3.3.2课时1 空间向量运算的坐标表示与平行(共线)、垂直的条件课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.3.2 课时1 空间向量运算的坐标表示 与平行(共线)、垂直的条件 作者编号：、32200 1.掌握空间向量的坐标表示及其运算. 2.理解空间向量平行与垂直的条件. 学习目标 作者编号：、32200 问题1：数轴 <m></m> 上的点 <m></m> ，用代数的方法怎样表示呢？ 数轴 <m></m> 上的点 <m></m> ，可用与它对应的实数 <m></m> 表示. 问题2：平面直角坐标系上的点 <m></m> ，怎样表示呢？ 平面直角坐标系上的点 <m></m> ，可用一对有序实数 <m></m> 表示，如图. 能否建立一个空间直角坐标系？空间点的坐标又该怎样表示呢？ 新课导入 作者编号：、32200 1.标准正交基： 三个相互垂直的单位向量就构成空间向量的一组基 <m></m> ，这组基叫作标准正交基. 概念讲解 2.空间向量的坐标 对空间任意一个向量 <m></m> ，都存在唯一的三元有序实数组 <m></m> ，使得 <m></m> ，把三元有序实数组 <m></m> 叫作向量 <m></m> 在标准正交基 <m></m> 下的坐标，记作 <m></m> .单位向量 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 都叫作坐标向量. x i j O k y z 课题探究 作者编号：、32200 若点 <m></m> 的坐标为 <m></m> ，点 <m></m> 的坐标为 <m></m> ， 则 ＝(x2i，y2j，z2k)－(x1i，y1j，z1k) ＝(x2－x1)i＋(y2－y1)i＋(z2－z1)i ＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1) 也就是说：一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 课题探究 作者编号：、32200 3.空间向量的坐标运算 设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b ______________________ 减法 a－b _____________________ 数乘 λa ，λ∈R 数量积 a·b _______________ (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) (x1－x2，y1－y2，z1－z2) (λx1，λy1，λz1) x1x2＋y1y2＋z1z2 课题探究 作者编号：、32200 例1 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(-1，2，1)，(1，3，4)， (0，-1，4)，(2，-1，-2).若p＝，q＝，求下列各式的值： ①p+2q；②3p-q；③(p-q)·(p+q). 解：∵点A(-1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，-1，4)，D(2，-1，-2)， ∴p＝＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，-6)， ①p+2q=(2，1，3)+2(2，0，-6)=(2，1，3)+(4，0，-12)=(6，1，-9). ②3p-q=3(2，1，3)-(2，0，-6)=(6，3，9)-(2，0，-6)=(4，3，15). ③(p-q)·(p+q)=p2-q2=|p|2-|q|2=(22+12+32)-[22+02+(-6)2]=-26. 课题探究 作者编号：、32200 例2 已知在空间直角坐标系中A(1，－2，4)，B(－2，3，0)，C(2，－2，－5).若点M满足＝＋，求点M的坐标． 解：∵A(1，－2，4)，B(－2，3，0)，C(2，－2，－5)， ∴＝(－3，5，－4)，＝(1，0，－9)． ∴＝＝(－3，5，－4)＋(1，0，－9)＝， 若设M(x，y，z)，则＝(x－1，y＋2，z－4)， 于是解得故M. 作者编号：、32200 归纳总结 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定. (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算. (3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标. 空间向量坐标运算的规律及注意点 课题探究 作者编号：、32200 我们知道，当b≠0时， 如果设向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，那么当b≠0时， a∥b 使得a=λb. a∥b 使得 课题探究 作者编号：、32200 当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时， a∥b 类似地，可得 a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0. 课题探究 作者编号：、32200 例3 设向量a＝(1，x，1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满足下列条件时，实数x的值． (1)a∥b；(2)a⊥b. 解：(1)①当x＝0时，a＝(1，0，1)，b＝(1，0，1)，a＝b，满足a∥b. ②当x＝1时，a＝(1，1，0)，b＝(0，－3，2)，不满足a∥b，∴x≠1. ③当x≠0时，且x≠1时， 由a∥b⇔＝＝⇔⇔x＝2. 综上所述，当x＝0或x＝2时，a∥b. 课题探究 作者编号：、32200 (2)a⊥b⇔a·b＝0， ∴(1，x，1－x)·(1－x2，－3x，x＋1)＝0⇔1－x2－3x2＋1－x2＝0， 解得x＝±. ∴当x＝±时，a⊥b. 例3 设向量a＝(1，x，1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满足下列条件时，实数x的值． (1)a∥b；(2)a⊥b. 课题探究 作者编号：、32200 1.已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于(　　) A．(16，0，4) B．(8，－16，4) C．(8，16，4) D．(8，0，4) 2.已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q等于(　　) A.－1 B.1 C.0 D.－2 3.已知a＝(1，2，3)，b＝(1，0，1)，c＝a－2b，d＝ma－b，若c⊥d，则m等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.－1 D A A 当堂检测 作者编号：、32200 回顾本节课所学知识： 1.空间向量坐标表示. 2.空间向量坐标的运算. 3.空间向量平行与垂直的坐标表示. 课后小结 作者编号：、32200 $$