第2章 4.2 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦高中数学圆锥曲线核心知识点，系统梳理抛物线、椭圆、双曲线的定义、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系。从定义（如抛物线焦点、椭圆离心率）到性质应用（渐近线、中点弦斜率），再到综合问题（弦长计算、面积最值、向量数量积），构建从基础理解到综合应用的学习支架。 该资料题目类型丰富（选择、填空、解答），覆盖不同难度层次，注重通性通法（联立方程、韦达定理、点差法）。通过中点弦问题用点差法推理、弦长计算结合韦达定理运算等实例，培养数学思维中的推理能力和运算能力，提升数学眼光中的抽象能力与创新意识。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生巩固方法、查漏补缺。

1．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选D．过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由 得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)，所以·＝8.故选D． 2．已知椭圆C：＋y2＝1上两点A，B，若AB的中点为D，直线OD的斜率等于1，则直线AB的斜率为(　　) A．－1 B．1 C．－ D．－ 解析：选D．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，则两式相减得＋y－y＝0，整理得＝－·＝－·，即kAB＝－·＝－.故选D． 3．过双曲线x2－y2＝4的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长|AB|＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：选C．由双曲线x2－y2＝4，得a＝b＝2，c＝2，右焦点为F(2，0)，倾斜角θ＝30°，直线斜率k＝，则直线方程为x＝y＋2，联立消去x得y2＋2y＋2＝0，由根与系数的关系知 代入弦长公式|AB|＝|y1－y2|＝2 ＝2＝8.故选C． 4．已知直线l交椭圆C：＋＝1于A，B两点，若点M(1，2)为A，B两点的中点，则直线l的斜率为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选D．依题意可知直线l的斜率存在且不为0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两式相减并化简得－＝·，即－＝·，则＝－，所以直线l的斜率为－.故选D． 5．(2026·驻马店月考)已知A，B是抛物线C：y2＝x上的两点，A与B关于x轴对称，点D(3，0)，则|AB|2＋|AD|2的最小值为(　　) A．8 B． C． D．12 解析：选B．设A(x1，y1)，则y＝x1，B(x1，－y1)， 所以|AB|2＋|AD|2＝(2y1)2＋(x1－3)2＋y ＝x－6x1＋9＋5y＝x－6x1＋9＋5x1＝x－x1＋9＝(x1－)2＋. 因为x1>0，所以当x1＝时，|AB|2＋|AD|2取得最小值，且最小值为. 6．(多选)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，其准线与x轴相交于点M，经过点M且斜率为k的直线l与抛物线相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列结论中正确的是(　　) A．x1x2＝4 B．y1y2＝8 C．k的取值范围是(－1，1) D．k＝时，以AB为直径的圆经过点F 解析：选AD． 由题意可得，F(2，0)，准线x＝－2，则M(－2，0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得消去y得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，可得 解得－1<k<1且k≠0，故C错误；则x1＋x2＝－，x1x2＝＝4，故A正确；可得yy＝8x1×8x2＝64x1x2＝64×4＝256，易知y1，y2同号，所以y1y2＝16，故B错误；因为＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝4－2×(－)＋4＋16＝32－，当k＝时，·＝0，此时∠AFB为直角，即以AB为直径的圆经过点F，故D正确．故选AD． 7．过椭圆＋＝1内一点P(3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是______________． 解析：设该直线与椭圆的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，又两式相减得＋＝0，则＋＝0，则＝－，则所求直线方程为y＝－(x－3)＋1，即3x＋4y－13＝0，经检验3x＋4y－13＝0符合题意． 答案：3x＋4y－13＝0 8．已知抛物线y＝x2的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且＝4，O为坐标原点，则△OAB的面积为____________． 解析：由已知得F(0，1)，设直线l的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y，整理得x2－4kx－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，故Δ＝16k2－4×(－4)＝16k2＋16>0，x1＋x2＝4k，①x1x2＝－4，②又＝4，故x1＝－4x2，③由①②③解得k2＝，此时，|AB|＝y1＋y2＋2＝k(x1＋x2)＋4＝4(k2＋1)，点O到直线AB的距离为d＝，故△OAB的面积为S＝|AB|·d＝2＝. 答案： 9．已知抛物线y2＝8x，过动点M(a，0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若|AB|≤8，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意可得直线l的方程为y＝x－a，将y＝x－a代入y2＝8x，得x2－2(a＋4)x＋a2＝0，则Δ＝4(a＋4)2－4a2＞0，解得a＞－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2(a＋4)，x1x2＝a2，所以|AB|＝＝≤8，即≤1.又a＞－2，所以－2＜a≤－1. 答案：(－2，－1] 10．(13分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，且椭圆C的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2. (1)求椭圆C的标准方程；(4分) (2)设斜率为且过F2的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求弦长|PQ|.(9分) 解：(1)由题意可知2a＝4，则a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，则b＝＝， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)因为F2(1，0)，直线l过F2且斜率为，所以直线l：y＝(x－1)， 联立得5x2－8x＝0(*)， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 方法一：由(*)可得x1＝0，x2＝， 得P(0，－)，Q(，)， 所以|PQ|＝ ＝＝. 方法二：由(*)可得x1＋x2＝，x1x2＝0， 所以|PQ|＝＝×＝. 11．已知双曲线y2－＝1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2＝(　　) A． B．－ C．2 D．－2 解析：选A．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则y－＝1，y－＝1，两式相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝，所以直线l的斜率k1＝＝＝，直线OP的斜率k2＝，k1k2＝·＝.故选A． 12．(多选)(2026·连云港月考)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一动点，则下列说法正确的是(　　) A．椭圆离心率为 B．△PF1F2面积的最大值为 C．|PF1|·|PF2|的取值范围为[3，4] D．若H(1，1)，则|PF1|＋|PH|的最大值为6 解析：选BC．对于A，由椭圆方程知，长半轴长a＝2，短半轴长b＝，半焦距c＝1，所以椭圆离心率e＝＝，A错误；对于B，设点P(x0，y0)，则S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝|y0|，所以当P为椭圆短轴端点时，△PF1F2面积取得最大值，B正确；对于C，由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以|PF1|·|PF2|＝|PF1|·(4－|PF1|)＝－|PF1|2＋4|PF1|＝－(|PF1|－2)2＋4. 因为|PF1|min＝a－c＝1，|PF1|max＝a＋c＝3，所以当|PF1|＝2时，(|PF1|·|PF2|)max＝4； 当|PF1|＝1或3时，(|PF1|·|PF2|)min＝3，所以|PF1|·|PF2|的取值范围为[3，4]，C正确； 对于D，由椭圆定义知，|PF1|＝4－|PF2|， 所以|PF1|＋|PH|＝4＋|PH|－|PF2|≤4＋|F2H|(当且仅当P，F2，H三点共线时取等号，即P位于图中P′处时取等号)，又|F2H|＝1，所以|PF1|＋|PH|≤5，即|PF1|＋|PH|的最大值为5，D错误． 13．若两焦点为F1，F2的双曲线上一点P满足k||PF1|－|PF2||＝|PF1||PF2|，则称P为该双曲线的“k阶和谐点”．若双曲线E：－＝1存在“k阶和谐点”，则k的最小值为________． 解析：对于双曲线E：－＝1， 有F1(－4，0)，F2(4，0)，||PF1|－|PF2||＝2a＝4，所以k＝， 设P(x，y)，则y2＝3x2－12，所以|PF1|＝＝＝2|x＋1|，|PF2|＝＝＝2|x－1|，故k＝＝|x2－1|，因为|x|≥2，所以x2≥4，所以k＝|x2－1|≥3，即k的最小值为3. 答案：3 14．(13分)(2026·青岛期中)已知双曲线C的其中一个焦点坐标为(，0)，且与双曲线x2－y2＝2有相同渐近线． (1)求双曲线C的方程；(5分) (2)若直线l：y＝kx－1与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积是，求实数k的值．(8分) 解：(1)由c＝，渐近线方程为y＝±x，即a＝b，且a2＋b2＝c2，得a＝1，b＝1，所以双曲线C的方程为x2－y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程消去y整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，Δ＝8－4k2>0. 所以x1＋x2＝，x1x2＝，因为直线l：y＝kx－1恒过定点D(0，－1)， 则当x1x2＜0时，S△AOB＝S△OAD＋S△OBD＝|x1－x2|＝； 当x1x2＞0时，S△AOB＝|S△OAD－S△OBD|＝|x1－x2|＝. 综上可知，|x1－x2|＝2，所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2. 即()2＋＝8， 解得k＝0或k＝±. 经检验，k＝0或k＝±都满足Δ＞0，所以k＝0或k＝±. 15．(15分)已知动圆Q与直线l：x＝－相切且与圆F：(x－1)2＋y2＝外切． (1)求圆心Q的轨迹Γ的方程；(5分) (2)若过定点F(1，0)的两条相互垂直的直线lAC，lBD交曲线Γ于A，C，B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值．(10分) 解：(1)圆F：(x－1)2＋y2＝的圆心为F(1，0)，半径r＝，直线l：x＝－与圆F相离，且在圆 F左侧，设圆心Q的坐标为(x，y)，动圆Q的半径为R，由动圆Q与直线l：x＝－相切，得R＝x＋，由两圆外切，得＝R＋r，即＝x＋1，化简得y2＝4x， 所以圆心Q的轨迹Γ的方程为y2＝4x. (2)显然直线lAC，lBD均不垂直于y轴，设直线lAC的斜率为k，则直线lBD的斜率为－，直线lAC的方程为y＝k(x－1)，由消去y得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝，|AC|＝|AF|＋|CF|＝x1＋x2＋2＝4(1＋)，同理得|BD|＝4(1＋k2)，四边形ABCD的面积为S＝|AC|·|BD|＝8(1＋)(1＋k2)＝16＋8·(k2＋)≥16＋8·2＝32，当且仅当k2＝，即k＝±1时取等号，所以四边形ABCD面积的最小值为32. 学科网（北京）股份有限公司 $