第2章 4.1 直线与圆锥曲线的交点-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦直线与圆锥曲线的交点这一核心知识点，系统梳理直线与椭圆、双曲线、抛物线交点问题的判定方法。从椭圆的判别式应用入手，逐步过渡到双曲线需考虑渐近线平行的特殊情况，再到抛物线要关注对称轴平行的情形，通过思考、知识梳理、例题及跟踪训练搭建递进式学习支架。 该资料特色在于类比迁移与严谨思维培养，如双曲线部分强调“一解不一定相切”，引导学生用数学眼光抽象特殊情况，例题中规范的联立方程、判别式分析步骤提升数学语言表达能力。课中助教师系统授课，课后通过跟踪训练和练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 4．1　直线与圆锥曲线的交点 新课导入 学习目标 　　前面我们已经学习了直线以及圆、椭圆、双曲线、抛物线，通过平面直角坐标系，把圆锥曲线上的点和相应的圆锥曲线方程的解建立了一一对应的关系，判定直线与圆锥曲线交点的个数，可以通过作出图象来确定．那么，我们是否还可以通过方程组的解的个数判定两者的交点个数呢？ 1.会用代数法来判断直线与圆锥曲线交点的个数．　2.会由直线与圆锥曲线的交点个数求参数的取值范围． 知识点一　直线与椭圆的交点问题 思考　如何判定直线l：y＝kx＋b与椭圆C：＋＝1(a>b>0)两者交点的个数？ 提示：由于y＝kx＋b过点(0，b)，而点(0，b)在椭圆C上，所以直线与椭圆有1个或2个交点． [知识梳理] 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 Δ的值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 [例1] (对接教材例2)已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 【解】　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 消去y得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，① 则由方程①得Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程①有两个不相等的实数根．这时直线l与椭圆C有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相等的实数根．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程①没有实数根．这时直线l与椭圆C没有公共点． 直线与椭圆位置关系的判断方法 [跟踪训练1] (1)若直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋＝1没有公共点，则m的取值范围为(　　) A．(－2，2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－，) D．(－∞，－)∪(，＋∞) 解析：选D．由 可得14x2＋18mx＋9m2－45＝0，故Δ＝324m2－56(9m2－45)<0，故m<－或m>. (2)(2026·桂林期中)已知椭圆C：＋y2＝1，则椭圆C的斜率为1的切线方程为________． 解析：设椭圆C的斜率为1的切线方程为y＝x＋k， 与椭圆C的方程联立，得消去x得3y2－2ky＋k2－2＝0， 令Δ＝4k2－12(k2－2)＝0，解得k＝±， 所以椭圆C的斜率为1的切线方程为y＝x＋或y＝x－. 答案：y＝x＋或y＝x－ 知识点二　直线与双曲线的交点问题 思考　类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？ 提示：有三种位置关系，分别为相交、相离、相切． [知识梳理] 把直线与双曲线的方程联立得到的方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程根的判别式． (1)当Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点； (2)当Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点； (3)当Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 提醒　在直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． [例2] (对接教材例4)已知双曲线C：x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线C有两个不同的公共点； (2)直线l与双曲线C有且只有一个公共点． 【解】　联立 消去y整理得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) (1)因为直线l与双曲线C有两个不同的公共点， 所以 整理得解得－<k<－1或－1<k<1或1<k<. (2)当1－k2＝0即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x－5＝0，故方程(*)有唯一实数解，即直线l与双曲线C相交，有且只有一个公共点，满足题意． 当1－k2≠0时， 因为直线l与双曲线C有且只有一个公共点，则Δ＝4(4－3k2)＝0，解得k＝±. 综上，k＝±1或k＝±. 母题探究1　直线l与双曲线C没有公共点时，实数k的取值范围为________． 解析：因为直线l与双曲线C没有公共点，所以 解得k>或k<－. 答案：k>或k<－ 母题探究2　直线l与双曲线C的右支有两个不同的公共点时，实数k的取值范围为________． 解析：因为直线l与双曲线C的右支有两个不同的公共点，设两个公共点的横坐标为x1，x2， 所以 解得－<k<－1或1<k<. 答案：－<k<－1或1<k< (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式Δ，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况． (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行． 注意　对直线的斜率是否存在进行讨论． [跟踪训练2] (1)已知双曲线E：－＝1，则过点P(2，)与双曲线E有且只有一个公共点的直线共有(　　) A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 解析：选C．点P(2，)在双曲线的渐近线y＝x上，且位于第一象限，和双曲线的右顶点有相同横坐标，如图， 所以过点P(2，)且与双曲线E有且只有一个公共点的直线只有2条： 一条是x＝2，另一条是过点P(2，)且与另一条渐近线平行的直线． (2)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的左、右两支各有一个交点，则k的取值范围为________． 解析：联立得(1－k2)x2－4kx－10＝0，① 由题知方程①有一个正根，一个负根， 所以 解得－1<k<1. 答案：(－1，1) 知识点三　直线与抛物线的交点问题 思考　若直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？ 提示：不一定，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线只有一个公共点，直线与抛物线相交． [知识梳理] 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． [例3] (对接教材例3)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过抛物线上点A(2，3)且斜率为k的直线l与抛物线C仅有一个交点． (1)求抛物线C的方程； (2)求k的值． 【解】　(1)因为点A(2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上， 所以4p＝9，解得p＝， 抛物线C的方程为y2＝x. (2)显然直线的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx－2k＋3， 联立得y2－y－2k＋3＝0，若k＝0，方程－y＋3＝0只有一解，满足要求，若k≠0，则需满足1－(3－2k)＝0，解得k＝，综上，k＝0或k＝. (1)判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点． (2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切． [跟踪训练3] (1)(多选)过定点P(0，1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程为(　　) A．x＝0 B．y＝1 C．y＝x＋1 D．y＝x＋1 解析：选ABD．如图所示，若直线的斜率不存在，则过点P(0，1)的直线方程为x＝0，由解得 即直线x＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx＋1，由消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.当k＝0时，解得y＝1，即直线y＝1与抛物线只有一个公共点；当k≠0时，Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，解得k＝，即直线y＝x＋1与抛物线只有一个公共点．综上，所求的直线方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1. (2)过点(0，1)且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为________________． 解析：过点(0，1)且斜率不存在的直线方程为x＝0，与抛物线y2＝4x相切．当过点(0，1)的直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋1.由消去x，得ky2－4y＋4＝0.当k＝0时，直线方程为y＝1，直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线相交，不合题意；当k≠0时，由直线与抛物线相切，得Δ＝0，即16－16k＝0，解得k＝1，所以直线方程为y＝x＋1.故所求直线方程为y＝x＋1或x＝0. 答案：y＝x＋1或x＝0 1．已知椭圆＋＝1，直线l：x＋my－m＝0(m∈R)，则直线l与椭圆的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．相交且过右端点 解析：选C．由题意知，x＋my－m＝0(m∈R)恒过点(0，1)，因为＋<1，所以点(0，1)在椭圆内部，所以直线l与椭圆相交，但不一定过右端点. 故选C． 2．若直线y＝x－4与双曲线－＝1相交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A．6 B．2 C．5 D．9 解析：选B．由消去y并整理得2x2－24x＋57＝0，Δ＝(－24)2－4×2×57＝120>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝12，x1x2＝，所以|AB|＝×＝×＝2. 3．(多选)若过点(－1，0)的直线l与抛物线x2＝2y只有一个交点，则直线l的方程为(　　) A．y＝0 B．x＝－1 C．y＝－2x＋2 D．y＝－2x－2 解析：选ABD．当直线l斜率不存在时，直线x＝－1满足条件； 当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，联立消去y可得x2－2kx－2k＝0， 因为直线l与抛物线只有一个交点，所以Δ＝4k2＋8k＝0，所以k＝0或k＝－2，所以直线l的方程为y＝0或y＝－2x－2. 4．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F2，与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的中点P的坐标为________． 解析：因为直线AB过椭圆＋＝1的右焦点F2(1，0)，且斜率为2，所以直线AB的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.由方程组得交点A(0，－2)，B(，)(或A(，)，B(0，－2))，所以线段AB的中点P的坐标为(，－). 答案：(，－) 5．已知O为坐标原点，直线l：kx－y－2＝0交抛物线E：x2＝2py(p>0)于A，B两点，P为y轴正半轴上一点，点A，P，B的纵坐标分别为y1，yP，y2，且y＝y1y2，则P的坐标为________． 解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，yP)(yP>0)，联立得x2－2pkx＋4p＝0，Δ＝4p2k2－16p>0，即k2>，x1x2＝4p，所以y＝y1y2＝＝4，又yP>0，所以P(0，2). 答案：(0，2) 1．已学习：直线与椭圆、双曲线以及抛物线的交点问题． 2．须贯通：直线与圆锥曲线的交点问题． 3．应注意：易忽略直线中斜率不存在的情况及直线与双曲线、抛物线只有一个交点的情况中非Δ＝0的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $