3.4.1直线的方向向量与平面的法向量课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

4.1 直线的方向向量与平面的法向量 我们知道,立体几何研究的基本对象是点、直线、平面,以及由它们组成的空间图形,因此用空间向量解决立体几何问题时,首先需要把点、直线、平面用向量分别表示出来. 容易想到:在空间中取一个定点O,那么空间中任意一点P的位置就可以用向量而来表示,向量就是点P的位置向量. 那么如何用向量方法描述空间的一条直线、一个平面呢? 一、情境导入 1.直线的方向向量 2.直线的向量表示 3.平面的法向量 4.平面的方程 二、思考交流,研讨探究 1、设点A,B是直线l上不重合的任意两点,称为直线l的方向向量 2、已知点M是直线l上的一点,非零向量是直线l的一个方向向量.那么对于直线l上的任意一点P,一定存在实数t使得=t.称为直线l的向量表示. 3、如果一条直线l与一个平面 垂直,那么就把直线l的方向向量叫作平面 的法向量. 4、在空间直角坐标系中,若=(A,B,C),点M的坐标为(x0,y0,z0),则对于平面 内任意一点P(x,y,z),有=(x-x0,y-y0,z-z0),代入①式,得 =(x-x0,y-y0,z-z0) (A,B,C)=0. 即A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.② ,叫作平面 的方程. 三、展示成果 评价成效 例1: 在空间直角坐标系中,已知点A(4,2,0),B(l,3,3),点E是线段AB上 的一点,且AE=AB,求点E的坐标. 四、检验 5 知识要点2 例2: 在空间直角坐标系中,已知点A(1,1,0),B(2,3,3),C(0,1,2),点D为直线AB上的一点,且CD⊥AB,求 6 知识要点2 例3: 求证:点P在直线AB上的充要条件是对空间任意一个确定的点O,存在实数t使得= (l-t)+t. 图 3 - 31 7 知识要点2 例4:已知点A(0,1,1),B(1,2,1),C(2,1,3),求平面ABC的一个法向量的坐标. 8 知识要点2 例5: 在长方体 ABCD-A'B'C'D'中,已知 AB = 1,AD=2,AA'= 3. ⑴ 在四边形BCC'B'内是否存在一点N,使得AN丄平面A'BD? ⑵ 求证:AC'与平面A'BD的交点恰为线段AC'的三等分点. 9 知识要点2 五、应用 1.方向向量:能够平移到直线l上的非零向量. 2.直线l的向量表示: 3.如果一条直线l与一个平面 垂直,那么就把直线l的方向向量叫作平面 的法向量,则⊥ . 4.平面 的一个向量表示式:• =0 =t 六、课堂小结 11 知识要点2 Thank you 1.若eq \o(OA,\s\up13( ))=(1,2,3),eq \o(OB,\s\up13( ))=(-1,3,4),则以下向量中,能成为平面OAB的法向量的是( ) A.(1,7,5) B.(1,-7,5) C.(-1,-7,5) D.(1,-7,-5) 2.若n是坐标平面xOy的一个法向量,则n的坐标可以表示为_. $$