第2章 2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦双曲线的简单几何性质，通过发电厂冷却塔、声音时差定位等实际案例导入，类比椭圆研究方法搭建学习支架，帮助学生从椭圆性质迁移到双曲线性质的探究。 其亮点在于以类比推理构建知识体系，结合3D打印塔筒、青花瓷瓶颈部等实际问题培养数学眼光与建模能力，通过表格梳理性质、分层例题及跟踪训练强化数学思维与语言表达。学生能提升抽象与应用能力，教师可借助系统资源高效教学。

2．2　双曲线的简单几何性质 新课导入 学习目标 发电厂 冷却塔的外 形、通过声 音时差测定定位等都要用到双曲线的性质．本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关性质． 1.依据双曲线的方程、图象研究双曲线的几何性质．　2.依据几何条件求出双曲线的标准方程，并利用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．　3.掌握求双曲线离心率的方法．　4.会解决与渐近线有关的问题． 5．进一步熟悉求双曲线标准方程的方法． 返回导航 第1课时　双曲线的简单几何性质 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 5 返回导航 思考1　从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？ 思考2　双曲线的图象是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？ 提示：是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是x轴和y轴，对称中心是原点． 返回导航 [知识梳理] 1．双曲线的几何性质 返回导航 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c x≤－a或x≥a y≤－a或y≥a 坐标轴 原点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) A1A2 2a B1B2 2b a b (1，＋∞) 返回导航 返回导航 返回导航 (2)mx2－ny2＝－mn(m>0，n>0). 返回导航 感悟提升 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式； (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值； (3)由c2＝a2＋b2求出c的值； (4)写出双曲线的几何性质． 注意　求性质时一定要注意焦点的位置． 返回导航 D 返回导航 1 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 感悟提升 根据双曲线的几何性质求标准方程可按“先定位，再定形”的方法，但在这里要注意的是对双曲线几何性质的运用，如在定位方面，可能涉及双曲线的对称轴、对称中心的位置；在定形方面，要注意是否给出了离心率及渐近线方程．解题时，我们要充分利用这些几何性质． 返回导航 感悟提升 返回导航 A 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 C 返回导航 返回导航 感悟提升 双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程或几何性质的问题．特别要注意在实际意义下隐含着的变量范围． 返回导航 A 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 31 B 解析：由题意知，34－n2＝n2＋16，所以2n2＝18，n2＝9，所以n＝±3. 返回导航 ACD 返回导航 对于C，双曲线Γ的实轴长为2a＝4，C正确； 对于D，双曲线Γ的虚轴长为2b＝2，D正确．故选ACD． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 (3)过(3，－1)且实轴与虚轴长度相等． 返回导航 课堂小结 1．已学习：双曲线的几何性质． 2．须贯通：用待定系数法求双曲线方程． 3．应注意：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错． 返回导航 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图象 性质 焦点 _______________________ ________________________ 焦距 ______________ 范围 ______________，且y∈R ______________，且x∈R 对称性 对称轴：________；对称中心：______ 顶点 ________________________ ________________________ 轴 实轴：线段________，长：____；虚轴：线段________，长：____，实半轴长：___，虚半轴长：___ 离心率 e＝∈___________ 渐近线 ________ ________ y＝±x y＝±x x2－＝1 解：可设方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， 则将(3，－1)代入，有λ＝9－1＝8， 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. $