第2章 2.2 第2课时 双曲线方程及性质的应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦高中数学双曲线方程及性质的应用，系统梳理双曲线系构建（共渐近线、共焦点等类型）、离心率求解（直接法、齐次式法）、渐近线推导等核心知识点，搭建从双曲线基本性质到实际应用的学习支架。 资料以例题解析为载体，通过方法总结提炼通法，如例2结合渐近线与直线垂直关系推导离心率，培养数学思维中的推理能力与运算能力。跟踪训练与练习题设计层次分明，助力学生用数学语言表达几何关系，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生巩固方法、查漏补缺。

第2课时　双曲线方程及性质的应用 应用点一　双曲线系 [例1] 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1，2)； (2)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)； (3)过点(2，0)，与双曲线－＝1的离心率相等； (4)与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为. 【解】　(1)由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1，2)的坐标代入方程，解得λ＝－32.因此所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).由点M(3，－2)在双曲线上得－＝λ，得λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为－＝1. (3)易知所求双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线方程为－＝λ(λ>0)，将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1. (4)因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(16<λ<25).因为e＝，所以＝－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为－＝1. (1)渐近线为y＝±x的双曲线方程为－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0). (2)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线系方程为－＝λ(λ≠0). (3)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有公共焦点的双曲线系方程为－＝1(a＞0，b＞0，－a2＜λ＜b2). (4)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2<λ<a2). (5)等轴双曲线方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0). [跟踪训练1] (1)下列有关双曲线－＝1与－＝1的说法正确的是(　　) A．有公共顶点 B．有公共渐近线 C．有公共焦点 D．离心率相等 解析：选B．因为两个双曲线的渐近线均为y＝±x，故B正确；前者的顶点和焦点在x轴上，后者的顶点和焦点在y轴上，故A，C不正确；前者离心率为，后者离心率为，故D不正确． (2)与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．y2－＝1 解析：选A．设所求双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)，因为双曲线过点(2，2)，所以4－＝λ，即λ＝3，所以所求双曲线的标准方程是－＝1. 应用点二　求双曲线的离心率 [例2] (1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线4x＋y＋7＝0垂直，则C的离心率为(　　) A．3 B． C． D． (2)已知点F，A分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点和右顶点，过点F作垂直于x轴的直线l，交双曲线于M，N两点，若AM⊥AN，则双曲线的离心率为________． 【解析】　(1)依题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x，又因为直线4x＋y＋7＝0的斜率为－4，所以＝，则双曲线C的离心率e＝＝＝＝. (2)设F(－c，0)，将x＝－c代入－＝1，得y＝±，所以M(－c，－)，N(－c，)，因为A(a，0)，且AM⊥AN，由双曲线的对称性可知|AM|＝|AN|，|MF|＝|NF|，所以|MF|＝|AF|，即＝a＋c，即b2＝a2＋ac，所以c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0，因为e>1，所以e＝2，所以双曲线的离心率为2. 【答案】　(1)D　(2)2 求双曲线离心率及其范围的常用方法 (1)求双曲线离心率通常有两种方法： ①直接法：若可求得a，c或a，b，则直接利用e＝或e＝求解． ②齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解，此时要注意e＞1的条件． (2)求双曲线离心率的范围，关键是能根据题设中的显性条件或隐性条件构建关于a，b，c的齐次不等式． [跟踪训练2] (1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在C上存在点P(不是顶点)，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则C的离心率的取值范围是(　　) A．(，2) B．(，＋∞) C．(1，] D．(1，] 解析：选A． 设PF1与y轴交于Q点，连接QF2，则|QF1|＝|QF2|，所以∠QF1F2＝∠QF2F1.因为∠PF2F1＝3∠PF1F2，故P点在双曲线的右支上，且∠PF2Q＝∠PQF2＝2∠PF1F2，故|PQ|＝|PF2|，而|PF1|－|PF2|＝2a，故|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PQ|＝|QF1|＝2a，在Rt△QOF1中，|QF1|>|OF1|，即2a>c，故e＝<2，由∠PF2F1＝3∠PF1F2，且三角形内角和为180°，故∠PF1F2<＝45°，则cos ∠PF1F2＝>cos 45°，即>，即e＝>， 所以C的离心率的取值范围是(，2).故选A． (2)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过点F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则双曲线C的离心率为___________________________________． 解析：如图所示， 设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，因为焦点F2到渐近线的距离为|PF2|＝＝b，所以|OP|＝a， 所以|PF1|＝a，因为cos ∠POF1 ＝－cos ∠POF2，所以＝－，解得c2＝2a2，即e＝. 答案： 应用点三　求双曲线的渐近线 [例3] (1)已知中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x (2)已知F1(－c，0)，F2(c，0)为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，点P为C虚轴的一个端点，∠F1PF2＝120°，则C的渐近线方程为________________． 【解析】　(1)由题意可得e＝＝，则＝＝＝＝，又双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x. (2)由题意知|OP|＝b，|OF1|＝c，而∠F1PF2＝120°，结合双曲线的对称性可知△PF1F2为等腰三角形，则∠PF1F2＝30°，故tan ∠PF1F2＝＝，结合c2＝a2＋b2可得a2＝2b2， 故C的渐近线方程为y＝±x＝±x. 【答案】　(1)A　(2)y＝±x 求双曲线渐近线的方法 (1)求双曲线的渐近线方程的基本步骤 ①利用条件求出a与b的值或建立a与b的等量关系； ②确定双曲线焦点的位置； ③写出双曲线的渐近线方程；当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线方程为y＝±x；当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线方程为y＝±x. (2)已知双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，可由－＝0得到双曲线的渐近线方程为y＝±x. [跟踪训练3] (1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则渐近线方程是(　　) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 解析：选D．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，由题可知＝2，所以＝＝＝＝，所以＝＝，所以渐近线方程为y＝±x.故选D． (2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，过点F1的直线l与圆C：(x－c)2＋y2＝相切，与双曲线在第四象限交于一点M，且有MF2⊥x轴，则双曲线的渐近线方程为____________． 解析：如图所示，不妨设直线l与圆C相切于点A，所以CA⊥F1M，所以tan ∠CF1A＝＝，因为|CA|＝，|CF1|＝，|AF1|＝＝c，|F1F2|＝2c，所以|MF2|＝c，M(c，－c)，将M(c，－c)的坐标代入－＝1，可得－＝1，所以－＝1，所以a＝b，所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x. 答案：y＝±x 1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x－y＝0，则双曲线C的离心率为(　　) A．2 B． C． D． 解析：选D．依题意，双曲线的一条渐近线方程为2x－y＝0，y＝2x，所以＝2，e＝＝＝＝＝.故选D． 2．(多选)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F关于其一条渐近线的对称点P在双曲线上，且直线PF与圆x2＋y2＝3相切，则下列结论中正确的是(　　) A．C的实轴长为2 B．C的虚轴长为2 C．C的渐近线方程为y＝±2x D．C的离心率为2 解析：选AC．设F(c，0)，渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，PF与渐近线的交点为M，则F到渐近线的距离|FM|＝＝b， 又|OF|＝c，所以|OM|＝a，又直线PF与圆x2＋y2＝3相切，所以|OM|＝a＝，设另外一个焦点为F′，则|PF|＝2|FM|＝2b，|PF′|＝2|OM|＝2a＝2， 又|PF|－|PF′|＝2a，所以2b－2＝2，所以b＝2，又a＝，所以c＝，双曲线C的实轴长为2a＝2，虚轴长为2b＝4，A正确，B错误； 渐近线方程为y＝±x＝±2x，离心率为＝＝，C正确，D错误． 3．渐近线方程为y＝±x且经过点(4，1)的双曲线标准方程为___________________________________________________. 解析：设渐近线方程为y＝±x且经过点(4，1)的双曲线的方程为 －y2＝λ(λ≠0)，将点(4，1)的坐标代入双曲线的方程可得λ＝－12＝3，所以，所求双曲线的方程为－y2＝3，其标准方程为－＝1. 答案：－＝1 4．已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在E的左支上，过点M作E的一条渐近线的垂线，垂足为N，则当|MF2|＋|MN|取最小值12时，双曲线的渐近线方程为________． 解析： 由题意得|MF2|－|MF1|＝2a， 故|MF2|＝|MF1|＋2a，如图所示， 则|MF2|＋|MN|＝|MF1|＋2a＋|MN|≥|F1N|＋2a，当且仅当M，F1，N三点共线时等号成立，而F1(－c，0)到渐近线bx＋ay＝0的距离|F1N|＝＝b，所以|MF2|＋|MN|的最小值为b＋2a＝12，所以12≥2，即ab≤18，当且仅当b＝6，a＝3时，等号成立，此时双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x. 答案：y＝±2x 1．已学习：双曲线的离心率与渐近线方程的求法． 2．须贯通：灵活求解曲线的离心率与渐近线方程． 3．应注意：设双曲线方程未考虑到参数的取值范围致错． 学科网（北京）股份有限公司 $