第2章 2.2 第1课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦双曲线核心知识点，系统梳理从标准方程、实半轴长、离心率到渐近线、焦点关系的基础概念，延伸至与椭圆综合、实际问题建模等综合应用，构建从基础到进阶的学习支架。 资料通过梯度化题目设计，如第4题结合渐近线对称点培养几何直观与推理能力，第14题将巨响位置转化为双曲线模型发展应用意识。课中辅助教师系统教学，课后助力学生通过不同难度题目查漏补缺，提升用数学眼光观察、思维推理和语言表达的核心素养。

1．双曲线C：9x2－16y2＝144的实半轴长为(　　) A．16 B．8 C．4 D．3 解析：选C．由双曲线C：9x2－16y2＝144，可化为－＝1，可得a2＝16，即a＝4，所以双曲线C的实半轴长为4. 2．已知双曲线C：＋＝1的离心率e＝，则实数m的值为(　　) A．0 B．－2 C． D．2 解析：选A．由题意双曲线C的标准方程为－＝1，－1<m<1，则e＝＝＝＝，即m＝0. 3．(2025·南阳月考)与双曲线C：－＝1共渐近线，且过点(2，)的双曲线的标准方程是(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：选D．由题意可设所求双曲线的标准方程为－＝t(t≠0).又该双曲线经过点(2，)，则－＝t，解得t＝－1，则所求双曲线的标准方程为－＝1. 4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，F2关于C的一条渐近线的对称点为P.若|PF1|＝2，则△PF1F2的面积为(　　) A．2 B． C．3 D．4 解析：选D．如图，设PF2与渐近线y＝x交于M，则F2M⊥OM，tan ∠MOF2＝，sin ∠MOF2＝，所以|MF2|＝|OF2|·sin ∠MOF2＝b，|OM|＝＝a，由O，M分别是F1F2与PF2的中点，知OM∥PF1且|OM|＝|PF1|＝1，即a＝1，由e＝得c＝，b＝2，所以S＝4S＝4××2×1＝4.故选D． 5．(2026·渝北期中)若实数k满足0＜k＜9，则双曲线－＝1与－＝1的(　　) A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 解析：选C．由0＜k＜9，得9－k＞0，16－k＞0，所以两双曲线的焦点均在x轴上，因为16＋(9－k)＝(16－k)＋9＝25－k＝c2，所以两双曲线的焦距相等，故C正确，而实轴长前者为8，后者为2，虚轴长前者为2，后者为6，均无法相等，离心率前者为，后者为，也不相等，故A，B，D错误． 6．(多选)已知双曲线C：x2－＝1，点P是C上任意一点，则下列结论正确的有(　　) A．双曲线C的离心率为 B．焦点到渐近线的距离为4 C．左、右焦点分别为F1，F2，若|PF1|＝4，则|PF2|＝2或|PF2|＝6 D．若左、右顶点分别为A，B，当P与A，B不重合时，直线PA与直线PB的斜率之积为16 解析：选ABD．由已知可得，a2＝1，a＝1，b2＝16，b＝4，所以c2＝a2＋b2＝17，c＝. 对于A，e＝＝，故A正确；对于B，双曲线的一条渐近线方程为4x－y＝0，右焦点坐标为(，0)，所以焦点到渐近线的距离为d＝＝4，故B正确；对于C，因为根据双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF2|＝2或|PF2|＝6.因为|PF2|>c－a＝－1，故|PF2|＝6，故C错误；对于D，设P(x0，y0)，A(－1，0)，B(1，0)，则kPA·kPB＝× ＝＝＝16，故D正确．故选ABD． 7．已知双曲线－＝1的实轴长为2，离心率为2，则双曲线的标准方程为___________________________________________________． 解析：由题得解得 所以双曲线的标准方程为－＝1. 答案：－＝1 8．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则E的离心率为________________________________________． 解析：因为E的一条渐近线的倾斜角为30°，所以＝，则E的离心率e＝＝＝. 答案： 9．已知双曲线＋＝1的离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，则双曲线的标准方程为__________，双曲线的渐近线方程为______________________． 解析：由题意知，m<0.因为椭圆的离心率e1＝，所以双曲线的离心率e2＝2，即＝2，所以m＝－27，即双曲线的标准方程为－＝1，双曲线的渐近线方程为y＝±x. 答案：－＝1　y＝±x 10．(13分)已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程． 解：由椭圆方程化为标准方程＋＝1，可知c2＝64－16＝48.①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，所以解得 所以双曲线的标准方程为－＝1；②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，所以 解得所以双曲线的标准方程为－＝1.综上所述，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 11．(多选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，焦距为2c，直线y＝kx与双曲线C交于A，B两点，点A位于第一象限，过点A作x轴的垂线，垂足为N，点F为双曲线的左焦点，则(　　) A．|AF|－|BF|＝2a B．若AF⊥BF，则|AB|＝2c C．若k＝，则e>2 D．若e＝2，则>2 解析：选ABC．对于A，设双曲线的右焦点为F1，因为直线AB过原点，所以四边形AFBF1为平行四边形，所以|BF|＝|AF1|，所以|AF|－|BF|＝|AF|－|AF1|＝2a，故A正确；对于B，因为AF⊥BF，所以四边形AFBF1为矩形，所以|AB|＝|FF1|＝2c，故B正确；对于C，若k＝，由渐近线的性质可知>k＝，所以e＝>2，故C正确；对于D，若e＝＝2，则＝，由渐近线的性质可知＝kAF<＝，在△AFN中， ＝＝＝>，故D错误． 12．若双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则实数k的取值范围是____________． 解析：双曲线方程可化为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝.又因为e∈(1，2)，即1<<2，解得－12<k<0. 答案：(－12，0) 13．已知双曲线－y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2－|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为__________． 解析：由题意可得b＝1，c＝，因为e＝＝，所以a＝，c＝2，因为P为双曲线右支上一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又 |PF1|2－|PF2|2＝4，所以|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的周长为2＋2c＝2＋4. 答案：2＋4 14．(13分)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两个观测点晚4 s．已知各观测点到该中心的距离是1 020 m．求该巨响发生处和接报中心的距离．(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上) 解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系．设A，B，C分别是正西、正东、正北方向的观测点，则A(－1 020，0)，B(1 020，0)，C(0，1 020).设P(x，y)为巨响发生处．由已知|PA|＝|PC|，故点P在线段AC的垂直平分线PO上，则PO的方程为y＝－x，又B点比A点晚4 s听到巨响，故|PB|－|PA|＝340×4＝1 360<2 040，则P点在以A，B为焦点的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左支上．依题意，得a＝680，c＝1 020，所以b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝5×3402，故双曲线的方程为－＝1，将y＝－x代入上式，得x＝±680，因为|PB|＞|PA|，所以x＝－680，y＝680，即P(－680，680)，故|PO|＝680.故该巨响发生处和接报中心的距离为680 m． 15．(15分)如图，已知双曲线Г：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，左、右两顶点分别是A1，A2，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P. (1)若d＝(2，)是Г的一条渐近线的一个方向向量，试求Г的两渐近线的夹角θ的正切值；(7分) (2)若|PA|＝1，|PB|＝5，|PC|＝2，|PD|＝4，试求双曲线Г的方程．(8分) 解：(1)双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，所以＝＜1，从而tan ＝，tan θ＝＝4. (2)设P(xP，yP)，则由条件知，xP＝(|PB|－|PA|)＋|PA|＝(|PB|＋|PA|)＝3，yP＝(|PC|＋|PD|)－|PC|＝(|PD|－|PC|)＝1，即P(3，1)，所以A(2，1)，C(3，3)，代入双曲线方程得解得故双曲线Г的方程为－＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $