第2章 2.1 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦双曲线核心知识点，系统梳理从方程参数范围判断、定义应用到焦点三角形、与圆/椭圆综合及实际轨迹问题的脉络，构建基础概念到综合应用的学习支架。 资料设计层次分明，通过实际情境题（如苗圃运输）培养应用意识，结合定义深化题（如焦点距离差）发展逻辑推理，助力教师分层教学，课后可帮助学生查漏补缺，强化数学思维与表达能力。

1．若方程＋＝1表示的图形是双曲线，则实数m的取值范围是(　　) A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5 解析：选D．由题意，(m－5)(m＋4)<0，解得－4<m<5.故选D． 2．已知点F1(－4，0)，F2(4，0)，曲线上的动点P到F1，F2的距离之差为6，则曲线方程为(　　) A．－＝1(x≥3) B．－＝1 C．－＝1(y≥3) D．－＝1 解析：选A．由题意可得|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|＝8，由双曲线定义可知，所求曲线为双曲线的右支，且2a＝6，2c＝8，即a＝3，c＝4，所以b2＝c2－a2＝16－9＝7.又因为焦点在x轴上，所以曲线方程为－＝1(x≥3). 3．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝，则|PF2|＝(　　) A．或 B． C． D． 解析：选B．因为双曲线方程为－＝1，所以a＝3，b＝4，c＝5， 又|PF1|＝， 当点P在双曲线E左支上时，|PF2|－|PF1|＝6，则|PF2|＝＞c＋a＝8，符合题意； 当点P在双曲线E右支上时，|PF1|－|PF2|＝6， 则|PF2|＝<c－a＝2，不合题意，舍去． 4．已知双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，若△ABF1的周长为12，则|AB|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选A．由题意可得a2＝4，故2a＝4， △ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝12， 由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝|BF1|－|BF2|＝4， 所以|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|－|AF2|＋|BF1|－|BF2|＋2|AB|＝4＋4＋2|AB|＝12， 所以|AB|＝2. 5．已知椭圆＋y2＝1(m>1)和双曲线－y2＝1(n>0)有相同的焦点F1，F2，点P是它们的一个公共点，则△F1PF2的形状是(　　) A．锐角三角形(非等边) B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 解析：选B．因为椭圆＋y2＝1(m>1)和双曲线－y2＝1(n>0)有相同的焦点， 所以m－1＝n＋1，得m＝n＋2， 根据椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2，根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2， 所以(|PF1|＋|PF2|)2＋(|PF1|－|PF2|)2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)＝4(m＋n)＝8(n＋1)， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝4(n＋1)＝|F1F2|2，所以△F1PF2的形状是直角三角形． 6．(多选)(2026·昆明期中)已知曲线C的方程为＋＝1(m≠0，m≠2)，则(　　) A．若曲线C是圆，则m＝1 B．若曲线C是椭圆，则0<m<2 C．若曲线C是双曲线，则m>2 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则m<0 解析：选AD．对于A，若曲线C是圆，则有m＝2－m>0，则m＝1，A正确； 对于B，若曲线C是椭圆，则有则0<m<2且m≠1，B错误； 对于C，若曲线C是双曲线，则有m(2－m)<0，则m<0或m>2，C错误； 对于D，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则则m<0，D正确． 7．已知双曲线C：2x2－y2＝2，则双曲线C的焦距是________． 解析：已知双曲线C：2x2－y2＝2，即C：x2－＝1，则a＝1，b＝，c＝＝.所以双曲线C的焦距为2c＝2. 答案：2 8．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________． 解析：因为PF1⊥PF2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(2)2＝8， 又||PF1|－|PF2||＝2， 所以(|PF1|－|PF2|)2＝4， 可得2|PF1|·|PF2|＝4， 则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12， 所以|PF1|＋|PF2|＝2. 答案：2 9．若点P是双曲线－＝1右支上的一点，点M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________． 解析：因为－＝1，所以a2＝9，b2＝16，则c2＝25，故双曲线的两个焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，F1(－5，0)，F2(5，0)也分别是两个圆的圆心，两圆的半径分别为r1＝2，r2＝1， 所以|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1， 则(|PM|－|PN|)max＝|PM|max－|PN|min＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1) ＝|PF1|－|PF2|＋3＝2×3＋3＝9， 即|PM|－|PN|的最大值为9. 答案：9 10．(13分)求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)c＝5，b＝3，焦点在x轴上；(4分) (2)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；(4分) (3)过两点P(3，)，Q(－，5).(5分) 解：(1)由c＝5，b＝3，得a2＝c2－b2＝16，又双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)由双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 由a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，得解得 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. (3)设所求双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)， 由点P(3，)，Q(－，5)在双曲线上，得解得 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 11．已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，点P在该双曲线上，若|PF1|＝11 ，则|PF2|＝(　　) A．1或21 B．14或36 C．2 D．21 解析：选D．由双曲线方程－＝1得a＝5，b＝2，c＝7 ，由双曲线的定义得，||PF1|－|PF2||＝2a＝10，又|PF1|＝11，解得|PF2|＝1或|PF2|＝21.又点P在该双曲线上时要满足|PF2|≥c＋a＝12或者|PF2|≥c－a＝2.所以|PF2|＝21.故选D． 12．(多选)设F1，F2分别是双曲线C：－＝1的两个焦点，且|F1F2|＝8，则下列结论一定错误的是(　　) A．t＝8 B．t的取值范围是(－8，8) C．s＝－8 D．s的取值范围是(－8，8) 解析：选AD．因为|F1F2|＝2c＝8，所以c＝4.当双曲线的焦点在x轴上时，由a2＝s＋t，b2＝s－t，可得c2＝s＋t＋s－t＝2s＝16，解得s＝8，又得t的取值范围是(－8，8)；当双曲线的焦点在y轴上时，由a2＝t－s，b2＝－s－t，可得c2＝(t－s)＋(－s－t)＝－2s＝16，解得s＝－8，又得t的取值范围是(－8，8)，所以B正确，C可能正确，A，D错误． 13．已知动圆C与圆C1：(x－3)2＋y2＝4，圆C2：(x＋3)2＋y2＝4中的一个外切、一个内切，则动圆圆心C的轨迹方程为______________． 解析：设动圆圆心C的坐标为(x，y)，半径为r，由圆C1：(x－3)2＋y2＝4，可得圆心C1(3，0)，半径r1＝2，由圆C2：(x＋3)2＋y2＝4，可得圆心C2(－3，0)，半径r2＝2.根据题意，可得或所以|CC1|－|CC2|＝4或|CC1|－|CC2|＝－4，可得||CC1|－|CC2||＝4，又因为|C1C2|＝6，所以||CC1|－|CC2||＝4<|C1C2|＝6，根据双曲线的定义，可得点C的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，且2a＝4，2c＝6，所以a＝2，c＝3，则b＝＝，所以所求曲线的轨迹方程为－＝1. 答案：－＝1 14．(15分)(2026·贵州期中)已知动点M(x，y)与定点F2(3，0)的距离和它到定直线l：x＝2的距离之比为，且M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程；(3分) (2)已知第一象限内的动点P在C上，点F1(－3，0). (i)若点A(1，)，求|PF1|＋|PA|的最小值；(6分) (ii)若PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．(6分) 解：(1)因为动点M(x，y)与定点F2(3，0)的距离和它到定直线l：x＝2的距离之比为，所以＝|x－2|， 将上式两边平方，化简得x2－2y2＝6， 所以C的方程为－＝1. (2)(i)由(1)可知F1，F2分别是C的左、右焦点，a＝，c＝3，因为第一象限内的点P在C上，所以|PF1|－|PF2|＝2， 则|PF1|＝|PF2|＋2，又A(1，)， 所以|AF2|＝＝， 所以|PF1|＋|PA|＝|PF2|＋|PA|＋2≥|AF2|＋2＝＋2＝3， 当且仅当P在AF2与双曲线在第一象限的交点时取等号， 所以|PF1|＋|PA|的最小值为3. (ii)由题意得 将①左右两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝24， 结合②得|PF1||PF2|＝6，所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝3. 15．(15分)某苗圃有两个入口A，B，|AB|＝100，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有150株树苗放在P处，已知|PA|＝80，|PB|＝88，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系．计划将树苗种在以(－7，1)，(7，1)，(－7，10)，(7，10)为顶点的矩形内呈15列10行等距排列． (1)种在点C(4，5)处的树苗应通过哪个入口运输路程较短？(5分) (2)能否在苗圃内确定一条界线，使得从A，B两入口运输的路程一样？若能，求出这条界线；若不能，说明理由；(5分) (3)有多少株树苗沿PB运输较近？(5分) (参考数据：≈54.23，≈46.27) 解：(1)由题可知，|AB|＝100，|PA|＝80，|PB|＝88， 所以A(－50，0)，B(50，0)，C(4，5). 则|PA|＋|AC|＝80＋≈134.23，|PB|＋|BC|＝88＋≈134.27. 因为|PA|＋|AC|<|PB|＋|BC|， 所以应通过A入口运输路程较短． (2)存在这样一条界线，使得从A，B两入口运输的路程一样． 设点M(x，y)在该界线上，则|PA|＋|AM|＝|PB|＋|BM|，整理得|AM|－|BM|＝|PB|－|PA|＝8， 根据双曲线的定义可知，这条界线是以A，B为焦点的双曲线的右支． 则2a＝8，即a＝4，又因为c＝50， 则b2＝c2－a2＝2 500－16＝2 484， 所以该界线的方程为－＝1(x>4且1≤y≤10). (3)由题可知，沿PB运输较近的树苗需种植在(2)中所求界线的右侧．判断点(5，10)与界线的位置关系，－>1，在界线的右侧，所以种植在x＝5，6，7列的树苗均符合题意，所以一共有30株树苗沿PB运输较近． 学科网（北京）股份有限公司 $