3.4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系（第1课时空间角）（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间中两条直线的夹角、直线与平面的夹角，通过知识回顾梳理空间角分类及定义，再以问题链引导探究方向向量、法向量与夹角的关系，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以问题驱动抽象数量关系，结合典例与训练培养逻辑推理，用向量语言精确表达空间角。通过数学眼光发现关系，数学思维构建方法，数学语言规范运算，助力学生提升应用能力，为教师提供结构化资源提高备课效率。

3.4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系之空间中的角(第一课时) 第三章 向量在立体几何中的应用 北师大版2019选择性必修第一册·高二 学 习 目 标 1 2 3 理解空间中两条直线的夹角、直线与平面的夹角的向量定义. 掌握用方向向量、法向量求解空间角的方法，提升向量工具的应用能力. 体会向量工具在立体几何中的简化作用，提升数学建模意识. 问题2：空间中两条直线的夹角是如何定义的？ 知识回顾 问题1：空间中的角有哪哪些？ 直线与直线的夹角 直线与平面的夹角 平面与平面的夹角 当两条直线与相交时，我们把两条直线交角中范围在,内的角叫作两条直线的夹角(如图)； 当两条直线平行时，规定它们的夹角为0； 当两条直线 与是异面直线时，在空间任取一点 ，过点 作直线 和 ，使得∥ ，∥ ，把, 的夹角叫作异面直线 与的夹角(如图). O 新知探究 探究1：两条直线的夹角 问题3：直线的方向由方向向量决定，那么两条直线的夹角与它们的方向向量的夹角有什么关系？ 问题4：你能用等式表示两条直线的夹角与它们的方向向量的夹角的关系吗？ 情况1：当0 时，； 若向量,分别为直线,的方向向量，则直线与的夹角,，且与两个方向向量的夹角相等或互补. 情况2：当时，. 综上， 新知探究 探究1：两条直线的夹角 即使训练：已知直线的方向向量=(1,2,3)，直线的方向向量=(2,-1,2)，求与夹角的余弦值。 解 若向量,分别为直线,的方向向量，则直线与的夹角,，且与两个方向向量的夹角相等或互补. =， ===3， 故==. 例1 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D'，AB=2,BC=1,AA'=3,求AC'与A'D夹角的余弦值. 典例分析 分析 解 设,分别是和的一个方向向量，取=,=. 应用公式：设夹角为，则 z x y A' D' D A C' B' B C 因为(0,0,0),(2,1,3),(0,0,3）,(0,1,0), 所以 ==(2,1,3), ==(0,1,-3). 设与夹角为， 则 == = , 故与夹角的余弦值为. a 新知探究 问题4：直线与平面的夹角是如何定义的？ 由必修课可知，平面的一条斜线和它在平面内的投影所成的锐角就是这条直线与这个平面的夹角. 探究2：直线与平面的夹角 当一条直线与一个平面平行或在这个平面内时，规定这条直线与这个平面的夹角为0； 当一条直线与一个平面垂直时，规定这条直线与这个平面的夹角为 θ l α a l α l α 新知探究 探究2：直线与平面的夹角 问题5：直线的方向向量和平面的法向量有什么关系？如何用它们表示直线与平面的夹角θ？ 由图可知：直线与平面的夹角和直线与平面的垂线的夹角互余. 设向量为直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， a θ l α n a θ l α n a θ l α n 夹角， 新知探究 探究2：直线与平面的夹角 即使训练：已知直线的方向向量=(2,-1,3)，平面的法向量=(1,2,-1,)，求直线与平面夹角的正弦值. 设向量为直线的一个方向向量，是平面α的一个法向量，直线l与平面α的夹角，则或，故 解 =2×1+(-1)×2+3×(-1)=2-2-3=-3,取绝对值为3. ，==. 故==. 分析 例2 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，,求直线与侧面夹角的正弦值. 典例分析 1.建系; 2.找向量：平面的法向量，直线的方向向量. 3.应用公式：设夹角为θ，则 A B C A' B' C' z x y 典例分析 解 由正三棱柱⊥平面， 故以点为原点，，所在直线分别为轴、轴建立直角坐标系. A B C A' B' C' z x y 易知=(1,0,0)是平面的一个法向量. 由是边长为2的正三角形，可得(,1,). 所以=(,1,), 设直线 与侧面的夹角为， 则 ===. 所以直线 与侧面的夹角的正弦值为 例2 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，,求直线与侧面夹角的正弦值. 巩固训练 2.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',且AB=1,BC=2,AA'=2，求异面直线BC'与平面B'BDD'夹角的正弦值. z x y A' D' D A C' B' B C z x y A' D' D A C' B' B C 1.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',且 AB=2,AD=2,AA'=1,求异面直线A'B与C'D夹角的余弦值. 巩固训练 解 依题意可知：((0,0,0),(0,0,1),(2,0,0),(2,2,1),(0,2,0). 1.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',且 AB=2,AD=2,AA'=1,求异面直线A'B与C'D夹角的余弦值. z x y A' D' D A C' B' B C 则=(2,0,-1),=(-2,0,-1). 所以===. 巩固训练 解 依题意知 (0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(1,0,2), 2.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',且AB=1,BC=2,AA'=2，求异面直线BC'与平面B'BDD'夹角的正弦值. z x y A' D' D A C' B' B C 易得平面的一个法向量=(1,0,0)， 直线的方向向量=(0,2,-2). ====. 基本知识： (1) 两条直线的夹角向量： (2) 直线与平面的夹角： 基本方法： 建系 → 找向量 （方向向量 、法向量) → 课堂小结 基本思想： (1) 类比思想； (2) 数形结合思想. 代公式计算. 为方向向量 为方向向量，为法向量 基础作业： 课本132页第1题，第4题 拓展练习： 思考如何用向量解决平面与平面的夹角的问题？ 布置作业 感谢聆听! $