2.3.1 抛物线及其标准方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学抛物线及其标准方程核心知识点，承接椭圆、双曲线等圆锥曲线学习脉络，通过实际操作引入抛物线定义，系统梳理标准方程的四种形式及焦点、准线关系，构建从具体情境到抽象概念再到应用的学习支架。 资料以三角尺画图实验创设情境培养直观想象，通过“想一想”“母题探究”深化定义理解发展数学抽象，题型分层设计及变式训练提升数学思维。课中助力教师引导学生主动探究，课后练习题与解析帮助学生巩固知识、查漏补缺。

3.1　抛物线及其标准方程 课标 要求 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（数学抽象）. 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程（直观想象）. 把一根直尺固定在图板上直线l的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长（即点A到直线l的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线. 【问题】　你能画出该曲线并说明该曲线具有哪些性质吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的　距离相等　的点的集合（或轨迹）叫作抛物线.这个定点F叫作抛物线的　焦点　，这条定直线l叫作抛物线的　准线　. 【想一想】 　在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？ 提示：不是. 知识点二　抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px （p＞0） x＝－ y2＝－2px （p＞0） x＝ 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 x2＝2py （p＞0） y＝－ x2＝－2py （p＞0） y＝ 提醒：四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）标准方程y2＝2px（p＞0）中的p的几何意义是焦点到准线的距离.（　√　） （2）平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.（　×　） （3）只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式.（　√　） （4）焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py（p＞0），也可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的.（　√　） 2.若动点P到定点F（－4，0）的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是（　　） A.抛物线 B.线段 C.直线 D.射线 解析：A　动点P的条件满足抛物线的定义.故选A. 3.抛物线x＝4y2的准线方程是（　　） A.y＝ B.y＝－1 C.x＝－ D.x＝ 解析：C　由x＝4y2得y2＝x，故准线方程为x＝－.故选C. 4.已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M（m，－2）到焦点的距离为4，则m＝　±4　. 解析：由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0）.由抛物线定义有2＋＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将（m，－2）代入上式，得m2＝16.∴m＝±4. 题型一　求抛物线的标准方程 角度1　直接法求抛物线的方程 求满足下列条件的抛物线标准方程： （1）焦点在y轴上，并且焦点到准线的距离等于6； （2）准线方程为x＝； （3）焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点. 解：（1）由已知得p＝6且焦点在y轴上，所以抛物线的标准方程是x2＝±12y. （2）由题意知＝，所以p＝，所以抛物线的标准方程是y2＝－x. （3）对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， 所以抛物线的焦点为（0，－3）或（4，0）. 当焦点为（0，－3）时，＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y； 当焦点为（4，0）时，＝4，所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x. 故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. 通性通法 　　在抛物线方程的类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程. 角度2　待定系数法求抛物线的方程 （1）顶点在原点，且过点（－4，4）的抛物线的标准方程是（　C　） A.y2＝－4x B.x2＝4y C.y2＝－4x或x2＝4y D.y2＝4x或x2＝－4y （2）焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线标准方程为　x2＝10y或x2＝－10y　. 解析：（1）设抛物线方程为y2＝－2p1x（p1＞0）或x2＝2p2y（p2＞0），把（－4，4）代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.故选C. （2）已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my（m≠0），由焦点到准线的距离为5，知｜m｜＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 通性通法 　　根据焦点所在的坐标轴，抛物线方程可统一为两类： （1）焦点在x轴上的抛物线的标准方程可以设为y2＝mx（m≠0），m＞0时焦点在x轴的正半轴上，m＜0时焦点在x轴的负半轴上； （2）焦点在y轴上的抛物线的标准方程可以设为x2＝my（m≠0），m＞0时焦点在y轴的正半轴上，m＜0时焦点在y轴的负半轴上. 1.已知抛物线的焦点坐标是（－1，0），则抛物线的标准方程是（　　） A.x2＝4y B.x2＝－4y C.y2＝4x D.y2＝－4x 解析：D　由题意知抛物线的焦点在x轴负半轴上，且＝1，得p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝－4x.故选D. 2.准线与直线x＝1的距离为3的抛物线的标准方程是　y2＝8x或y2＝－16x　. 解析：由准线平行于y轴，可设抛物线的方程为y2＝mx（m≠0）.当m＞0时，2p＝m，所以p＝，抛物线的准线方程为x＝－，依题意得1－＝3，所以m＝8，所以抛物线的方程为y2＝8x；当m＜0时，2p＝－m，所以p＝－，抛物线的准线方程为x＝－，依题意得＝3，所以m＝8或m＝－16，显然m＝8不合题意，所以m＝－16，所以抛物线的方程为y2＝－16x.综上，抛物线的标准方程为y2＝8x或y2＝－16x. 题型二　抛物线定义的应用 角度1　两种距离的转化 （1）抛物线x2＝4y上的点P到焦点的距离是10，则P点的坐标为（　　） A.（6，9） B.（－4，4） C.（±6，9） D.（±4，4） （1）解析：C　设点P（x0，y0），由抛物线方程x2＝4y，知焦点坐标为（0，1），准线方程为y＝－1.由抛物线的定义，得｜PF｜＝y0＋1＝10，所以y0＝9，代入抛物线方程得x0＝±6.所以P点坐标为（±6，9）. （2）若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程. （2）解：由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大， 所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等. 由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线（不包含原点）， 其方程应为y2＝2px（p＞0）的形式， 而＝，所以p＝1，2p＝2， 故点M的轨迹方程为y2＝2x（x≠0）. 【母题探究】 　（变设问）若本例（2）中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标. 解：设点N的坐标为（x0，y0），则｜NF｜＝2.又点M的轨迹方程为y2＝2x（x≠0），所以由抛物线的定义得x0＋＝2，解得x0＝.因为＝2x0，所以y0＝±，故点N的坐标为或. 通性通法 　　根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点、点距离与点、线距离的相互转化，从而简化某些问题. 角度2　最值问题 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值. 解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知， 当点P，点（0，2）和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小， 所以最小距离d＝ ＝. 【母题探究】 1.（变条件）若将本例中的点（0，2）改为点A（3，2），求｜PA｜＋｜PF｜的最小值. 解：将x＝3代入y2＝2x，得y＝±. 所以点A在抛物线内部. 设点P为其上一点，点P到准线x＝－的距离为d， 则｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋d. 由图可知，当PA⊥l时，｜PA｜＋d最小，最小值是. 即｜PA｜＋｜PF｜的最小值是. 2.（变条件）若将本例中的点（0，2）换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值. 解：如图，作PQ垂直于准线l于点Q， ｜PA1｜＋｜PQ｜＝｜PA1｜＋｜PF｜≥. ｜A1F｜的最小值为点F到直线3x－4y＋＝0的距离，d＝＝1.即所求最小值为1. 通性通法 利用抛物线定义研究最值的一般思路 （1）若点M在抛物线的内部，过点M作准线的垂线，该垂线与抛物线的交点到抛物线焦点F和到已知点M的距离最小； （2）若点M在抛物线的外部，连接MF，则MF与抛物线的交点P可使｜PF｜＋｜PM｜的值最小. 1.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，｜AF｜＝x0，则x0＝（　　） A.1 B.2 C.4 D.8 解析：A　∵＋x0＝x0，∴x0＝1. 2.已知点P是抛物线C：x2＝12y上的一点，过点P作直线y＝－1的垂线，垂足为M，若G（4，0），则｜PG｜＋｜PM｜的最小值为　3　. 解析：由抛物线C：x2＝12y可知其焦点坐标为（0，3），准线方程为y＝－3，记抛物线C的焦点为F（0，3），所以｜PG｜＋｜PM｜＝｜PG｜＋｜PF｜－2≥｜FG｜－2＝－2＝3，当且仅当点P为线段FG与抛物线的交点时等号成立，所以｜PG｜＋｜PM｜的最小值为3. 1.已知动点M的坐标满足方程5＝｜3x＋4y－12｜，则动点M的轨迹是（　　） A.椭圆　　　　　　　　B.双曲线 C.抛物线 D.圆 解析：C　方程5＝｜3x＋4y－12｜可化为＝.它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，由抛物线的定义，可知动点M的轨迹是抛物线. 2.已知抛物线y＝2px2过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为（　　） A.（1，0） B. C. D.（0，1） 解析：C　由抛物线y＝2px2过点（1，4），可得p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝y，则焦点坐标为，故选C. 3.已知抛物线的焦点在x轴的负半轴上，若p＝2，则其标准方程为（　　） A.y2＝－2x B.x2＝－2y C.y2＝－4x D.x2＝－4y 解析：C　因为抛物线的焦点在x轴的负半轴上，所以设抛物线的标准方程为y2＝－2px.又因为p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝－4x.故选C. 4.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝8x上一点A到焦点F的距离为6.若点P为抛物线C的准线上的动点，则｜PO｜＋｜PA｜的最小值为（　　） A.4 B.4 C.4 D.6 解析：C　抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，因为｜AF｜＝6，所以点A到准线的距离为6，即点A的横坐标为4，不妨设点A在第一象限，则点A的坐标为（4，4）.因为坐标原点O关于准线的对称点B的坐标为（－4，0），所以｜PO｜＝｜PB｜，所以｜PO｜＋｜PA｜的最小值为｜AB｜＝＝4. 5.若抛物线y2＝－2px（p＞0）上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为　（－9，6）或（－9，－6）　. 解析：由抛物线方程y2＝－2px（p＞0），得其焦点坐标为F，准线方程为x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝｜MF｜＝10，即－（－9）＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.由点M（－9，y）在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为（－9，6）或（－9，－6）. 1.抛物线y＝－x2的准线方程为（　　） A.x＝　　　　　　　　　B.x＝1 C.y＝1 D.y＝2 解析：C　抛物线的标准方程为x2＝－4y，则准线方程为y＝1. 2.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线经过点（－1，1），则该抛物线焦点坐标为（　　） A.（－1，0） B.（1，0） C.（0，－1） D.（0，1） 解析：B　抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－，由题设知－＝－1，即p＝2，故焦点坐标为.故选B. 3.抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝（　　） A.1 B.2 C.2 D.4 解析：B　抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为，它到直线y＝x＋1的距离为d＝＝，解得p＝2或p＝－6（舍去），故选B. 4.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线（　　） A.经过点O B.经过点P C.平行于直线OP D.垂直于直线OP 解析：B　连接PF，由题意及抛物线的定义可知｜PQ｜＝｜FP｜，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B. 5.已知抛物线y2＝16x的焦点为F，点P在抛物线上，点Q在圆C：（x－6）2＋（y－2）2＝4上，则｜PQ｜＋｜PF｜的最小值为（　　） A.4 B.6 C.8 D.10 解析：C　如图，过点P向准线作垂线，垂足为A，则｜PF｜＝｜PA｜，当CP垂直于抛物线的准线时，｜CP｜＋｜PA｜最小，此时线段CP与圆C的交点为Q，因为准线方程为x＝－4，C（6，2），圆C半径为2，所以｜PQ｜＋｜PF｜的最小值为｜AQ｜＝｜CA｜－2＝10－2＝8.故选C. 6.〔多选〕已知F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上的一点，｜AF｜＝2，则下列说法正确的是（　　） A.焦点F（1，0） B.准线方程为y＝－1 C.点A（1，2）或A（1，－2） D.焦点到准线的距离为4 解析：AC　由y2＝4x可知2p＝4，即p＝2，所以抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x＝－1，故A正确，B错误；由抛物线定义可知｜AF｜＝xA－（－1）＝2，即xA＝1，代入抛物线方程可得＝4，即yA＝±2，所以点A（1，2）或A（1，－2），故C正确；由抛物线方程可知，焦点到准线的距离为p＝2，故D错误，故选A、C. 7.已知双曲线－y2＝1的右焦点恰好是抛物线y2＝8x的焦点，则m＝　3　. 解析：由题意得m＋1＝22，解得m＝3. 8.在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是　（－6，6）或（－6，－6）　. 解析：由方程y2＝－12x，知焦点F（－3，0），准线l：x＝3.设所求点为P（x，y），则由定义知｜PF｜＝3－x.又｜PF｜＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6.所以所求点的坐标为（－6，6）或（－6，－6）. 9.平面上一动点P到定点F（1，0）的距离比点P到y轴的距离大1，则动点P的轨迹方程为　y2＝4x（x≥0）或y＝0（x＜0）　. 解析：由题意，动点P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，由于点F（1，0）到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点符合题意；当x≥0时，题中条件等价于点P到点F（1，0）与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x（x≥0）或y＝0（x＜0）. 10.根据下列条件分别求抛物线的标准方程： （1）抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点； （2）抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，｜AF｜＝5. 解：（1）双曲线方程可化为－＝1，左顶点为（－3，0）， 由题意设抛物线方程为y2＝－2px（p＞0）且＝－3， ∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x. （2）设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px（p≠0），A（m，－3）， 由抛物线定义得5＝｜AF｜＝｜m＋｜. 又（－3）2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9， 故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x. 11.已知M是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，过M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，若∠MFO＝120°（O为坐标原点），△MNF的周长为12，则｜NF｜＝（　　） A.4 B. C.3 D.5 解析：A　因为∠MFO＝120°，所以∠FMN＝60°.又M是抛物线C上一点，所以｜FM｜＝｜MN｜，则△FMN是等边三角形.又△FMN的周长为12，所以｜NF｜＝＝4，故选A. 12.〔多选〕设抛物线y2＝4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是（　　） A.抛物线的准线方程是x＝－1 B.当PF⊥x轴时，｜PF｜取最小值 C.若A（2，3），则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为 D.以线段PF为直径的圆与y轴相切 解析：ACD　对于A，抛物线的准线方程为x＝－＝－1，故A正确； 对于B，设P（x0，y0），则x0≥0，＝4x0，F（1，0），则｜PF｜＝＝x0＋1≥1，当x0＝0时取得最小值，此时P（0，0）在原点，故B错误；对于C，A在抛物线外部，故当P，A，F三点共线时｜PA｜＋｜PF｜取得最小值，为｜AF｜＝＝，故C正确； 对于D，过点P作准线的垂线，垂足为Q，设P（m，n），线段PF的中点为B（x1，y1），可得x1＝（1＋m），由抛物线的定义，得｜PF｜＝｜PQ｜＝m＋1，∴x1＝｜PF｜，即点B到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径，因此，以PF为直径的圆与y轴相切，故D正确.故选A、C、D. 13.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么｜PF｜＝　8　. 解析：如图，设准线l与x轴交于点E，∠AFE＝60°，因为F（2，0），所以E（－2，0），则＝tan 60°，即｜AE｜＝4，所以点P的坐标为（6，4），故｜PF｜＝｜PA｜＝6＋2＝8. 14.已知抛物线y2＝4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a＋4，0）为圆心，｜BA｜为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同两点M，N，点P为线段MN的中点. （1）求｜AM｜＋｜AN｜的值； （2）是否存在这样的a，使2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）设M（xM，yM），N（xN，yN），由抛物线的定义，得｜AM｜＋｜AN｜＝xM＋xN＋2a. 又圆的方程为[x－（a＋4）]2＋y2＝16， 将y2＝4ax代入，得x2－2（4－a）x＋a2＋8a＝0， ∴xM＋xN＝2（4－a），∴｜AM｜＋｜AN｜＝8. （2）不存在.理由如下： 假设存在这样的a，使得2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜.过点P作PP'垂直抛物线的准线，垂足为P'（图略）. ∵｜AM｜＋｜AN｜＝2｜PP'｜，∴｜AP｜＝｜PP'｜. 由抛物线的定义知点P必在抛物线上， 这与点P是线段MN的中点矛盾， ∴这样的a不存在. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $