3.4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系（第3课时空间距离问题）（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间距离的向量求法，涵盖点到平面、点到直线、线面平行及面面平行距离。通过问题情境引入空间常见距离，回顾平面内距离的综合几何、解析几何及向量求法，搭建从平面到空间的类比支架，引导用向量法探究空间距离。 其亮点是以问题链驱动探究，从平面类比空间体现数学眼光，典例用正方体、长方体模型，步骤清晰培养数学思维，公式推导结合几何直观并用数学语言精确表达。小结梳理“知识 - 方法 - 思想”，助力学生构建体系提升能力，为教师提供系统资源便于高效备课。

3.4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系之空间中的距离问题 第三章 向量在立体几何中的应用 北师大版2019选择性必修第一册·高二 学 习 目 标 1 2 3 明确点到直线点到平面、线面平行、面面平行的距离与“垂线段长度”的对应关系. 能熟练运用向量法求点到平面和点到直线的距离. 能独立完成点到平面、点到直线距离的求解，具备用向量工具分析、解决立体几何距离问题的能力. 问题2：计算距离是空间度量最基本的问题，如何用向量方法求解这些距离呢？ 问题情境 问题1：空间中的常见的距离有哪些？ 两点间的距离 点到直线的距离 点到平面的距离 相互平行的直线间的距离 相互平行的平面间的距离 通过回顾平面内的距离问题来找启发. 知识回顾 问题3：空间中平面内直线l外一点P到直线l距离怎么求？ 综合几何方法：如图，过点P作直线l的垂线，垂足为点D1,一般转化为求三角形的高，即PD₁的长度. 解析几何方法：如图，确定点P的坐标及直线l的方程，利用点到直线的距离公式即可得点P到直线l的距离PD2的长度. l D1 P 平面向量方法：如图，先求出直线l的单位法向量,再求向量在法向量方向上的投影向量的长度|·|即可. l P l P D2 x y O A 新知探究 探究思路： 垂直反映了距离的本质. 用向量方法求解距离：用法向量反映垂直方向. 通过一个向量在法向量方向上作投影向量的方法来求解距离. 新知探究 探究1：点到平面的距离 如图，设点P是平面α外一点，点A是平面α内的已知点，是平面α的单位法向量. 过点P作PP′⊥平面α,垂足为点P′,则线段PP′的长度就是点P到平面α的距离. P α P' A 而//,所以向量在法向量方向上的投影向量的长度|·|就等于线段PP′的长度. 新知探究 点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量方向上所作投影向量的长度，即 探究1：点到平面的距离 追问：怎样用向量的方法求解平行于平面的直线到该平面的距离、相互平行的两个平面间的距离? 如果一条直线和一个平面平行，它们之间的距离就等于过这条直线上任意一点向该平面所作垂线段的长度； ||. 两个平行平面间的距离就等于这两个平面的垂线夹在两个平行平面间的线段的长度. 典例分析 (1)证明 依据题意有 例1 如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD−A'B'C'D'. (1)求证：是平面A'BD的一个法向量； (2)求点C'到平面A'BD的距离. 因为= 所以 ==0 ==0. 从而 . 又平面A'BD 所以 平面A'BD，即 是平面A'BD 的一个法向量. z x y A' D' D A C' B' B C 典例分析 例1 如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD−A'B'C'D'. (1)求证：是平面A'BD的一个法向量； (2)求点C'到平面A'BD的距离. z x y A' D' D A C' B' B C (2)解 因为， 所以点到平面BD的距离为== 典例分析 分析 平面ACD'截正方体得一个三角形，点C'不在该三角形内，所以C'M平面ACD'.进一步研究二者的位置关系可以考虑平面ACD'的法向量与是否垂直. 例2 在单位正方体ABCD−A'B'C'D'中，点M是侧面ABB'A'的中心.判断直线C'M与平面ACD'是否平行.若平行，请证明你的结论，并求直线C'M到平面ACD'的距离；若不平行，请说明理由. 解 以点为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. z x y D' C' C D B' A' A B 由正方体的棱长为，得 所以 设是平面的一个法向量，则 取得故 因为 =0 所以 ∥ 平面. 又 平面, 所以∥平面. 因此，直线上任意一点到平面的距离都相等，都等于直线到平面的距离 因为 所以点到平面的距离为 即直线到平面的距离为. 典例分析 典例分析 分析 记向量.由平面向量基本定理可知对任意的向量都在所确定的平面内 反之平面内的任意向量都可以用来表示.换句话说当变化时点是平面内的动点. 例3 已知向量000203对任意的实数当向量的长度最小时求的值. 解 如图要使向量的长度最小也就是线段MY的长度最短. 由点到平面距离的定义当且仅当平面时线段MY的长度最短. z x y O Y X M 典例分析 这时, 由 得 即 解得 所以当的长度最小时. 新知探究 探究2：点到直线的距离 如图，设点P是直线l外一点，是直线l的单位方向向量. 过点P作PP′⊥直线l,垂足为点P′,则线段PP′的长度就是点P到直线l的距离. 先求出在l方向上的投影数量，然后在Rt △PP'A中运用勾股定理求得|PP′|即可. l P A 在Rt△PP′A中，||=|·|,于是，点P到直线l的距离为|PP′|==. P' 新知探究 探究2：点到直线的距离 l P A P' 若点P是直线l外一点，是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为 d = 例4 如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C′D′,AB=1,BC=2,AA'=3. 用向量的方法求点B到直线A'C的距离. 典例分析 解 依题意有A'(0,0,3),C(1,2,0),B(1,0,0).所以AC=(1,2,-3),BC=(0,2,0), 在方向上的投影数量为 . 所以点B到直线的距离为 相互平行的两条直线间的距离可以转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离. . 巩固训练 1.已知点A直线经过原点且平行于求点A到直线的距离. 2.已知点平面经过原点，且垂直于向量求点到平面的距离. 解 由题意，得平面的一个法向量为 解 在方向上的投影数量 所以点到直线的距离 所以点到平面的距离为 基本知识： (1) 点到平面的距离： (2) 直线到平面的距离 平面到平面的距离 基本方法： 建系 → 找向量 （方向向量 、法向量) → 课堂小结 基本思想： (1) 类比思想； (2) 数形结合思想. 代公式计算。 |. (3)点到直线的距离： 点到平面的距离 转化为 d = 基础作业： 课本138页练习第5题，第6题，139页练习第3题 拓展练习： 思考如何用向量解决异面直线间的距离问题？ 布置作业 感谢聆听! $