第3章 3.2 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦空间向量的运算及应用核心知识点，从向量线性运算、模长计算入手，逐步延伸至数量积、投影向量、共线共面判定，最终结合三棱柱、正四棱柱等几何体实现综合应用，构建从基础到进阶的学习支架。 资料通过选择、填空、解答题的多样化题型设计，层次递进地培养学生运算能力与推理意识，如投影向量计算、共面条件推导等。结合立体几何模型问题，引导学生用数学眼光观察空间形式，用数学语言表达几何关系，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

1．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋3b＝(　　) A．(14，4，4) B．(6，－12，4) C．(6，20，4) D．(6，4，4) 解析：选D．由a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，可得4a＝(12，－8，4)，3b＝(－6，12，0)，所以4a＋3b＝(6，4，4). 2．已知向量a＝(x，2，0)，b＝(0，1，2)，且|a－b|＝3，则|a|＝(　　) A．2 B．4 C．4 D．8 解析：选A．因为a＝(x，2，0)，b＝(0，1，2)，所以a－b＝(x，1，－2)， 因为|a－b|＝3，所以x2＋5＝9，x2＝4， 所以|a|＝＝2. 3．在空间直角坐标系中，已知点A(0，1，2)，B(1，－2，－1)，＝2，则点P的坐标是(　　) A．(2，－6，－6) B．(2，－5，－4) C．(2，－7，－8) D．(3，－8，－7) 解析：选B．设P(x，y，z)，因为＝2，所以(x，y－1，z－2)＝2(1，－3，－3)，得所以P(2，－5，－4). 4．若空间向量a＝(－2，1，1)，b＝(1，0，1)，则向量a在向量b方向上的投影向量的坐标是(　　) A．(，0，) B．(－，0，－) C．(－，0，－) D．(，0，) 解析：选C．由于空间向量a＝(－2，1，1)，b＝(1，0，1)，则向量a在向量b方向上的投影向量为()＝[]＝－(1，0，1)＝(－，0，－). 5．在空间中，若向量a＝(1，－1，－2)，b＝(1，2，3)，c＝(3，3，m)共面，则m＝(　　) A．4 B．2 C．－3 D．－6 解析：选A．由向量a，b，c共面，有c＝xa＋yb，即(3，3，m)＝x(1，－1，－2)＋y(1，2，3)， 故解得 6．(多选)已知空间向量m＝(2，－1，3)，n＝(－4，2，x)，则下列选项中正确的是(　　) A．当m⊥n时，x＝2 B．当m∥n时，x＝－6 C．当x＝－4时，|m＋n|＝ D．当x＝1时，cos 〈m，n〉＝ 解析：选BC．对于A，由m⊥n，得2×(－4)＋(－1)×2＋3x＝0，解得x＝，A错误； 对于B，由m∥n得，存在实数λ，使得n＝λm，则(－4，2，x)＝(2λ，－λ，3λ)， 即解得B正确； 对于C，当x＝－4时，n＝(－4，2，－4)，m＋n＝(－2，1，－1)，|m＋n|＝＝，C正确； 对于D，当x＝1时，n＝(－4，2，1)，m＝(2，－1，3)，cos 〈m，n〉＝＝＝－，D错误． 7．(2026·孝感月考)在空间直角坐标系O-xyz中，y轴上一点M到点P(－1，2，3)和Q(4，3，－)的距离相等，则点M的坐标为________． 解析：设M(0，a，0)，因为MP＝MQ，所以＝， 解得a＝，故点M的坐标为(0，，0). 答案：(0，，0) 8．已知空间向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，c＝(1，，2)且ka＋b与c互相平行，则实数k的值为________． 解析：由条件可知ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)， 因为ka＋b与c互相平行，所以存在λ∈R，使得ka＋b＝λc， 所以解得 答案：2 9．已知空间三点O(0，0，0)，A(1，－1，0)，B(0，－1，1)，在直线OA上有一点H满足⊥，则点H的坐标为________． 解析：设H(x，y，z)，则＝(1，－1，0)，＝(x，y，z)，＝(x，y＋1，z－1). 由⊥可得·＝0，即x－y－1＝0， 因为O，A，H共线，故存在实数λ使得＝λ，即(x，y，z)＝λ(1，－1，0)， 所以解得 所以点H的坐标为(，－，0). 答案：(，－，0) 10．(13分)已知空间向量a＝(2，4，－2)，b＝(－1，0，2)，c＝(x，2，－1). (1)求a·b；(5分) (2)若a∥c，求cos 〈b，c〉．(8分) 解：(1)由题意得a·b＝2×(－1)＋4×0＋(－2)×2＝－6. (2)若a∥c，则＝＝，所以x＝1，c＝(1，2，－1)， b·c＝(－1)×1＋0×2＋2×(－1)＝－3， |c|＝＝， |b|＝＝， cos 〈b，c〉＝＝＝－. 11．已知a＝(1，－2，－1)，b＝(－1，x－1，1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(0，3) C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞) 解析：选D．因为a＝(1，－2，－1)，b＝(－1，x－1，1)，且a与b的夹角为钝角，则a·b＜0且a与b不反向共线，因为a·b＜0，则－1×1－2(x－1)－1×1＜0，解得x＞0，若a与b反向共线，设b＝ta(t＜0)，则解得 综上可得x的取值范围是(0，3)∪(3，＋∞). 12．在空间直角坐标系O-xyz中，已知A(2，2，0)，B(2，1，－3)，C(0，2，0)，则三棱锥O-ABC的体积为________． 解析：由题意得＝(0，2，0)，＝(－2，0，0)，所以·＝0，即OC⊥AC，所以△OCA的面积为||||＝2，点O，A，C都在平面xOy上，点B(2，1，－3)到平面xOy的距离为3，所以三棱锥O-ABC的体积为×2×3＝2. 答案：2 13．已知O为坐标原点，向量＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为________． 解析：因为点Q在直线OP上运动，则∥，存在实数t，使得＝t＝(t，t，2t)，则Q(t，t，2t)，因此，＝(1－t，2－t，3－2t)，＝(2－t，1－t，2－2t)，所以·＝(1－t)(2－t)＋(2－t)(1－t)＋(3－2t)(2－2t)＝6t2－16t＋10＝6(t－)2－，则当t＝时，(·)min＝－，此时，点Q(，，)，所以当·取得最小值时，点Q的坐标为(，，). 答案：(，，) 14．(13分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1，AA1⊥底面ABC，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，AA1的中点． (1)求的模；(4分) (2)求cos 〈，〉的值；(4分) (3)求证：⊥.(5分) 解：(1)以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系C-xyz，如图． 由题意得N(1，0，1)，B(0，1，0)，＝(1，－1，1)， 故||＝＝. (2)依题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)， 故＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)， 则·＝0－1＋4＝3，||＝＝，||＝＝，所以cos 〈，〉＝＝＝. (3)证明：C1(0，0，2)，M(，，2)，＝(1，－1，2)，＝(，，0)， 由于·＝－＋0＝0， 故⊥. 15．(15分)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，A1C1与B1D1交于点N，BC1与B1C交于点M，且AM⊥BN. (1)用向量方法求AA1的长；(7分) (2)对于n个向量a1，a2，…，an，如果存在不全为零的n个实数λ1，λ2，…，λn，使得λ1a1＋λ2a2＋…＋λnan＝0，则称n个向量a1，a2，…，an线性相关，否则称为线性无关．试判断，，是否线性相关．(8分) 解：(1)设AA1长为t，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则A(4，0，0)，B(4，4，0)，M(2，4，t)，N(2，2，t)，＝(－2，4，t)，＝(－2，－2，t)， 由⊥，故·＝－2×(－2)＋4×(－2)＋t2＝0， 解得t＝2(负值已舍去)，即AA1的长为2. (2)由t＝2，故＝(－2，4，)，＝(－2，－2，2)，＝(0，－4，0)， 假设存在实数λ1，λ2，λ3，使得λ1＋λ2＋λ3＝0成立， 则有解得 即当且仅当λ1＝λ2＝λ3＝0时，λ1＋λ2＋λ3＝0， 所以，，线性无关． 学科网（北京）股份有限公司 $