(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，AB⊥AD，PA＝PD，AB＝2，AD＝8，AC＝CD＝5. (1)求证：平面PCD⊥平面PAB；(6分) (2)求点B到平面PCD的距离．(7分) 解：(1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD. 因为PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD. 因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB， 所以PD⊥平面PAB. 因为PD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAB. (2)取AD的中点为O，连接CO，PO. 又因为PA⊥PD，PA＝PD，所以PO⊥AD，则AO＝PO＝4， 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD. 因为AC＝CD＝5，所以CO⊥AD，则CO＝＝3. 所以OC，OA，OP两两垂直． 以O为坐标原点，OC，OA，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(2，4，0)，C(3，0，0)，D(0，－4，0)，P(0，0，4)， ＝(3，0，－4)，＝(0，－4，－4)，＝(2，4，－4). 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则得 令z＝3，则x＝4，y＝－3，所以n＝(4，－3，3)， 则点B到平面PCD的距离为＝＝＝. 11．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝，AC＝2，BC＝1，AA1＝2，点D是棱AC的中点，点E在棱BB1上运动，则点D到直线C1E距离的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.因为CC1⊥平面ABC，∠ACB＝，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接C1D，则D(1，0，0)，C1(0，0，2)， 设E(0，1，c)，其中0≤c≤2， 所以＝(1，0，－2)，＝(0，1，c－2)， 则点D到直线C1E的距离 d＝ ＝ ＝， 设t＝(c－2)2＋1，因为c∈[0，2]，所以t∈[1，5]，则d＝∈[，]. 所以点D到直线C1E距离的最小值为. 12．(多选)在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在棱DC上运动(不与顶点重合)，则点B到平面AD1P的距离可以是(　　) A．1 B． C．2 D．3 解析：选BC. 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)，设P(0，t，0)(0<t<3)，所以＝(－3，t，0)，＝(－3，0，3)，＝(0，3，0)， 设n＝(x，y，z)为平面AD1P的法向量， 则有 令y＝3，可得n＝(t，3，t)，则点B到平面AD1P的距离d＝＝，因为0<t<3，所以2t2＋9∈(9，27)，所以d∈(，3). 13．(15分)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． (1)求点B到直线AC1的距离；(7分) (2)求直线FC到平面AEC1的距离．(8分) 解： (1)如图以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则A(1，0，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E(1，，0)，F(1，，1)，B(1，1，1)， 则＝(－1，1，－1)，＝(0，1，0)， 所以·＝1，||＝1，||＝， 所以点B到直线AC1的距离 d＝ ＝＝. (2)因为＝(0，，－1)， ＝(－1，，0)，＝(－1，，0)， ＝(0，，0). 因为＝＝(－1，，0)， 所以∥，即FC∥EC1，又FC⊄平面AEC1，EC1⊂平面AEC1，所以FC∥平面AEC1， 所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离，设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取z＝1，则x＝1，y＝2， 所以n＝(1，2，1)， 所以点F到平面AEC1的距离为＝＝，即直线FC到平面AEC1的距离为. 14．(15分)(2026·桂林月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为菱形，E为棱PD的中点，O为边AB的中点． (1)求证：AE∥平面POC；(7分) (2)若侧面PAB⊥底面ABCD，且∠ABC＝∠PAB＝，AB＝2PA＝4.在棱PD上是否存在点F，使点F到直线OD的距离为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．(8分) 解：(1)证明：取线段PC的中点M，连接OM，EM，在△PCD中，E，M分别为PD，PC的中点． 所以EM∥CD，且EM＝CD. 又因为底面ABCD是菱形，且O为AB的中点，所以AO∥CD，且AO＝CD，所以EM∥AO，且EM＝AO， 所以四边形AOME为平行四边形， 所以OM∥AE. 又因为OM⊂平面POC，AE⊄平面POC， 所以AE∥平面POC. (2)在平面PAB内过点O作Oz⊥AB，又由平面PAB⊥底面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，可得Oz⊥平面ABCD， 又在菱形ABCD中，∠ABC＝，且BC＝2OB，所以可得在△OBC中有OC⊥OB， 则以O为坐标原点，OB，OC，Oz所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，由OA＝PA且∠PAB＝，得△OPA是正三角形，所以O(0，0，0)，P(－1，0，)，D(－4，2，0)，＝(－4，2，0)，＝(3，－2，). 设＝λ，λ∈[0，1]，则＝＋＝＋λ＝(3λ－4，2－2λ，λ)，令μ＝＝(－，，0)， ·μ＝－λ＋2，则点F到直线OD的距离d＝， 即＝(3λ－4)2＋(2－2λ)2＋3λ2－(2－λ)2， 化简得9λ2＝1，故λ＝(负值已舍去). 综上，存在点F，且＝. 15．如图，在长方体中，AC＝3，AB＝6，AD＝3，顶点A在平面α上，三条棱AB，AC，AD都在平面α的同侧．若顶点B，C到平面α的距离分别为2，1，则顶点E到平面α的距离是________． 解析：由题可得，A(0，0，0)，B(6，0，0)，C(0，3，0)，D(0，0，3)，＝(6，0，0)，＝(0，3，0)，＝(0，0，3)， 设平面α的单位法向量n＝(x，y，z)，|n|＝1， 所以即 解得 设点E到平面α的距离为h，由题可得，长方体的所有点在平面α的同侧， 故h＝|·n|＝|(＋＋)·n| ＝|·n|＋|·n|＋|·n| ＝2＋1＋＝3＋. 答案：3＋ 学科网（北京）股份有限公司 $