第3章 4.1 直线的方向向量与平面的法向量-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦直线的方向向量与平面的法向量核心知识点，从空间中点的位置向量切入，构建直线的向量表示（通过方向向量和点确定直线），进而学习平面的法向量定义及平面方程，形成从点到线再到面的空间向量应用框架，为立体几何问题解决提供向量工具。 资料以油纸伞舞蹈、彩灯观察等生活情境导入，引导学生用数学眼光发现空间位置关系，通过四棱锥中求方向向量、长方体中求法向量等例题解析，培养数学思维，强化运算与推理能力，用向量语言精准描述直线和平面，助力教师课堂教学，课后跟踪训练与练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

§4　向量在立体几何中的应用 4．1　直线的方向向量与平面的法向量 新课导入 学习目标 油纸伞是世界上最早的雨伞，是中国古人智慧的结晶．油纸伞舞蹈表演，更是传承几百年，用来伴舞，美轮美奂．观众甲、乙两人在不同地方观察到舞台上方的一个彩灯，甲说彩灯在他的左上方，而乙为何却说彩灯在他的右上方？当伞柄的方向改变时，伞面的位置是否也在改变？ 1.会用向量语言描述直线和平面．　2.理解直线的方向向量和平面的法向量．　3.会求直线的方向向量和平面的法向量．　4.会应用平面的法向量解决一些简单的问题． 知识点一　直线的方向向量 思考　在空间中，如何确定一条直线？ 提示：两点确定一条直线；直线上一点及这条直线的方向向量也可以确定一条直线． [知识梳理] 1．空间中点的位置向量 在空间中取一个定点O，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示，向量就是点P的位置向量． 2．直线的方向向量与直线的向量表示 (1)如图，设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称为直线l的方向向量． (2)如图，已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量．那么对于直线l上的任意一点P， 一定存在实数t，使得＝t a.反之，由几何知识不难确定，满足上式的点P一定在直线l上．因此，我们把这个式子称为直线l的向量表示． [例1] (对接教材例1)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)E的坐标； (2)直线CE的一个方向向量． 【解】　由题知，AB，AD，AP两两垂直，如图所示，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz，则P(0，0，1)，D(0，，0)，C(1，，0). (1)因为E为PD的中点，所以E的坐标为(0，，).(答案不唯一) (2)＝(－1，－，)即为直线CE的一个方向向量．(答案不唯一) (1)直线的方向向量为非零向量． (2)直线的方向向量有无数个，如果a是直线的方向向量，则λa(λ≠0)必是直线的方向向量．求一条直线的方向向量，可以在该直线上取两点A，B，则即为该直线的一个方向向量． [跟踪训练1] (2026·漯河月考)已知直线l经过A(－1，2，5)，B(1，－1，n)两点，向量a＝(－2，m，m)是直线l的一个方向向量，则n＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析：选C．由点A(－1，2，5)，B(1，－1，n)，可得＝(2，－3，n－5). 因为a＝(－2，m，m)是直线l的一个方向向量，所以存在实数λ，使得＝λa， 则解得 知识点二　直线的方向向量的应用 [例2] (1)已知在空间直角坐标系O-xyz中，点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点，且3||＝||，则点C的坐标是(　　) A．(，－，) B．(，－3，2) C．(，－1，) D．(，－，) (2)在四面体OABC中，点M，N分别为线段OA，BC的中点，若＝＋x＋y，且G，M，N三点共线，则x＋y＝(　　) A．－ B． C． D．－ 【解析】　(1)由题意得＝(－2，－6，－2).因为C为线段AB上一点，且3||＝||，所以＝，所以＝＋＝(4，1，3)＋(－2，－6，－2)＝(，－1，). (2)若G，M，N三点共线，则存在实数λ，使＝λ＋(1－λ)＝λ(＋)＋(1－λ)＝＋＋成立，所以解得故x＋y＝. 【答案】　(1)C　(2)B (1)求空间点的坐标，一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标，根据向量式列出方程组，把向量运算转化为代数运算，解方程组可得点的坐标． (2)P，A，B三点共线的两种充要条件 ①存在实数t，使得＝t，即∥. ②存在有序实数对(x，y)，使得＝x＋y(其中x＋y＝1). [跟踪训练2] 已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，1，1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为(　　) A．(，－，0) B．(－，，0) C．(－2，2，0) D．(2，－2，0) 解析：选B．因为＝(－1，1，0)，点H在直线OA上，所以可设H(－λ，λ，0)，所以＝(－λ，λ－1，－1).又BH⊥OA，所以·＝0，所以(－λ，λ－1，－1)·(－1，1，0)＝0，即λ＋λ－1＝0，所以λ＝，故点H的坐标为(－，，0). 知识点三　平面的法向量与平面的向量表示 思考1　过同一点的两个定方向可以确定一个平面吗？ 提示：不一定，若两个定方向共线，则不能确定平面；若两个定方向不共线，则确定唯一平面． 思考2　一定点和一个定方向能确定一个平面吗？ 提示：可以，过定点且垂直于定方向的平面是唯一确定的． [知识梳理] 1．平面的法向量 如果一条直线 l与一个平面α垂直_，那么就把直线 l 的方向向量n叫作平面α的法向量，则n⊥α. 2．平面的方程 设平面α内一点M(x0，y0，z0)，平面α的一个法向量n＝(A，B，C)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，有·n＝0，则平面α的方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0． 角度1　平面的法向量 [例3] (对接教材例4)如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，＝λ.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出平面ABB1A1的一个法向量； (2)当λ＝时，写出平面MCA1的一个法向量． 【解】　(1)因为x轴垂直于平面ABB1A1，所以n1＝(1，0，0)是平面ABB1A1的一个法向量．(答案不唯一) (2)因为AB＝4，BC＝3，CC1＝2，λ＝， 所以M(3，1，0)，C(0，4，0)，A1(3，0，2). 因此＝(－3，3，0)，＝(0，－1，2). 设n2＝(x，y，z)是平面MCA1的法向量，则n2⊥，n2⊥. 所以 所以取y＝2，则x＝2，z＝1. 于是n2＝(2，2，1)是平面MCA1的一个法向量．(答案不唯一) 角度2　平面的方程 [例4] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝6，AD＝3，E，F分别为线段AB，CC1的中点，＝2.以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面EFG的方程； (2)若直线B1D1与平面EFG交于点M，求点M的坐标． 【解】　(1)在给定的空间直角坐标系中，D(0，0，0)，B(3，6，0)，E(3，3，0)，F(0，6，3)，D1(0，0，6)，B1(3，6，6).＝(0，3，0)，＝(－3，－6，6)，＝(－3，3，3).＝＋＝＋＝(0，3，0)＋(－3，－6，6)＝(－2，－1，4).设平面EFG的一个法向量为n＝(a，b，c)， 则 令c＝3，则a＝5，b＝2，即平面EFG的一个法向量为n＝(5，2，3).设P(x，y，z)是平面EFG内的任意一点，则＝(x－3，y－3，z).由·n＝0得5(x－3)＋2(y－3)＋3z＝0，即5x＋2y＋3z－21＝0.故平面EFG的方程为5x＋2y＋3z－21＝0. (2)方法一：设点M(x0，y0，z0)，则由点M∈平面EFG得5x0＋2y0＋3z0－21＝0　(*).设＝λ，又＝(－3，－6，0)，则(x0－3，y0－6，z0－6)＝λ(－3，－6，0)＝(－3λ，－6λ，0)， 所以即代入(*)式得5(3－3λ)＋2(6－6λ)＋3×6－21＝0，解得λ＝.所以 即点M(，，6). 方法二：＝(－3，－6，0)，设＝λ＝(－3λ，－6λ，0)，连接DM，DB1(图略)，则＝＋＝(3，6，6)＋(－3λ，－6λ，0)＝(3－3λ，6－6λ，6)，所以点M(3－3λ，6－6λ，6).将点M的坐标代入平面EFG的方程得5(3－3λ)＋2(6－6λ)＋3×6－21＝0，解得λ＝.故点M的坐标为(，，6). (1)求平面法向量的方法与步骤 ①求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如，； ②设平面的法向量为n＝(x，y，z)； ③联立方程组并求解； ④所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量． (2)判断点是否在一个平面内的方法 ①利用平面的向量表示；②利用平面的方程． (3)求平面α的方程的关键是确定平面α的法向量n＝(A，B，C)，然后利用A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0可得；平面的方程是关于x，y，z的三元一次方程，求平面内一点坐标可利用待定系数法列方法(组)求解． [跟踪训练3] (1)如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，A1D1的中点，直线DB1与平面EFC的交点为O，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A．设AD＝2a，AB＝2b，AA1＝c，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，B1(2a，2b，c)，C(0，2b，0)，E(2a，b，0)，F(a，0，c).所以＝(2a，2b，c)，＝(－a，－b，c)，＝(－2a，b，0).设n＝(x0，y0，z0)是平面EFC的一个法向量，则即取x0＝bc，则y0＝2ac，z0＝3ab，即n＝(bc，2ac，3ab).设点P(x，y，z)是平面EFC内的任意一点，则＝(x－2a，y－b，z)，由·n＝0得bc(x－2a)＋2ac(y－b)＋3abz＝0，即为平面EFC的方程．设＝λ＝λ(2a，2b，c)＝(2aλ，2bλ，cλ)(0≤λ≤1)，即点O(2aλ，2bλ，cλ).由点O∈平面EFC得bc(2aλ－2a)＋2ac(2bλ－b)＋3abcλ＝0，解得λ＝，所以＝，所以||＝||，于是＝.故选A． (2)已知n＝(－3，1，2)是平面α的一个法向量，点A(0，－3，－1)，B(k，2k，2)在平面α内，则k＝________． 解析：由题得＝(k，2k＋3，3)，因为n＝(－3，1，2)是平面α的一个法向量，点A，B在平面α内，所以n⊥，所以n·＝0，即n·＝－3k＋2k＋3＋6＝0，解得k＝9. 答案：9 1．若点A(－1，0，2)，B(1，4，10)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，4) B．(1，4，2) C．(0，2，－1) D．(0，4，12) 解析：选A．由题意可得＝(2，4，8)，l的方向向量与平行，只有选项A满足题意．故选A． 2．(多选)已知平面α内有一点M(1，－1，1)，平面α的一个法向量为n＝(4，－1，0)，则下列点中不在平面α内的是(　　) A．A(2，3，2) B．B(－2，0，1) C．C(－4，4，0) D．D(3，－3，4) 解析：选BCD．对于A，＝(－1，－4，－1)，n·＝4×(－1)＋(－1)×(－4)＋0＝0，所以n⊥，又因为M∈平面α，所以A∈平面α. 对于B，＝(3，－1，0)，n·＝4×3＋(－1)×(－1)＋0＝13，所以n与不垂直，又因为M∈平面α，所以B∉平面α. 对于C，＝(5，－5，1)，n·＝4×5＋(－1)×(－5)＋0＝25，所以n与不垂直，又因为M∈平面α，所以C∉平面α. 对于D，＝(－2，2，－3)，n·＝4×(－2)＋(－1)×2＋0＝－10，所以n与不垂直，又因为M∈平面α，所以D∉平面α.故选BCD． 3．若向量a＝(x，－2，1)，b＝(－1，y，2)都是直线l的方向向量，则x＋y＝________． 解析：因为a，b都是直线l的方向向量，所以a∥b.因此＝＝，解得x＝－，y＝－4，所以x＋y＝－. 答案：－ 4．如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD的一个法向量． 解：因为底面ABCD是直角梯形且∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AD＝，所以AD∥BC，则∠BAD＝90°. 又因为SA⊥底面ABCD，所以SA，AD，AB两两垂直． 以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，1)， 则＝(，1，0)，＝(－，0，1)， 设n＝(x，y，z)为平面SCD的法向量， 则 取x＝2，则y＝－1，z＝1，所以平面SCD的一个法向量为n＝(2，－1，1). (答案不唯一) 1．已学习：(1)空间中直线、平面的向量表示； (2)直线的方向向量与平面的法向量． 2．须贯通：(1)利用待定系数法求平面的法向量； (2)利用空间向量表示直线、平面，体现了数形结合的思想方法． 3．应注意：理解直线的方向向量和平面的法向量的不唯一性． 学科网（北京）股份有限公司 $