第2章 3.1 抛物线及其标准方程-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦高中数学抛物线及其标准方程核心知识点，从初中二次函数图象引入，类比圆、椭圆、双曲线研究方法，系统学习抛物线定义（平面内到定点与定直线距离相等的点的轨迹）及参数p的几何意义，推导四种开口方向的标准方程，形成“定义-方程-应用”的学习支架。 资料以喷泉、烟花等现实情境导入，通过思考问题引导学生抽象定义，例题分角度（由方程求焦点准线、由条件求方程）结合即时练巩固，培养数学眼光（观察现实）、数学思维（推理定义与方程），课中助教师高效授课，课后学生可通过练习题和总结查漏补缺，提升用数学语言表达问题的能力。

§3　抛物线 3．1　抛物线及其标准方程 新课导入 学习目标 美丽的喷泉、绽放的烟花等视觉盛宴来自条条抛物线，在初中我们已经学习过抛物线(二次函数的图象)，我们能否像学习圆、椭圆、双曲线那样对抛物线进行更深入的研究呢？ 1.结合教材实例掌握抛物线的定义．　2.掌握抛物线标准方程中参数p的几何意义，会求抛物线的标准方程．　3.通过抛物线概念的引入和抛物线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力． 知识点一　抛物线的定义 思考1　已学习过的哪些知识与抛物线有关？ 提示：在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，二次函数的图象是抛物线． 思考2　在二次函数中研究的抛物线有什么特征？ 提示：它的对称轴垂直于x轴，开口向上或向下． [知识梳理] 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线．定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线． [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．(　　) (2)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．(　　) (3)过焦点与准线垂直的直线一定与抛物线相交．(　　) (4)抛物线实质是双曲线的一支．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．若点M(x，y)满足＝，则动点M的轨迹是(　　) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 解析：选D．依题意，动点M到点(0，0)的距离等于其到定直线3x＋4y－1＝0的距离，且点(0，0)不在直线3x＋4y－1＝0上，因此动点M的轨迹是抛物线． 3．已知点M(2，1)，直线l：x－y－1＝0，若动点P到l的距离等于|PM|，则点P的轨迹是____________________． 解析：因为2－1－1＝0，可知M∈l，所以动点P的轨迹是过点M且垂直于直线l的一条直线． 答案：过点M且垂直于直线l的一条直线 对抛物线定义的理解 (1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线，不经过点F)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1). (2)在抛物线的定义中，要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 知识点二　抛物线的标准方程 思考　在抛物线的定义中，焦点与准线都已确定，类比求椭圆、双曲线的标准方程的过程，如何建立坐标系得到的抛物线方程才更简单？ 提示：以过焦点且垂直于准线的直线为一条坐标轴，以该坐标轴与抛物线的交点作为坐标原点，建立平面直角坐标系，得到的抛物线方程更简单． [知识梳理] 图象 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p＞0) x＝－ y2＝－2px(p＞0) x＝ x2＝2py(p＞0) y＝－ x2＝－2py(p＞0) y＝ 角度1　由标准方程求焦点与准线方程 [例1] (1)(多选)对抛物线y＝－8x2，下列描述正确的是(　　) A．开口向下，准线方程为y＝ B．开口向下，焦点为(0，－) C．开口向左，焦点为(－，0) D．开口向左，准线方程为x＝－ (2)抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为________；准线方程为________． 【解析】　(1)由题设，抛物线方程可化为x2＝－y，所以开口向下，焦点为(0，－)，准线方程为y＝.所以A，B正确，C，D错误． (2)当a≠0时，抛物线y2＝ax的焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－. 【答案】　(1)AB　(2)(，0)　x＝－ (1)抛物线的焦点所在轴(x轴、y轴)由标准方程中的一次项来确定，开口方向(向左、向右、向上、向下)由一次项系数的符号来确定，可简记为“焦点位置要看一次项，符号决定开口方向”． (2)抛物线y2＝ax与x2＝ay(a≠0)的焦点坐标分别为(，0)，(0，)，形式上不随a的正负而改变． 角度2　由待定系数法求抛物线方程 [例2] (对接教材例1)分别求适合下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为y＝； (2)经过点(3，1)； (3)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点． 【解】　(1)易知抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，故所求抛物线的标准方程为x2＝－y. (2)因为点(3，1)在第一象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝2py(p>0).若抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则由12＝2p×3，解得p＝，此时抛物线的标准方程为y2＝x；若抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，则由32＝2p×1，解得p＝.此时抛物线的标准方程为x2＝9y.故所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝9y. (3)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0).当焦点为(0，－3)时，＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4，0)时，＝4，所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 提醒　当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少分类讨论的情况． [跟踪训练1] (1)抛物线y＝x2的焦点坐标为(　　) A．(1，0) B．(0，1) C．(，0) D．(0，) 解析：选B．因为抛物线方程y＝x2化为标准形式为x2＝4y，所以p＝2，则焦点坐标为(0，1). (2)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________． 解析：由已知可得双曲线的焦点坐标为(－，0)，(，0)，设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝±4x. 答案：y2＝±4x 应用点　抛物线的定义和方程的应用 [例3] (1)设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，若点A(，2)在C上，则|AF|＝(　　) A． B． C． D． (2)若P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为________． 【解析】　(1)方法一：因为点A(，2)在C上，所以()2＝2p·2，得p＝，所以抛物线的准线方程为y＝－.由抛物线的定义知，|AF|等于点A到准线的距离，即|AF|＝2＋＝. 方法二：因为点A(，2)在C上，所以()2＝2p·2，得p＝，所以F(0，)，所以|AF|2＝()2＋()2＝2＋＝，所以|AF|＝. (2)由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离．由图可知，当点P，点(0，2)和抛物线的焦点F(，0)三点共线且点P在第一象限时，所求距离之和最小，所以最小值为 ＝. 【答案】　(1)C　(2) 母题探究　若将本例(2)中的点(0，2)改为点A(3，2)，其他条件不变，则|PA|＋|PF|的最小值为________． 解析：将x＝3代入y2＝2x，得y＝±，所以点A在抛物线内部． 因为P为抛物线上的一个动点，点P到准线(设为l)x＝－的距离为d，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是＋3＝.即|PA|＋|PF|的最小值是. 答案： 抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． [跟踪训练2] (1)(多选)(2026·驻马店月考)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，点M(x0，y0)在抛物线C上，若|MF|＝2，O为坐标原点，则(　　) A．x0＝ B．y0＝3 C．|OM|＝ D．F的坐标为(0，) 解析：选AC．对于A，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋＝2，所以x0＝，故A正确； 对于B，因为点M(x0，y0)在抛物线C上，所以y＝2×＝3，所以y0＝±，故B错误； 对于C，|OM|＝＝＝，故C正确； 对于D，由抛物线C：y2＝2x，可得F(，0)，故D错误． (2)(2026·桂林月考)设抛物线C：x2＝8y的焦点为F，A(4，5)，点B在抛物线C上，则△FAB周长的最小值为________． 解析：将x＝4代入x2＝8y得y＝2，所以点A在抛物线内部． 由△FAB周长为|AB|＋|BF|＋|AF|，作BD垂直于抛物线的准线于点D，所以|AB|＋|BF|＋|AF|＝|AB|＋|BD|＋|AF|，因为F(0，2)，A(4，5)，所以要使周长|AB|＋|BF|＋|AF|＝|AB|＋|BD|＋5的值最小，即|AB|＋|BD|的值最小，当且仅当A，B，D三点共线时，|AB|＋|BD|取最小值，为7，所以△FAB周长的最小值为12. 答案：12 1．若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a＝(　　) A． B．－ C．8 D．－8 解析：选B．抛物线y＝ax2化为标准方程x2＝y，所以准线方程是y＝－，所以－＝2，解得a＝－.故选B． 2．(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为(　　) A．y2＝x B．x2＝8y C．x2＝－8y D．y2＝－8x 解析：选AC．符合条件的抛物线标准方程有两种形式①y2＝2px(p>0)，代入点P(4，－2)可得方程为y2＝x，②x2＝－2py(p>0)，代入点P(4，－2)可得x2＝－8y.故选AC． 3．已知抛物线y2＝x，若其上一点P到A(3，－1)与到焦点距离之和为最小，则P点坐标为________． 解析：因为点A(3，－1)在抛物线内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过抛物线上一点P，作PQ⊥l于点Q，过A作AB⊥l于点B． |PA|＋|PF|＝|PA|＋|PQ|≥|AB|，故当且仅当P为线段AB与抛物线的交点时，|PA|＋|PF|的值最小． 此时点P坐标为P(x0，－1)，代入y2＝x，得x0＝1.故点P的坐标为(1，－1). 答案：(1，－1) 4．(教材P71T1改编)根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为y＝－，则抛物线的方程为________； (2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上，则抛物线的方程为________． 解析：(1)因为抛物线的准线方程为y＝－，则＝，可得p＝3，抛物线开口向上，所以抛物线的标准方程是x2＝6y. (2)当抛物线的焦点在x轴上时，因为直线l与x轴的交点为(2，0)，所以抛物线的焦点为F(2，0)，所以＝2，解得p＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝8x.当抛物线的焦点在y轴上时，因为直线l与y轴的交点为(0，－3)，所以抛物线的焦点为F(0，－3)，所以＝3，解得p＝6，所以抛物线的标准方程为x2＝－12y.综上所述，所求抛物线的标准方程为y2＝8x或x2＝－12y. 答案：(1)x2＝6y　(2)y2＝8x或x2＝－12y 1．已学习：抛物线的定义及标准方程、抛物线定义和方程的应用． 2．须贯通：应用抛物线的定义要抓住动点到定点与定直线(不过定点)的距离相等这一条件．利用待定系数法来求抛物线的标准方程，只需求出p的值，求最值问题常利用数形结合思想． 3．应注意：求抛物线的方程时不要混淆抛物线的焦点位置和方程形式． 学科网（北京）股份有限公司 $