3.4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系 课件-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

§3.4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系 1 聚焦知识目标 1．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．(重点) 2．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理及其应用．(重点、难点) 数学核心素养 通过证明空间中的平行与垂直问题，培养直观想象、数学运算与逻辑推理素养． 环节一 问题提出 问题提出 平行和垂直是立体几何中主要的位置关系，那么如何用向量方法进行研究呢? 环节二 分析理解 分析理解 因为直线的方向向量与平面的法向量是确定直线和平面位置的关键因素，所以可以利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线与平面间的平行、垂直等位置关系. 设向量l，m分别是直线l，m的方向向量， 𝑛₁,𝑛₂分别是平面α，β的法向量，尝试用直线的方向向量和平面的法向量表达下列各种位置关系，并思考如何用向量方法证明这些问题. 用向量解决平行与垂直 用向量解决平行与垂直解读 有的问题比较简单，只是将几何语言转化为向量语言，如证明两条直线平行可以转化为证明这两条直线的方向向量是否共线.但有的问题较为复杂，不仅仅是几何语言与向量语言的转化，还涉及证明的方法，如用向量方法证明l∥α，可以有以下几种思路： 思路1 若只从直线的方向向量和平面的法向量入手考虑，设向量l是直线l的方向向量，n₁是平面α的法向量，则只需证明l⊥n₁. 思路2 考虑向量与平面平行的定义，以及平面向量基本定理，从而得到如下证明方法：将直线l的方向向量l用平面α的一组基线性表示，此时必有l∥α. 用向量解决平行与垂直解读 思路3直接将线面平行的判定定理向量化，找到m⊂α，且直线l与m的方向向量共线.  由此可知，运用向量证明几何问题的方法，一方面源于立体几何中定理的向量化表述，另一方面也需要结合向量自身的特点.  设向量l，m分别是直线l，m的方向向量， 分别是平面α，β的法向量，则 用向量解决平行与垂直解读 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交且双垂且，那么该直线与此平面垂直. 已知:如图, ,b是平面α内的两条相交直线,直线n⊥ 𝑎,且n⊥b.求证:n⊥α, 分析 设m是平面α内的任意一条直线，要证明n⊥α，只需证明n⊥m.如何充分运用条件，表达“m是平面α内的任意一条直线”呢?可以考虑将直线m的方向向量用平面α的一组基表示. 证明 设