第3章 3.1 空间向量基本定理-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦空间向量基本定理这一核心知识点，从平面向量基本定理推广到三维空间，系统梳理定理内容、基的概念及用基表示向量的方法，通过定义解析、思考问题和即时练构建学习支架。 特色在于新课导入融合《道德经》文化激发兴趣，结合正方体模型培养几何直观与空间观念（数学眼光），例题与跟踪训练通过推理和运算提升逻辑思维（数学思维），步骤化表达规范向量表示方法（数学语言）。课中辅助教师授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 3．1　空间向量基本定理 新课导入 学习目标 “道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子的《道德经》，他表示“道”生万物，从少到多，从简单到复杂的一个过程，联系到我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一组二维的基，可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一组三维的基，可以生成空间中的所有向量．这节课我们来探究空间向量基本定理有哪些应用． 1.掌握空间向量基本定理及其意义，了解基的意义．　2.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基表示其他向量的方法． 3．会用空间向量基本定理解决简单的立体几何问题． 知识点一　空间向量基本定理 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，在AB，AD，AA1上分别取单位向量e1，e2，e3. 思考1　e1，e2，e3共面吗？ 提示：不共面． 思考2　能否用e1，e2，e3表示向量？若能，如何表示？ 提示：能，＝ae1＋ae2＋ae3. [知识梳理] 1．空间向量基本定理 如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc 2．基 (1)如果向量a，b，c是空间三个不共面向量，那么所有的空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可以看成是由向量a，b，c生成的，这时{a，b，c}叫作空间向量的一组基，其中a，b，c都叫作基向量． (2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间向量的一组基． 点拨　(1)一组基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示．选用不同的基，同一向量的表达式也可能不同； (2)若三个向量不共面，就说明它们都不是0； (3)一组基是一个向量组，一个基向量是指一组基中的某一个向量． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)0也可以作为基向量．(　　) (2)空间的任意一个向量都可用三个给定向量表示．(　　) (3) 如果向量a，b与任何向量都不能构成空间向量的一组基，则一定有a与b共线．(　　) (4)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知{a，b，c}是空间向量的一组基，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成一组基的向量是(　　) A．a B．b C．a＋2b D．a＋c 解析：选D．因为p＝a＋b，q＝a－b，又2a＝(a＋b)＋(a－b)，2b＝(a＋b)－(a－b)，a＋2b＝(a＋b)－(a－b)，显然A，B，C三个选项中的向量都与p，q共面，对于D，若a＋c与p，q共面，则存在x，y∈R使得a＋c＝xp＋yq，则c＝x(a＋b)＋y(a－b)－a＝(x＋y－1)a＋(x－y)b，这与{a，b，c}是空间向量的一组基矛盾，故a＋c能与p，q构成一组基． 3．已知{a，b，c}是空间向量的一组基，p＝a－2b＋3c，若p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，则x＋y＋z＝____________． 解析：p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，又p＝a－2b＋3c，所以x＋y＝1，x－y＝－2，z＝3， 故x＋y＋z＝1＋3＝4. 答案：4 (1)判断一组向量能否作为空间向量的一组基，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为空间向量的一组基． (2)判断基时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 知识点二　用空间向量的基表示向量 [例1] (对接教材例1)如图，在空间四边形OABC中，3＝，点E为AD的中点，设＝a，＝b，＝c.试用向量a，b，c表示向量. 【解】　因为3＝，所以＝＝(－)， 所以＝＋＝＋(－)＝＋， 因为点E为AD的中点，所以＝＋＝＋(＋)， ＝＋＋ ＝a＋b＋c. 母题探究　本例中，若＝a，＝b，＝c，其他条件不变，则向量＝_______________________________(用向量a，b，c表示). 解析：＝＋＝＋ ＝＋(＋) ＝＋＋(－) ＝－＋＋ ＝－a＋b＋c. 答案：－a＋b＋c 用空间向量的基表示向量的步骤 (1)定基：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间向量的一组基. (2)找目标：用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间向量的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量．结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． [跟踪训练1] (2025·渭南月考)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是线段B1C1，A1D的中点，设＝a，＝b，＝c.用a，b，c表示＝________________________________________. 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝a＋b＋c. 答案：a＋b＋c 应用点　空间向量基本定理的应用 [例2] (1)(多选)对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是(　　) A．＝＋＋ B．＝＋＋ C．＝＋＋ D．＝2－－ (2)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为线段DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：，，为共面向量． 【解】　(1)选BC．方法一：对于A，＝＋＋，不能转化成＝x＋y的形式，故A不正确； 对于B，因为＝＋＋，所以3＝＋＋，所以－＝(－)＋(－)，所以＝＋，所以＝－－， 所以P，A，B，C四点共面．故B正确； 对于C，＝＋＋＝＋(＋)＋(＋)＝＋＋.所以－＝＋，所以＝＋，所以P，A，B，C四点共面，故C正确； 对于D，＝2－－，无法转化成＝x＋y的形式，故D不正确． 方法二：当点P与A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，可判断出只有选项B，C符合要求． (2)证明：设＝a，＝b，＝c，则＝b－a，因为M为线段DD1的中点，所以＝c－ a，又因为AN∶NC＝2∶1，所以＝＝(b＋c)，所以＝－＝(b＋c)－a＝(b－a)＋(c－a)＝＋，所以，，为共面向量． 证明空间三向量共面或四点共面的方法 (1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面． (2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面． [跟踪训练2] 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在线段B1B和D1D上，且|BE|＝|BB1|，|DF|＝|DD1|. (1)证明：A，E，C1，F四点共面； (2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值． 解：(1)证明：连接(图略).因为＝＋＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋，所以，，共面，又它们有公共点A，所以A，E，C1，F四点共面． (2)因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，又＝x＋y＋z，所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝. 1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间向量的一组基，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 解析：选B．当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以构成空间向量的一组基，否则无法构成，当{a，b，c}为空间向量的一组基时，一定有a，b，c为非零向量．因此p是q的必要不充分条件．故选B． 2．(多选)在空间四点O，A，B，C中，若{，，}是空间向量的一组基，则下列说法中正确的是(　　) A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点不共面 D．O，A，B，C四点中任意三点不共线 解析：选ACD．若四点共线，则，，共面，，，构不成空间向量的一组基，A正确；若四点共面，则，，共面，，，构不成空间向量的一组基，B错误，C正确；若有三点共线，则这四点共面，，，构不成空间向量的一组基，D正确．故选ACD． 3．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，|AB|＝2|CD|，点O为空间任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量＝__________．(用a，b，c表示) 解析：由题意可知，＝－2，所以－＝－2(－)，所以b－a＝－2(－c)，所以＝a－b＋c. 答案：a－b＋c 4．如图，在正方体OABC-O′A′B′C′中，设＝a，＝b，＝c. (1)用向量a，b，c表示向量，； (2)设点G，H分别是正方形BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用向量a，b，c表示向量. 解：(1)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.＝＋＝－＋＝b－a＋c. (2)方法一：连接OG，OH(图略)，则＝＋＝－＋＝－(＋)＋(＋)＝－＋＝(c－b). 方法二：连接O′C(图略)，则＝＝(－)＝(c－b). 1．已学习：空间向量基本定理、四点共面的充要条件． 2．须贯通：用基向量表示空间向量． 3．应注意：(1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件； (2)运算错误，利用基向量表示向量时计算要细心． 学科网（北京）股份有限公司 $