第2章 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

4.2　直线与圆锥曲线的综合问题

学习目标　1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系.2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题.3.掌握点差法在中点弦问题中的运用.

一、弦长公式及应用

问题1　已知直线l：y＝kx＋m上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的长度如何表示？

提示　|AB|＝

＝|x1－x2|

＝ .

知识梳理

当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有以下两种：

(1)|AB|＝|x1－x2|

＝.

(2)|AB|＝|y1－y2|

＝(k≠0).

注意点：

(1)一定先有判别式大于零，才有两根之和、两根之积.

(2)对于斜率不确定的问题，要分类讨论.

(3)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.

(4)椭圆、双曲线的通径长为.

例1　(1)若直线y＝x－1与双曲线x2－＝1相交于A，B两点，求|AB|.

解　联立直线与双曲线方程得方程组

消去y，得x2＋2x－3＝0. ①

方法一　由方程①解得x1＝1，x2＝－3，代入y＝x－1得y1＝0，y2＝－4，

不妨设A，B两点的坐标分别为(1，0)，(－3，－4)，

则|AB|＝＝4.

方法二　Δ＝22－4×(－3)＝16>0，

设方程①的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系得x1＋x2＝－2，x1x2＝－3，

则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16，

则|AB|＝|x1－x2|＝×4＝4.

(2)已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－.

①试求动点P的轨迹C的方程；

②设直线l：y＝kx＋1与①中曲线C交于M，N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程.

解　①设动点P的坐标是(x，y)，

由题意得kPA·kPB＝－，

∴·＝－，

化简整理得＋y2＝1.

故点P的轨迹C的方程是＋y2＝1(x≠±).

②设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由

得(1＋2k2)x2＋4kx＝0.

Δ＝16k2>0，

∴x1＋x2＝，x1x2＝0.

∴|MN|＝·，

整理得k4＋k2－2＝0，

解得k2＝1或k2＝－2(舍去).

经检验k＝±1符合题意，

∴直线l的方程为y＝±x＋1，

即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.

反思感悟　(1)求弦长的两种方法

①求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解.

②结合根与系数的关系，当斜率k存在(A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线与圆锥曲线的交点)时，利用弦长公式

|AB|＝或

|AB|＝(k≠0)求解.

(2)已知弦长求参数值，关键是利用弦长公式，得到关于参数的方程，注意求得结果要验证是否满足判别式大于0，否则需舍去.

跟踪训练1　(1)过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为　　　　.

答案　2

解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB的斜率为－2且过点(1，0)，得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，Δ＝12>0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，|AB|＝·×＝2.

(2)椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q两点，且|PQ|＝，则椭圆方程为　　　　　　　　.

答案　＝1

解析　∵e＝，∴b2＝a2.

∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2，

与x＋2y＋8＝0联立消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0，

由Δ>0得a2>32.

∴x1＋x2＝－8，x1x2＝，

由弦长公式得10＝×[64－2(64－a2)]，