3.4.1直线的方向向量与平面的法向量课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版选择性必修第一册 第三章 空间向量与立体几何 4.1直线的方向向量与平面的法向量 情境引入 观察教室中黑板、课桌桌面、窗户等所在的平面，可以发现，课桌桌面所在的平面是水平的，与地面平行；黑板、窗户所在的平面都是竖直的，垂直于底面． 平面有“方向”吗？ 如果平面有方向，那么如何来刻画平面的“方向”呢？ 新知探究 问题1：如何用空间向量表示平面？ 立体几何 空间向量 ？ （1）不共线的三点确定一个平面 （2）直线和直线外一点确定一个平面 （3）两条相交直线确定一个平面 （4）两条平行直线确定一个平面 类比直线的向量表示：由直线上一点和直线的方向向量唯一确定. 一个定点和两个方向向量确定一个平面？ 新知探究 追问：一个定点和两个定方向能否确定一个平面？ 如果能，依据是什么？你能用向量表示这个平面吗？ 设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和， 为平面上任意一点，由平面向量基本定理可知， 存在唯一的有序实数对，使得 ， 点与向量和不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点． 新知探究 问题2：给定一个定点和一个定方向能否确定一个平面？ 如果能，依据是什么？ 给定空间中一点和一条直线，由立体几何知识可知： 过点且垂直于直线的平面 过点且平行于直线的平面 有无数个 唯一确定 利用点M和直线的方向向量来确定平面 概念生成 如果一条直线与一个平面垂直，那么就把直线的方向向量叫作平面的法向量，则． 追问1：平面的法向量是唯一的吗？ 直线的方向向量有无数个(如，，等)， 故平面的法向量也有无数个． 不唯一 追问2：对于平面内任意一点P， 和有什么关系? 可以用哪种运算来表示这种关系？ ，所以． ① 概念生成 如果一条直线与一个平面垂直，那么就把直线的方向向量叫作平面的法向量，则． 追问3：若已知向量，点的坐标为， 你能表示把①式用坐标表示吗？ O 设平面内任意一点的坐标为， 则，代入①式， 得， 即．② 方程②叫做平面的方程． 连线配对 已知点，，，求平面的一个法向量的坐标． 找两个向量 设法向量 列方程组 赋值求解 应用举例 题后小结 例1 应用举例 在长方体中，已知，，． （1）在四边形内，是否存在一点，使得平面？ （2）求证：与平面的交点恰为线段的三等分点． 例2 应用举例 在长方体中，已知，，． （1）在四边形内，是否存在一点，使得平面？ 例2 应用举例 在长方体中，已知，，． （2）求证：与平面的交点恰为线段的三等分点． 要证明与平面的交点恰为线段的三等分点， 可以先求出线段三等分点的坐标，再验证其在平面内； 也可以将直线的方程与平面的方程联立求得交点坐标， 再验证其恰为线段的三等分点； 还可以设λ ，写出，通过求出λ ． 例2 课堂练习 1．分别㝍出平面，平面，平面的一个法向量的坐标． 3．写出经过点，且与轴垂直的平面的方程． 4．写出经过点，且与轴垂直的平面的方程． 课堂练习 1．所求坐标， ． 3．所求平面的方程． 4．所求平面的方程． 教材第124页练习第1、3、4题． 梳理小结 数学方法：类比推理、待定系数法 核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算 空间平面的法向量 空间直线的方向向量 类 比 O 平面的方程 平面的向量表示式 作业布置 巩固作业 教材第124页练习第2、5题． 拓展作业 在平面向量的学习中，我们知道A、B、C三点共线的充要条件是 λ+μ，其中λ+μ=1.你能将这个结论推广到空间吗？ 思考：由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行、垂直关系，可以得到直线的方向向量和平面的法向量间的什么关系？进一步的，利用空间向量可以解决哪些立体几何常见的问题呢？ 探究作业 $$