3.4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

。089 [辨析]在利用平面的法向量和直线的方向向量的夹角求直线与平面所成角时，要注意它们 之间是互余的关系 [正解] 课堂检测 固双基 1.已知A(1,-3,5),B(-1,-1,4)是直线1上 量中，竖坐标为1的是 两，点，则下列可作为直线1的方向向量的是 5.已知几何体ABCD-A,B,C,D1是长方体，建立 空间直角坐标系如图所示.AB=3,BC=4, A（1,1,0) B.（4,-4,2) A41=2. C.(-3,-3,0)D.(4,4,2) (1)求平面B,CD1的一个法向量； 2.已知向量a=(2,4,5)、b=(5,x,y)分别是直 (2)设M(x,y,z)是平面B,CD1内的任意一 线11、12的方向向量，若11∥12，则 点，求x,y,z满足的关系式 A.x=6,y=15 B=3y-月 C.x=10,y=15 D=10y= 3.在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向 量，则下列等式中不成立的是 () A.PA·AB=0 B.PC.BD=0 C.PC.·AB=0 D.PA.CD=0 夯基提能作业 4.若△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1, 请同学们认真完成练案[22] 0),B(0,2,3),C(1,1,3),则平面ABC的法向 4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行 关系 1.向量方法是解决立体几 2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定 何问题的基本方法，学 会用空间向量刻画基本 定理 图形，是空间向量应用 3.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系， 的基本能力，培养学生 4.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直 直观想象的核心素养 关系 2.掌握用向量方法解决立体 5.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定 定理 几何中平行、垂直问题的 6.能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系。 一般方法，培养学生逻辑 7.会用三垂线定理及逆定理解题 推理的核心素养。 090 必备知识探新知 知识点1空间中的平行与垂直 设向量L,m分别是直线lm的方向向量，n1n2分别是平面a,B的法向量，则l∥m或l与m重合 → ;l∥a或lca曰 ;a∥B或x与B重合台；l⊥m曰 ;l⊥台 ;a⊥B台 知识点2三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的 ,则它也和这条 斜线 类似地可以得到： 三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在 这个平面内的 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一用向量法证线线平行、垂直 规律方法： 例L在长方体BCD-ABC,D中，4B=4,4D=3,AM,=2,P,Q,R,S分别 用向量判断两条 直线是否平行、垂直 是AA1,D1C,AB,CC1的中点.证明：PQ∥RS 的方法 1.两直线的方向 向量共线，则两直线 平行，检查两直线的 方向向量共线一般看 其对应坐标是否成 比例. 2.在两直线上分 别取两点A,B与C, D,计算向量AB与C⑦ 的坐标，若AB·C⑦= ·[规律方法] 0,则两直线垂直，否则 不垂直 对点训练1 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形， PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点. 求证：EF⊥CD. 091 题型二向量法证线面平行、垂直 规律方法： 1.利用向量法证 角度1证明线面平行 明线面平行的思路 例2在正方体CD-4,BCB中，M,N分别是CC,B,G的中点求证： (1)根据线面平 行的判定定理（平面 MN∥平面A,BD. 外一条直线与平面内 的一条直线平行， 该直线与此平面 平 行)可知，要证明 条直线和一个平面平 行，只需在平面内我 一个向量与已知直线 的方向向量是共线向 量即可 2)建立室间直 角坐标 系， 通过计算 该方法 的局限性 在后 学习了后面的内容 会变得较易 现 (3)根据共面向 量定理可知 如果 角度2证明线面垂直 个向量和两个不共线 的向量是共面向 例 .如图所示，在正方体ABCD-A,B,C,D1中，E,F分别是BB1,D1B,的中 那么这个向量与这两 个不共线的向量确定 点.求证：EF⊥平面BAC. 的平面必定平行 因 D 此要证明一条直线和 一个平面平行 只 要 证明这条直线的方 向 向量能够用平面内两 个不共线向量线性表 D 示即可 2.利用向量法证 明线面垂直的方法 (1)基向量法 具体步骤如下 ①设出基向量 用基向量表示出直线 的方向向量： ②我出平面内两 条相交直线的方向向 量并分别用基向量 [规律方法] 表示： ③分别计算直线 )对点训练2 的方向向量与平面内 两条相交直线的方向 如图所示，正三棱柱ABC-AB,C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点. 向量的裁量积： ④由数量积为0 求证：AB1⊥平面ABD. 及线面垂直的判定定 理得线面垂直. (2)坐标法，具 体方法如下 ①建立空间直角 坐标系 ②将直线的方向 向量用坐标表示： ③将平面内任意 两条相交直线的方向 向量用坐标表示 ④分别计算直线 的方向向量与平面内 两条相交直线的方向 向量的数量积： ⑤由裁量积为0 及线面垂直的判定定 理得线面垂直. 092。 题型三向量法证面面平行、垂直 规律方法： 角度1向量法证面面平行 1.向量证明面面 例4.如图所示，在正方体ABCD-4,BCD,中，0为底面ABCD的中心，P 平行的方法 是DD,的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面 利用空间向量证 DBQ∥平面PAO. 明面面平行通常可以 有两个途径：一是我 两对向量共线得两对 相交的平行直线，用 D .-0 面面平行的判定定理 证明；二是求出两平 面的法向量，若两法 角度2向量法证面面垂直 向量是共线向量，则 例5如图所示，在直三棱柱ABC-ABG中，AB1BC,AB=BC=2,B,=1, 可判定两平面平行 E为BB,的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA,C,C 2.利用向量证明 面面垂直的方法 利用空间向量证 明面面垂直通常可y以 有两个途径：一是利 用两个平面垂直的判 定定理将面面垂直问 题转化为线面垂直进 ·[规律方法] 而转化为线线垂直； 》对点训练3 二是直接求解两个平 在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD,且AS= 面的法向量，由两个 AB,E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD. 法向量垂直，得面面 垂直 ●易错警示 忽视对位置关系的进一步判断致误 例6.已知41,00)，B(0,1,D,C(11,0),D1,20),E0.0,1),则直线DE与 平面ABC () A.平行 B.DEC平面ABC C.相交 D.平行或DEC平面ABC [错解]易知D2=(-1,-2,1),A=(-1,1,1),BC=(1,0,-1).设平 面ABC的一个法向量n=(x,y,1),易求n=(1,0,1),则DE·n=0,.DE∥ 平面ABC,故选A. [辨析]错解没有进一步分析直线DE与平面ABC的关系，当DE⊥n 时，DE与平面ABC不一定平行，还有可能在平面内，到底是哪种情形，需经进 一步分析方可获知. [正解] 093 课堂检测 固双基 1.如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么5.如图，在棱长为1的正方形ABCD-AB,C,D MA与BD的位置关系是 ( 中E,F,G,M分别为AB1,B1C1,C1D1,BB1的 A.平行 中点.试用向量法证明： B.垂直相交 (1)AG∥平面BEF: D G C.垂直但不相交 (2)DM⊥平面BEF. D.相交但不垂直 2.(多选题)已知y1,2分别为直线11，l2的方向 D 向量(l1,l2不重合)，n1,n2分别为平面，B的 法向量（α，B不重合），则下列说法中正确的是 A.y1∥v2曰→l1⊥2 B.v1⊥y2台l1⊥l2 C.n1∥n2台a⊥B D.n1⊥n2台a⊥B 3.正方体ABCD-AB,C,D,的棱长为1，E,F分 别是棱BC,DD1上的点，如果B,E⊥平面ABF, 则CE与DF的长度之和为 4.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面 互相垂直，AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2, CD=4,M为CE的中点. 求证：BM∥平面ADEF. 夯基提能作亚 请同学们认真完成练案[23]0) BC.DB=-4+4=0, 设平面EDB的法向量为n=(x,y,z),则nLD2,n⊥D2 .BC⊥DB. m成=7+宁=0，取=1，则y=-1=1, .1 又BC·D2=0,.BC⊥DE 于是 又DE∩DB=D,DB,DEC平面BDE,∴.BC⊥平面BDE n·DB=x+y=0, 故平面EDB的一个法向量为n=(1,-1,1). 例4：C(口，》=子，1与a的法向量所在直线所成 对点训练2：以点4为原点，0，B,5所在的直线分别为x锐角为写1与a所成的角为号一号=石故选C 轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 2-3 课堂检测固双基 则A0,0.0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(20,0,s(0,0,1.B由41，-35)，B(-1,-1,4)得=(-2.2-1)，所以(4， ! 1). -4,2)为1的方向向量，故选B. (1):SM⊥平面ABCD, 2.D:l1∥l2,.a∥b, .A=(0,0,1)是平面ABCD的一个 5x y rx=10. 法向量 2=4=5 25 (2).·AD⊥AB,AD⊥SA,AB∩SA=A, 1y=2 AD⊥平面SAB, 3.CPA⊥平面ABCD,∴.BD⊥PA,PA⊥AB,PA⊥CD, ÷动=（号0,0）是平面s4B的-个 又AC⊥BD,AC∩PA=A, ∴.BD1平面PAC,PCC平面PAC,∴.PC⊥BD, 法向量 故ABD成立.故选C. (3)在平面sCD中，D心=(，1,0)，s花=(1,1，-1) 4.(3,3,1)设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), 因为A(2,1,0),B(0,2,3),C(1,1,3), 设平面SCD的法向量是n=(x,y,z),则n1D元，nLS元， 所以AB=(-2,1,3),BC=(1,-1,0), m·D交-0得方程组 2x+y=0,.∫x=-2y 所以：=0即-2+y+3:=0,解得=3， 1n.st=0, x+y-z=0, z=-y, 1n.BC=0,1x-y=0, lx=y, 令z=1,则x=y=3, 令y=-1,得x=2,z=1,n=(2,-1,1). 故n=(3,3,1)是平面ABC的一个法向量. 例3：证明：如图，以D为坐标原点，D1,DC,DD,所在直线5.（1)在题图所示的空间直角坐标系A-xyz中，B(3,0,2), 分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长 C(3,4,0),D1(0,4,2), 为1， 由此得B1C=(0,4,-2),CD=(-3,0,2), 则D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0 D 设平面B,CD1的一个法向量为a=(x,y,z), 0,1,12)r(0,2 C 则a⊥B乙，a⊥CD,从而a·B,C=0,a·CD=0, 所以Ai=（-1,0,0),D,产= B 所以4y-2z=0,-3x+2z=0, (0,7,-应=(0,1,2） 则化06.不防取：=6，期7=3=4 所以Ad.D,户=(-1,0,0) 所以a=(4,3,6)就是平面B,CD1的一个法向量. (0,7,-=0 (2)由题意可得B1M=(x-3,y,z-2),B,MC平面B1CD1,因 为a=(4,3,6)是平面B,CD1的一个法向量，所以BM⊥a. 花D-(01,)(0,2-=0 即B,M·a=0,即4(x-3)+3y+6(z-2)=0,整理得4x+3y +6z=24, 所以Ad⊥D市，A正1D立 所以xyz满足的关系式为4x+3y+6z=24. 又因为ADOAE=A,所以D,F⊥平面ADE,从而D,F是平面 ADE的法向量. 4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系 对点训练3：证明：平面ADEFL平面ABCD,平面ADEFO平必备知识探新知 面ABCD=AD,AD⊥ED,EDC平面ADEF, 知识点11∥m1L11∥nlLm1∥n1m1⊥2 .EDL平面ABCD. 知识点2投影垂直垂直投影垂直 以点D为原点，DA,DC,DE所在直线分别为x轴y轴、z轴 关键能力攻重难 建立如图所示的空间直角坐标系， 例1：证明：证法一：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直 线分别为x轴y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2, D C 0),S(0,4,1), 所以P0=(-3,2,1),=(-3,2,A 1), B 所以Pd=R感，即P0∥，又R生PQ,AR 则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),BC=(-2,故PQ∥RS. 2,0),D=(2,2,0),D呢(0,0,2)， -322 证法二：尽-店+B武+尽=元-Di+)D丽，P风=Pm 则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,5),A(0,0,5),B(1,2,0). 所以AB=(1,2,-5),BA=(-1,2,5),Bd +40+0d=2n-i+d =(-2,1,0) 所以=P,即R∥P,又REPQ,故RS∥PQ. 因为AB·BA=1×(-1)+2×2+(-3)×5=0. 对点训练1：证明：以DA,DC,DP所在的直线分别为x轴、y AB.B励=1×(-2)+2×1+(-5)×0=0. 轴、z轴建立空间直角坐标系（如图）， 所以AB⊥BA,AB⊥BD, 即AB1⊥BA1,AB1⊥BD. 又因为BA1OBD=B,所以AB⊥平面A,BD. 证法二：建系同证法一 设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z), 则1了即m·=-+2y+=0, n1Bi,ln·Bd=-2x+y=0, 令x=1,得平面A1BD的一个法向量为n=(1,2,-√3)， 设AD=a,则D(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0), 又AB=(1,2,-5), a,号叭p0.0,a),r(号号号)月 所以n=AB,即AB∥n 所以AB1⊥平面ABD. =(-分0，号）Dd=(0,a,0), 例4：如图所示，分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系D-xz,在CC,上任取一点Q,连接 E.Dd=-分0，)·0，a,0=0, BQ,D.Q. .EF LDC. 例2：证明：-G-C应=子CE-子G元= 2(0-0d=2…/0i, 又MW4平面ABD,.MN∥平面ABD. 例3：证明：设正方体的棱长为2a,建立如图所示的空间直 : 角坐标系D-xyz 设正方体的棱长为1，则0770，P(0.0,)4(1,0.0). 则A(2a,0,0),C(0,2a,0),B1(2a,2a,2a),E(2a,2a, B(1,1,0),D1(0,0,1),Q(0,1,z), a),F(a,a,2a). 期0-(-分3)月 BD=(-1,-1,1),所以O=2BD, 所以O示∥BD,即OP∥BD. 币-(-10,2)成=(-1,0)， 当：=之时，办=B成， 即AP∥BQ,又APOOP=P,BO0BD1=B, .E㎡=(a,a,2a)-(2a,2a,a)=(-a,-a,a), 则有平面PAO∥平面DBQ, AB=(2a,2a,2a）-(2a,0,0)=(0,2a,2a), 所以当Q为CC1的中点时，平面DBQ∥平面PAO. Ad=(0,2a,0)-(2a,0,0)=(-2a,2a,0) 例5：证明：由题意得AB,BC,BB两两垂直，以B为原点， :E.AB=(-a,-a,a)·(0,2a,2a）=(-a）×0+ BA,BC,BB,所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直 (-a)×2a+a×2a=0, 角坐标系 E.A元=(-a,-a,a）·(-2a,2a,0)=2a2-2a2+0=0, B EF LAB1,EF⊥AC. 又AB∩AC=A,∴.EF⊥平面BAC 对点训练2：证明：证法一：如图所示，取BC的中点O,连接 AO.因为△ABC为正三角形，所以AO L BC. 因为在正三棱柱ABC-AB,C,中， 平面ABC⊥平面BCC,B1, 则A(2,0,0),A(2,0,1),C(0,2,0),C(0,2, 所以AO⊥平面BCC1B1: :C 10.00,2)月 取BC的中点O,以0为原点，以 D O成，00，OA所在的直线分别为x轴，yB 则A4=(0,0,1),AC=(-2,2,0),AC=(-2,2,1),A正 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， =（-2.0,） 323 设平面A4,C,C的一个法向量为n1=(x1,1,a). 3.1以直线D,A1,D,C,DD分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角 则m·=0,=0, 坐标系，设CE=x,DF=y,则E(x,1,1),F(0,0,1-y),A(1,0,1), m,·A花=0-2x+21=0. B(1,1,0),所以AF=(-1,0,-y）,B,2=(x-1,0,1).又BE1 令x1=1,得y1=1.所以m1=(1,1,0). 平面ABF,所以B,E⊥AF,即B,E·AF=0,所以x+y=1. 设平面AEC的一个法向量为n2=(x2,3,2).则 rn2·AC=0, 「-2x2+2y2+2=0, n2·A2=0, ,1 4 1-2+2=0, 令23=4，得x2=1,y3=-1.所以n2=(1,-1,4). 因为m1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0.所以m1⊥n2, 所以平面AEC1⊥平面A4,C,C. 对点训练3：证明：设AS=AB=1,建立如图所示的空间直角4，证明：·平面ADEF L平面ABCD,平面ADEFO平面ABCD= 坐标系， AD,AD⊥ED,EDC平面ADEF, 则B(1,0,0),D(0,1,0),A(0, .ED⊥平面ABCD. 0,0),C(1,1,0), 以点D为坐标原点，DA,DC,DE 0.0,.37） 所在直线分别为x轴y轴、z轴建 证法一：连接AC,交BD于点 立如图所示的空间直角坐标系. 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2 0,连接0E,则点0的坐标 0),C(0,4,0),E(0,0,2),F(2,0 为宁3 2). .M为EC的中点，∴.M(0,2,1), 易不=(0,0，)，0应=(0,0,3） 则BM(-2,0,1),AD= 所以O成=)3，所以0E∥As (-2,0,0),A7=(0,0,2), 又AS⊥底面ABCD, B成=而+，故B,,供面 所以OE⊥平面ABCD.又OEC平面BDE,所以平面BDE⊥ 又BMI平面ADEF,∴.BM∥平面ADEF 平面ABCD. 5.证明：(1)以D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x 证法二：设平面BDE的一个法向量为n,=(x,y,z).易知B配 轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图所示， =(-11.0脏-(-分) 则A1,00),B(11,0),E1,7,1 所以”1成 31c0,3 In LBE 励*y0 所以序=(720成= a成+宁+=0 1 (-0,花=(-17 D 令x=1可得平面BDE的一个法向量为n1=(1,1,0). ! 所以A亡=E京+B市，故A元与E京，B京A 因为AS⊥底面ABCD,所以设平面ABCD的一个法向量为 共面， h3=A=(0,0,1). 又因为AGd平面BEF,所以AG∥平面BEF 因为n1·n2=0,所以平面BDE⊥平面ABCD. 例6：B由错解得D21n, (2易知成i-(1,12） 则DE∥平面ABC或DEC平面ABC. 所以.成：+子=0，成成： 2 20 BD=(1,1,-1),BD=2B武+AB,所以A,B,C,D四点 所以DM⊥EF,DM⊥BF. 共面，即点D在平面ABC内，所以DEC平面ABC,故选B. 又因为BF∩EF=F, 课堂检测固双基 所以DM⊥平面BEF. 1.C因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC 又MC⊥平面ABCD,则BD⊥MA, 43用向量方法研究立体几何中的度量关系 又因为点M在平面ABCD外，因此直线MA与BD的位置关系 是垂直但不相交.故选C 第1课时空间中的角 2.BD:”1,”2分别为直线1,42的方向向量(41，不重合)， 必备知识探新知 ∴.y1∥y2l1∥12，故A错误； 知识点10异面直线a与b所成的角相等或互补 v1⊥2台l1⊥l2,故B正确： 〈a,b〉T-(a,b〉1cos(a,b〉I ,·n1,n2分别为平面a,B的法向量(a,B不重合)， .n1∥n2台a∥B,故C错误； 知识点2（亿，n)）-号1os(1,n ∴.m1⊥n2今a上B,故D正确.故选BD. 问题：是. —324