第2章 4.1 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦直线与圆锥曲线位置关系这一核心知识点，系统梳理从基础判定（相交、相切、相离）到综合应用（距离、面积、离心率计算）的递进脉络，构建“定义理解—方程联立—判别式应用—几何性质结合”的学习支架。 资料通过分层题型（选择、填空、解答）设计，以椭圆切线距离、抛物线焦点弦等实例，培养学生用数学思维推理逻辑关系、用数学语言规范表达的能力，课中助力教师分层教学，课后帮助学生强化解题思路，弥补知识盲点。

1．已知直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个公共点，则直线l与抛物线的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 答案：D 2．已知斜率为－1的两条直线都与椭圆C：＋＝1相切，则这两条直线间的距离为(　　) A．3 B．3 C．6 D．6 解析：选B．设切线方程为y＝－x＋m，则则3x2－4mx＋2m2－6＝0，Δ＝16m2－12(2m2－6)＝0，解得m＝±3，切线方程为x＋y±3＝0，故这两条直线间的距离d＝＝3. 3．经过点P(1，)且与椭圆＋y2＝1相切的直线方程是(　　) A．x＋2y－4＝0 B．x－2y－4＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x－2y＋2＝0 解析：选A．当斜率k不存在时，直线x＝1与椭圆有两个交点，不符合题意；当斜率k存在时，设直线方程为y－＝k(x－1)，与椭圆的方程联立得到(1＋4k2)x2＋4k(－2k)x＋4k2－4k－1＝0，由直线与椭圆相切，得Δ＝0，即[4k(－2k)]2－4(1＋4k2)(4k2－4k－1)＝0，解得k＝－，所以切线方程为x＋2y－4＝0.故选A． 4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，过点F且垂直于x轴的直线与C交于D，E两点，O为坐标原点，若OD⊥OE，则a＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A．由题意可得△ODE为等腰直角三角形，且F为DE中点， 所以|OF|＝|DF|，由题意可得c＝1，所以＋＝1， 解得y＝±，所以|OF|＝|DF|＝，所以＝1， 所以b2＝a＝a2－c2＝a2－1， 解得a＝(a＝舍去). 5．已知双曲线C：－x2＝1的下焦点和上焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F2AB的面积是△F1AB面积的4倍，则m＝(　　) A．3 B．－3 C． D．－ 解析：选D．由C：－x2＝1可知F1(0，－2)，F2(0，2)，联立 整理得2x2－2mx＋3－m2＝0，则Δ＝4m2－8(3－m2)>0，即m2>2，由△F2AB的面积是△F1AB面积的4倍可知，F2到直线AB的距离是F1到直线AB的距离的4倍，即＝4×，化简可得15m2＋68m＋60＝0，即(3m＋10)(5m＋6)＝0，解得m＝－或m＝－(舍去). 6．(多选)(2026·南昌月考)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为直线l，直线PQ与抛物线C交于P，Q两点，则下列说法正确的是(　　) A．点F到直线l的距离是4 B．若PQ的方程是2x－y－4＝0，则△FPQ的面积为3 C．若PQ的中点G到直线l的距离为3，则|FP|＋|FQ|＝8 D．若点(4，0)在直线PQ上，则OP⊥OQ 解析：选BD．对于A，由题意可知抛物线C的焦点为F(1，0)，准线l的方程为x＝－1，所以点F到直线l的距离是2，故A错误； 对于B，由得y2－2y－8＝0，解得y＝－2或y＝4，所以|yP－yQ|＝6，又PQ与x轴的交点为E(2，0)，所以|EF|＝1，所以△FPQ的面积为|EF|·|yP－yQ|＝3，故B正确； 对于C，因为PQ的中点G到直线l的距离为3，所以＋1＝3，即xP＋xQ＝4，所以|FP|＋|FQ|＝xP＋xQ＋2＝6，故C错误； 对于D，设PQ：x＝my＋4，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得y2－4my－16＝0，Δ＝16m2＋64＞0，y1y2＝－16，因为kOP·kOQ＝·＝＝＝－1，所以OP⊥OQ，故D正确． 7．已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且只有一个公共点，则实数k＝________． 解析：联立 消去y，整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，当1－k2≠0时，由Δ＝4k2＋8(1－k2)＝0得k＝±；又注意到直线y＝kx－1恒过点(0，－1)，且渐近线的斜率为±1，当直线与渐近线平行时也满足题意． 答案：±或±1 8．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若总存在一条过F1的直线l，使得点F2关于直线l的对称点在椭圆C上，则椭圆C的离心率e的取值范围是________． 解析：设点F2关于直线l的对称点为P，则|PF1|＝|F1F2|＝2c， 因为|PF1|≥a－c，所以2c≥a－c，所以3c≥a，即e≥，又0<e<1，所以椭圆C的离心率e的取值范围是[，1). 答案：[，1) 9．已知过抛物线y2＝8x焦点F的直线与抛物线交于M，N两点，设抛物线的准线与x轴的交点为A，当MA⊥NA时，|MN|＝______________． 解析：由题知，A(－2，0)，F(2，0)，设过焦点的直线为x＝my＋2，代入y2＝8x得，y2－8my－16＝0，所以yMyN＝－16，则xMxN＝＝4，由MA⊥NA，则·＝＝－1，所以8＋2(xM＋xN)＝16，即xM＋xN＝4，由抛物线定义知|MN|＝xM＋xN＋4＝8. 答案：8 10．(13分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4，0)，实轴长为4. (1)求双曲线C的方程；(4分) (2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C的左支交于A，B两点，求实数k的取值范围．(9分) 解：(1)由题意知，a＝2，c＝4，故b2＝c2－a2＝12，又右焦点为(4，0)，所以双曲线C的方程为－＝1. (2)联立直线l与双曲线C的方程有整理得(3－k2)x2－4kx－16＝0，又直线与双曲线在左支上有两个交点A，B，所以xA＋xB＝＜0，xAxB＝－＞0，且 解得 ＜k＜2，即实数k的取值范围是(，2). 11．(多选)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的值可以为(　　) A．－1 B．－2 C．1 D． 解析：选BD．由题意可知机器人的行进轨迹为抛物线，其轨迹方程为y2＝4x，设过点P(－1，0)的直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，由题意知直线与抛物线无交点，联立两方程并消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，则Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，所以k2>1，解得k>1或k<－1.故选BD． 12．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，其准线为l，过点F的直线交抛物线于点A，B，且满足＝4，又AA1⊥l于点A1，则△AA1F的面积为______________． 解析：如图， 不妨设点A在第一象限，A，B在l上的投影分别是A1，D，连接A1F，BD，过点B作BE⊥AA1于点E.设||＝m，则||＝4m，由点A，B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得||＝||＝m，||＝||＝4m，所以||＝3m.因此，Rt△ABE中，cos ∠BAE＝，tan ∠BAE＝，所以直线AB的斜率为k＝tan ∠AFx＝tan ∠BAE＝，直线AB的方程为y＝(x－2)，代入y2＝8x，可得2x2－17x＋8＝0，即(2x－1)·(x－8)＝0，所以x＝8或x＝，因为A在x轴上方，所以A(8，8)，所以S＝·|AA1|·yA＝×10×8＝40. 答案：40 13．已知点P为直线ax＋y－4＝0上一点，PA，PB是椭圆C：＋y2＝1(a>0)的两条切线，若恰好存在一点P使得PA⊥PB，则椭圆C的离心率为________． 解析：设P(m，n)，当切线斜率存在时，设斜率为k，则过点P的切线为y－n＝k(x－m).联立得(k2a2＋1)x2＋2ka2(n－km)x＋a2[(n－km)2－1]＝0.因为直线与椭圆相切，所以Δ＝4k2a4(n－km)2－4a2(k2a2＋1)[(n－km)2－1]＝0，整理得(a2－m2)k2＋2mnk＋1－n2＝0.设切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，因为PA⊥PB，所以k1k2＝＝－1，即m2＋n2＝1＋a2，所以点P在以(0，0)为圆心， 为半径的圆上，即(0，0)到直线ax＋y－4＝0的距离为，由＝，解得a＝(负值已舍去).当切线斜率有一条为0，另一条不存在时，若点P(a，4－a2)，此时4－a2＝1，a＝，若点P(－a，4＋a2)，此时4＋a2＝1，无解．综上，a＝.又因为b＝1，所以c＝＝，e＝＝ . 答案： 14．(13分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)经过点A(1，－2). (1)求抛物线的方程，并求其准线方程；(4分) (2)若直线l与OA平行(O为坐标原点)，与抛物线有公共点，且直线OA与l的距离为，求直线l的方程．(9分) 解：(1)由题设可得(－2)2＝2p，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－＝－1. (2)直线OA斜率为－2，则方程为y＝－2x.因为直线l与OA平行，故可设直线l的方程为y＝－2x＋t.因为直线l与抛物线有公共点，联立消去y得4x2－(4t＋4)x＋t2＝0，此方程有解，故Δ＝(4t＋4)2－16t2≥0，所以t≥－.又直线l与直线OA的距离为，故＝，解得t＝±1.因为t≥－，故t＝1.所以直线l的方程为2x＋y－1＝0. 15．(15分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2，离心率为. (1)求椭圆的方程；(5分) (2)设过点M(0，2)且斜率为k的直线与椭圆交于不同的两点A，B，点O在以线段AB为直径的圆外(O为原点)，求k的取值范围．(10分) 解：(1)设椭圆的半焦距为c， 则2c＝2，得c＝， 又离心率为＝， 解得a＝2，则b＝＝1， 故椭圆的方程为＋y2＝1. (2)设直线AB的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0， 由Δ＝(16k)2－4×12×(1＋4k2)>0， 得k2>， 则x1＋x2＝－，x1x2＝. 因为点O在以线段AB为直径的圆外，A，B，O不共线，所以∠AOB为锐角， 所以cos ∠AOB>0， 故·>0，即x1x2＋y1y2>0， 因为y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4， 所以x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－＋4＝>0，解得k2<4， 因为k2>，则<|k|<2，解得－2<k<－或<k<2，故k的取值范围为(－2，－)∪(，2). 学科网（北京）股份有限公司 $