3.3.2空间向量运算的坐标表示及应用（第1课时）（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量运算的坐标表示及应用，通过复习平面向量基本定理与坐标运算，类比迁移至空间向量，构建从二维到三维的知识支架，帮助学生衔接旧知。 其亮点是以问题链驱动探究，引导学生用数学眼光抽象空间向量坐标，通过逻辑推理推导运算公式（数学思维），典例结合长方体模型，巩固训练分层设计。小结提炼类比与转化思想，助力学生用数学语言表达空间关系，教师可高效备课提升教学效果。

3.3.2空间向量运算的坐标表示及应用 （第一课时） 第三章 向量在立体几何中的应用 北师大版2019选择性必修第一册·高二 学 习 目 标 1 2 3 理解空间向量的坐标表示，掌握向量的坐标计算公式. 掌握空间向量线性运算（加、减、数乘）和数量积的坐标运算公式. 能运用坐标运算解决空间向量的运算问题，提升知识迁移能力. 问题2：空间向量是否也有类似的理论支撑？ 知识回顾 平面内，给定两个不共线的向量,，对于平面内任意一个向量 ，存在唯一的实数对，使得. 问题1：平面向量可以用坐标表示，其理论依据是什么？ 空间中有空间向量基本定理： 特别地，当,为直角坐标系基向量时，就是向量的坐标. 平面向量可以用坐标表示，其理论依据是平面向量基本定理： 如果向量，，是空间三个不共面的向量，是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组，使得 知识回顾 平面向量的坐标运算： 问题3：平面向量的坐标运算有哪些公式？ 设,. ； ； ； ； 新知探究 探究1：空间向量的坐标表示 问题4：在空间直角坐标系中，如何用坐标表示一个向量？需要借助什么工具？ 在空间直角坐标系中，分别沿轴、轴、轴正方向作单位向量,,，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基，这组基叫作标准正交基. 根据空间向量基本定理，对于任意一个向量，都存在唯一的三元有序实数组，使得. 反之，任意给出一个三元有序实数组，也可以找到唯一的一个向量与之对应. 新知探究 探究1：空间向量的坐标表示 问题4：在空间直角坐标系中，如何用坐标表示一个向量？需要借助什么工具？ 空间向量 三元有序实数组 一一对应 把与空间向量一一对应的三元有序实数组叫作向量在标准正交基下的坐标，记作： = 其中单位向量都叫作坐标向量. 新知探究 探究1：空间向量的坐标表示 把与空间向量一一对应的三元有序实数组叫作向量在标准正交基下的坐标，记作： = 追问1：,,与向量有何关系？,,又与向量有何关系？ 是在方向上所作的投影向量； 是在方向上所作的投影向量； 是在方向上所作的投影向量； 是在方向上所作的投影向量的数量； 是在方向上所作的投影向量的数量； 是在方向上所作的投影向量的数量. 新知探究 探究1：空间向量的坐标表示 把与空间向量一一对应的三元有序实数组叫作向量在标准正交基下的坐标，记作： = 追问2：在平面向量的坐标表示中，的坐标与其点A的坐标一致从而建立平面直角坐标系与向量的联系？你能否将此类比到空间向量中？ 在空间直角坐标系中，对于空间任意一个向量可将它平移至起点与原点重合，得到向量. 若点的坐标为，由空间向量的加法不难得出. x y z O P 于是向量的坐标为. 新知探究 探究1：空间向量的坐标表示 把与空间向量一一对应的三元有序实数组叫作向量在标准正交基下的坐标，记作： = 追问3：若已知点A 和点B 的坐标，向量AB 的坐标如何计算？与平面向量中AB 的坐标计算有什么联系？ 若点的坐标为，点B 的坐标为，则 = =. =. =. 即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 新知探究 探究1：空间向量的坐标表示 把与空间向量一一对应的三元有序实数组叫作向量在标准正交基下的坐标，记作： = 若点的坐标为，点B 的坐标为，则 = 例1 如图，在空间直角坐标系中有长方体， ,.求向量. 典例分析 解 依题意知. 向量坐标的求法： 1.点的坐标和向量的坐标形式完全相同 2.起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得. ∴ y z x D' C' B' A' D C B (A) O ∴ ∴ 新知探究 探究2：空间向量线性运算的坐标运算 问题5：平面向量的线性运算（加、减、数乘）坐标公式是 “对应坐标运算”，空间向量是否也满足这一规律？ 设向量，，则 + + - + λ ,. 新知探究 探究2：空间向量线性运算的坐标运算 问题5：平面向量的线性运算（加、减、数乘）坐标公式是 “对应坐标运算”，空间向量是否也满足这一规律？ 设向量，，则 ∴ ++++ ∵是两两垂直的单位向量 ∴ 新知探究 探究2：空间向量线性运算的坐标运算 设向量，，则 . . λ 空间向量坐标直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算. 例2 已知向量，，求： (1); (2). 典例分析 解 (1). (2)因为 , , 所以 3. 新知探究 探究3：平面向量平行与垂直的条件 问题6：在平面中，我们能用坐标判断两个向量平行或垂直，空间中两个向量平行与垂直时它们的坐标又该满足什么条件？ 因为当时，∥ ，使得. 设向量，，那么当时， ∥ ，使得 当与三个坐标平面都不平行(即)时， ∥ ⊥ 新知探究 探究3：平面向量平行与垂直的条件 ∥ ，使得(其中). ∥ (其中 ⊥ 由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标. 1.已知向量,求： (1)；(2)(3). 巩固训练 2.已知. (1)写出一个向量的坐标，使得∥； (2)写出一个向量的坐标，使得⊥； (3)写出与坐标平面垂直的一个向量的坐标； (4)写出与坐标平面平行的两个互不平行的向量坐标. 3.已知向量，求一个向量的坐标，使得，且⊥. 巩固训练 解 (1), (2), (3), 所以 1.已知向量,求： (1)；(2)(3). 巩固训练 解 (1)答案不唯一，如(1,1,2); (2)答案不唯一，如(1,1,-1)； 2.已知. (1)写出一个向量的坐标，使得∥； (2)写出一个向量的坐标，使得⊥； (3)写出与坐标平面垂直的一个向量的坐标； (4)写出与坐标平面平行的两个互不平行的向量坐标. (3)答案不唯一，如(0,0,1)； (4)答案不唯一，如(1,2,0)与(2,1,0). 巩固训练 解 设, 因为，且. 所以，即. 3.已知向量，求一个向量的坐标，使得，且⊥. 令，可得. 所以(答案不唯一). ∥ ，使得(其中). 基本知识： (1) 空间向量的坐标表示： (2) 空间向量线性运算的坐标运算： 基本方法： 平面向量问题 → 空间向量问题 课堂小结 (3) 平面向量平行与垂直的条件： 基本思想： (1) 类比思想； (2) 转化思想. 终点坐标减起点坐标 加 减 数乘 数量积 ∥ (其中 ⊥ 基础作业： 练习 第1题，第3题，第4题，第5题 拓展练习： 思考如何空间向量坐标解决向量长度夹角等问题？ 布置作业 感谢聆听! $