第3章 4.1 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦空间向量在立体几何中的应用核心知识点，系统梳理方向向量求解、法向量性质、线线平行判定、线面垂直证明等内容，构建从基础概念到综合应用的递进学习支架。 资料通过多样题型（选择、填空、解答）与详细解析，培养学生用数学眼光抽象空间数量关系（如两点求方向向量），用数学思维进行逻辑推理（如线面垂直证明），用数学语言精确表达空间关系（如求法向量）。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

1．若P(1，0，－2)，Q(3，1，1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，3) B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(3，2，1) 答案：C 2．已知平面α的一个法向量为n＝(－1，2，－2)，且α经过坐标原点O和点A(2，a，2)，则a＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：选B．由题意知n⊥，则n·＝－2＋2a－4＝0，解得a＝3. 3．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ 解析：选D．由题意可知a∥b，则＝＝，解得x＝6，y＝.故选D． 4．若n＝(1，－1，－2)是平面α的一个法向量，则下列向量也可以作为平面α的法向量的是(　　) A．(0，0，0) B．(－2，－2，4) C．(，－，1) D．(－，，1) 解析：选D．因为法向量不是零向量，所以A不符合题意；因为＝≠，所以B不符合题意；因为＝≠，所以C不符合题意；因为n′＝(－，，1)＝－(1，－1，－2)，所以n′∥n，所以(－，，1)也可以作为平面α的法向量，所以D符合题意． 5．在空间直角坐标系中，直线l过点A(1，0，－1)且以μ＝(3，2，4)为方向向量，M(x，y，z)为直线l上的任意一点，则点M的坐标满足的关系式是(　　) A．＝＝ B．＝＝ C．＝＝ D．＝＝ 解析：选C．依题意，＝(x－1，y，z＋1)，∥μ，则＝＝，所以点M的坐标满足的关系式是＝＝. 6．(多选)(2026·南阳月考)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，则(　　) A．直线DD1的一个方向向量为(0，0，1) B．直线BC1的一个方向向量为(0，1，1) C．平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0) D．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1) 解析：选ABC．设正方体的棱长为1，因为AA1∥DD1，且＝(0，0，1)，所以A正确；连接AD1(图略)，因为AD1∥BC1，＝(0，1，1)，所以B正确；因为AD⊥平面ABB1A1，＝(0，1，0)，所以C正确；因为＝(1，1，1)，＝(1，0，0)，·≠0，故AC1与平面B1CD不垂直，所以D错误． 7．已知△ABC的三个顶点分别为A(3，3，1)，B(1，1，5)，C(0，1，0)，则AB边上的中线的一个方向向量为________． 解析：由于△ABC的三个顶点分别为A(3，3，1)，B(1，1，5)，C(0，1，0)，则AB的中点坐标为D(，，)，即D(2，2，3).所以AB边上的中线的一个方向向量为＝(2，1，3). 答案：(2，1，3)(答案不唯一) 8．在空间直角坐标系中，已知向量u＝(1，1，1)，点P0(1，1，1)，点P(x，y，z).若平面α经过点P0，且以u为法向量，P是平面α内的任意一点，则点P的坐标满足的关系式为______________． 解析：由题意得＝(x－1，y－1，z－1)，若平面α经过点P0，且以u为法向量，则u·＝(x－1)＋(y－1)＋(z－1)＝0，即点P的坐标满足的关系式为x＋y＋z－3＝0. 答案：x＋y＋z－3＝0 9．已知点O(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(1，1，2)，D1(0，0，2)，C(0，1，0)，若在平面AB1D1内存在点E，使得CE⊥平面AB1D1，则点E的坐标是____________． 解析：由已知，可得＝(0，1，2)，＝(－1，0，2)，可设＝m＋n＝m(0，1，2)＋n(－1，0，2)＝(－n，m，2m＋2n).又＝(－1，1，0)，所以＝－＝(1－n，m－1，2m＋2n).又CE⊥平面AB1D1， 所以 即 解得m＝n＝，故＝(－，，)，所以＝＋＝(，，)，故点E的坐标为(，，). 答案：(，，) 10．(13分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)直线DB1的一个单位方向向量；(6分) (2)平面BDEF的一个法向量．(7分) 解：(1)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，E(1，0，2)，B1(2，2，2)，则直线DB1的一个方向向量为＝(2，2，2)，而||＝2， 所以直线DB1的一个单位方向向量为 n＝(2，2，2)＝(，，).(答案不唯一) (2)由(1)可得＝(2，2，0)，＝(1，0，2)，设平面BDEF的法向量为m＝(x，y，z). 所以即 令x＝2，则y＝－2，z＝－1，所以平面BDEF的一个法向量为m＝(2，－2，－1).(答案不唯一) 11．(多选)已知点M(1，2，3)，N(2，3，4)，P(－1，2，－3)，若||＝3||且∥，则点Q的坐标为(　　) A．(－4，－1，－6) B．(2，5，0) C．(3，4，1) D．(－3，－2，－5) 解析：选AB．因为∥，||＝3||，所以＝3或＝－3，设Q(x，y，z)，则(x＋1，y－2，z＋3)＝3(1，1，1)或(x＋1，y－2，z＋3)＝－3(1，1，1)，即或解得或所以Q(2，5，0)或Q(－4，－1，－6). 12．(多选)已知a＝(2，0，2)，b＝(3，0，0)分别是平面α，β的法向量，则平面α，β交线的方向向量可以是(　　) A．(1，0，1) B．(0，1，0) C．(0，2，0) D．(3，0，3) 解析：选BC．平面α，β交线的方向向量应该与a和b同时垂直，对于A，a·(1，0，1)＝(2，0，2)·(1，0，1)＝4≠0，A错误；对于B，a·(0，1，0)＝(2，0，2)·(0，1，0)＝0，b·(0，1，0)＝(3，0，0)·(0，1，0)＝0，B正确；对于C，a·(0，2，0)＝(2，0，2)·(0，2，0)＝0，b·(0，2，0)＝(3，0，0)·(0，2，0)＝0，C正确；对于D，a·(3，0，3)＝(2，0，2)·(3，0，3)＝12≠0，D错误． 13．(13分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，AD＝AB，E是线段PC的中点．求证：PD⊥平面ABE. 证明：因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，所以AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(1，0，0)，D.连接AC，因为∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形．所以C(，，0)，E(，，).所以＝(1，0，0)，＝(，，)，因为＝(0，，－1)，所以·＝(0，，－1)·(1，0，0)＝0，所以⊥.又·＝(0，，－1)·(，，)＝0×＋×－＝0，所以⊥.又AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，故PD⊥平面ABE. 14．(15分)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1). (1)求证：是平面ABCD的法向量；(7分) (2)求平行四边形ABCD的面积．(8分) 解：(1)证明：·＝(－1)×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，·＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD. 又AB，AD⊂平面ABCD，AB∩AD＝A， 所以AP⊥平面ABCD. 所以是平面ABCD的法向量． (2)因为||＝＝， ||＝＝2， ·＝2×4＋(－1)×2＋(－4)×0＝6， 所以cos 〈，〉＝＝ ， 又〈，〉∈(0，π)， 故sin 〈，〉＝ ， S▱ABCD＝||·||sin 〈，〉×2＝8. 15．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠ACB＝90°，平面A1B1C的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，则棱AA1的长为________． 解析：以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz， 设AA1＝h，由题意可知C(0，0，0)，A1(1，0，h)，B1(0，1，h)， 所以＝(1，0，h)，＝(－1，1，0)， 因为平面A1B1C的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，所以根据法向量的定义可得，·n＝－2＋h＝0，解得h＝2，且·n＝2－2＝0，所以AA1＝2. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $