第2章 3.2 第2课时 抛物线方程及性质的应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦抛物线方程及性质的应用，核心知识点包括焦半径、焦点弦、通径、轨迹问题及实际应用。课堂导入通过知识梳理回顾抛物线定义，结合例题探究性质应用，构建从定义到性质再到实际问题的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察探照灯、拱桥等现实问题，通过例题解析和轨迹问题培养数学思维，用方程模型等数学语言表达。采用例题-跟踪训练-实际应用的教学方法，帮助学生提升应用意识，教师可高效开展教学。

第2课时　抛物线方程 及性质的应用 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 3 知识点一　焦半径和焦点弦、通径 [知识梳理] 1．抛物线的焦半径 返回导航 返回导航 [例1](1)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB的中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为(　　) A．6 B．9 C．12 D．14 【解析】　如图所示，过点A，M，B分别作准线x＝－1的 垂线，垂足分别为C，M′，D，由抛物线的定义， 得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，因为点M为AB的中点， 且|MM′|＝6，所以|AC|＋|BD|＝12， 即|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝12. C 返回导航 (2)已知过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且垂直于x轴的直线与C在第一象限内交于点A，点B(－3，0)，若|FB|＝|AF|＋1，则p＝____________． 4 返回导航 感悟提升 求抛物线的焦半径和焦点弦、通径，除了需要把抛物线的方程化为标准形式外，还需要结合抛物线的定义求解． 返回导航 C 返回导航 (2)若过抛物线y＝2x2的焦点作垂直于y轴的垂线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝__________________________. 返回导航 B 返回导航 返回导航 y2＝4x 返回导航 感悟提升 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程． (2)定义法：利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线，再根据抛物线的性质写出方程． (3)相关点法：利用两个动点间的关系求动点的轨迹方程． 返回导航 [跟踪训练2] (1)已知A，B两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程为(　　) A．y＝－x2＋1(x≠±1) B．y＝x2＋1(x≠±1) C．x＝－y2＋1(y≠±1) D．x＝y2＋1(y≠±1) A 返回导航 (2)已知点A(2，0)，B(1，4)，M，N是y轴上的动点，且满足|MN|＝4，△AMN的外心P在y轴上的投影为Q，则点P的轨迹方程为_____________，|PQ|＋|PB|的最小值为________． y2＝4x　 3 返回导航 由抛物线的定义可知|PF|＝|PQ|＋1，因为|PF|＋|PB|≥|BF|＝4，所以|PF|＋|PB|＝|PQ|＋1＋|PB|≥4， 即|PQ|＋|PB|≥3，当点P在线段BF上时等号成立． 返回导航 应用点　抛物线的实际应用问题 [例3] 如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转 而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光 线经过反射之后平行射出．已知灯口圆的直径为60 cm，灯 的深度为40 cm. (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点．光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ 返回导航 返回导航 (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66 cm，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． 返回导航 感悟提升 解决抛物线实际应用问题的五个步骤 返回导航 [跟踪训练3] 某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货的木船露在水面上的部分为0.75 m，货物的宽度与木船相同，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？ 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 24 C 返回导航 2．已知抛物线C的焦点在x轴的正半轴上，顶点为坐标原点，若抛物线上一点M(2，m)满足|MF|＝6，则抛物线C的方程为(　　) A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝16x D 返回导航 3．已知点P是抛物线y2＝16x上的动点，过P向x轴作垂线段，垂足为M，记垂线段PM的中点为Q.则点Q的轨迹方程为________． 解析：设Q的坐标为(x，y)，则P的坐标为(x，2y)，又点P在抛物线y2＝16x上，故(2y)2＝16x，即y2＝4x. y2＝4x 返回导航 4．已知点P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到点A(0，－1)的距离与到直线x＝－1的距离之和的最小值是____________． 返回导航 5．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．则水位下降1 m后，水面宽为________m. 返回导航 课堂小结 1．已学习：与抛物线有关的轨迹问题和最值问题、抛物线的实际应用． 2．须贯通：灵活求解抛物线的轨迹问题和最值问题． 3．应注意：用定义法求轨迹未考虑变量的取值范围而致错． 返回导航 定义 以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段 焦半径公式 P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点． ①若抛物线y2＝2px(p>0)，则|PF|＝x0＋； ②若抛物线y2＝－2px(p>0)，则|PF|＝－x0； ③若抛物线x2＝2py(p>0)，则|PF|＝y0＋； ④若抛物线x2＝－2py(p>0)，则|PF|＝－y0 2 $