第2章 4.1 直线与圆锥曲线的交点-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

§4　直线与圆锥曲线的位置关系

4．1　直线与圆锥曲线的交点

知识点一　直线与椭圆的交点问题

思考　如何判定直线l：y＝kx＋b与椭圆C：＋＝1(a>b>0)两者交点的个数？

提示：由于y＝kx＋b过点(0，b)，而点(0，b)在椭圆C上，所以直线与椭圆有1个或2个交点．

[知识梳理]

直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程．

[例1] (对接教材例2)已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个公共点；

(2)有且只有一个公共点；

(3)没有公共点．

【解】　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组

消去y得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，①

则由方程①得Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.

(1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程①有两个不相等的实数根．这时直线l与椭圆C有两个公共点．

(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相等的实数根．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．

(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程①没有实数根．这时直线l与椭圆C没有公共点．

直线与椭圆位置关系的判断方法

[跟踪训练1] (1)若直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋＝1没有公共点，则m的取值范围为(　　)

A．(－2，2)

B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C．(－，)

D．(－∞，－)∪(，＋∞)

解析：选D．由

可得14x2＋18mx＋9m2－45＝0，故Δ＝324m2－56(9m2－45)<0，故m<－或m>.

(2)(2026·桂林期中)已知椭圆C：＋y2＝1，则椭圆C的斜率为1的切线方程为________．

解析：设椭圆C的斜率为1的切线方程为y＝x＋k，

与椭圆C的方程联立，得消去x得3y2－2ky＋k2－2＝0，

令Δ＝4k2－12(k2－2)＝0，解得k＝±，

所以椭圆C的斜率为1的切线方程为y＝x＋或y＝x－.

答案：y＝x＋或y＝x－

知识点二　直线与双曲线的交点问题

思考　类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？

提示：有三种位置关系，分别为相交、相离、相切．

[知识梳理]

把直线与双曲线的方程联立得到的方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程根的判别式．

(1)当Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点；

(2)当Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点；

(3)当Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．

当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．

提醒　在直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．

[例2] (对接教材例4)已知双曲线C：x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试确定实数k的取值范围，使：

(1)直线l与双曲线C有两个不同的公共点；

(2)直线l与双曲线C有且只有一个公共点．

【解】　联立

消去y整理得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)