第2章 1.1 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦椭圆的定义、标准方程及性质，从椭圆定义（动点到两焦点距离之和为2a）出发，衔接标准方程（焦点位置与a,b,c关系），再到焦距计算、焦点三角形、轨迹方程等应用，构建从概念到性质再到应用的学习支架。 资料特色为梯度设计与素养融合，基础题巩固定义与方程（如第2题用定义求轨迹），中档题提升推理与运算（如第6题分类讨论焦点三角形面积），综合题结合圆与折叠问题（如第15题）。通过真题情境培养数学眼光，逻辑推理发展数学思维，规范解答强化数学语言，课中辅助教学检测，课后助力查漏补缺。

1．椭圆＋y2＝1的焦距是(　　) A． B．2 C．2 D．4 答案：B 2．(2026·沙坪坝期中)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点P(x，y)满足|PA|＋|PB|＝6，则动点P的轨迹方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选A．由题意可知|PA|＋|PB|＝6>|AB|＝4，所以动点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且a＝3，c＝2，则b＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 3．(2026·景德镇期中)“m∈(－3，5)”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．“方程＋＝1表示椭圆”可以得出 解得－3<m<1或1<m<5， 所以“m∈(－3，5)”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件． 4．已知椭圆x2＋ky2＝2的焦点在y轴上，若椭圆的焦距为4，则k＝(　　) A． B． C．3 D．4 解析：选A．椭圆x2＋ky2＝2即＋＝1，焦点在y轴上，所以a2＝，b2＝2，所以c＝＝，又椭圆的焦距为4，所以 ＝2，解得k＝.故选A． 5．已知椭圆＋＝1的两个焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1的周长是(　　) A．10 B．12 C．16 D．20 解析：选D．由题意得a＝5，b＝4，由椭圆定义可知， |AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，所以△ABF1的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF2|＋|BF1|＝20.故选D． 6．(多选)已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，若△PF1F2为直角三角形，则△PF1F2的面积可能为(　　) A．1 B．2 C． D． 解析：选AD．椭圆＋y2＝1中，c2＝5－1＝4，所以焦点F1(－2，0)，F2(2，0)，当∠PF1F2＝或∠PF2F1＝时，此时△PF1F2面积相等，不妨取∠PF1F2＝，如图1， 将x＝－2代入椭圆方程，则＋y2＝1，所以y＝±，所以S＝×|PF1|×|F1F2|＝××4＝； 当∠F1PF2＝时，如图2，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由条件可知 解得mn＝＝＝2，所以S＝×|PF1|×|PF2|＝mn＝1. 综上，△PF1F2的面积为1或. 7．已知椭圆的焦点在y轴上，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________________． 解析：由题意2a＝8，2c＝2，所以a＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋x2＝1. 答案：＋x2＝1 8．(2026·新乡期中)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上的点P满足|PF1|＝2|PF2|，则|PF1|＝________． 解析：因为椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝6. 因为|PF1|＝2|PF2|，所以|PF1|＋|PF1|＝|PF1|＝6，解得|PF1|＝4. 答案：4 9．已知椭圆C：＋＝1，F1，F2为椭圆的左、右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为(2，1)，则|PA|＋|PF1|的范围为_______________________． 解析：由椭圆的标准方程可知a＝5，c＝3，F1(－3，0)，F2(3，0)，又点P在椭圆上，根据椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，所以|PF1|＝10－|PF2|，所以|PA|＋|PF1|＝10＋|PA|－|PF2|.易知－|AF2|≤|PA|－|PF2|≤|AF2|，当且仅当A，P，F2三点共线时等号成立．又|AF2|＝＝，所以10－≤|PA|＋|PF1|≤10＋，即|PA|＋|PF1|的范围为[10－，10＋ ]. 答案：[10－，10＋ ] 10．(15分)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a＋c＝4，a－c＝2；(3分) (2)焦点坐标为(0，－4)，(0，4)，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10；(4分) (3)焦点在x轴上，a＝4，且经过点A(2，)；(4分) (4)c＝4，且经过点P(0，2).(4分) 解：(1)由题意，联立解得 则由椭圆的性质得，b2＝a2－c2＝8，所以当椭圆的焦点落在x轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1；当椭圆的焦点落在y轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1，故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)由题意可得2a＝10，即a＝5，又椭圆的两个焦点坐标为(0，－4)，(0，4)，所以c＝4，且焦点落在y轴上，由椭圆的性质得，b2＝a2－c2＝9，故椭圆的标准方程为＋＝1. (3)因为椭圆的焦点在x轴上，且a＝4，所以可设椭圆的标准方程为＋＝1，又椭圆经过点A(2，)，所以＋＝1，解得b2＝4，故椭圆的标准方程为＋＝1. (4)因为c＝4，由椭圆的性质得c2＝a2－b2＝16，则a2＝b2＋16，所以可设椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1，又因为椭圆经过点P(0，2)，所以＝1或＝1，解得b2＝24或b2＝8，当b2＝24时，椭圆的焦点落在x轴上，此时椭圆的标准方程为＋＝1；当b2＝8时，椭圆的焦点落在y轴上，此时椭圆的标准方程为＋＝1，故椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 11．在平面直角坐标系xOy中，F为椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，过F的直线与圆x2＋y2＝b2切于点P(1，)，则椭圆的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选C．由过F的直线与圆x2＋y2＝b2切于点P(1，)，可得b2＝1＋3＝4， 则kOP＝，由此可得切线PF的斜率为kPF＝－， 即切线方程为y－＝－(x－1)，整理得x＋y－4＝0， 令y＝0，可得x＝4，即焦点F(4，0)， 所以c2＝16，即a2＝b2＋c2＝4＋16＝20， 所以椭圆的方程为＋＝1. 12．(多选)设定点F1(0，－2)，F2(0，2)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹可能是(　　) A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 解析：选BC．由F1(0，－2)，F2(0，2)，可得|F1F2|＝4，因为a>0，可得|PF1|＋|PF2|＝a＋≥2 ＝4，当且仅当a＝，即a＝2时等号成立，当a＋＝4时，可得|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，此时点P的轨迹是线段F1F2；当a＋>4时，可得|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，此时点P的轨迹是椭圆． 13．(15分)已知曲线方程＋＝1，k∈R. (1)若方程表示焦点在x轴上的椭圆，求k的取值范围；(6分) (2)若方程表示焦距为2的椭圆，求k的值．(9分) 解：(1)若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则k＋5>3－k>0，解得－1<k<3， 即k的取值范围为(－1，3). (2)若方程表示焦距为2的椭圆，则2c＝2，所以c＝1. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则a2＝k＋5，b2＝3－k，且－1<k<3，又c2＝a2－b2＝k＋5－(3－k)＝2k＋2＝1，得k＝－； 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则3－k>k＋5>0，解得－5<k<－1， 所以a2＝3－k，b2＝k＋5， 又c2＝a2－b2＝3－k－(k＋5)＝－2k－2＝1，得k＝－. 综上，k＝－或k＝－. 14．(15分)设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1). (1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值；(5分) (2)若C为椭圆上异于点B的一点，且1＝λ1，求λ的值；(5分) (3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值．(5分) 解：(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以|PF1|·|PF2|≤＝＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取等号，所以|PF1|·|PF2|的最大值为4. (2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，由1＝λ1，得x0＝， y0＝－.又＋y＝1，所以λ2＋6λ－7＝0，解得λ＝－7或λ＝1.因为点C异于点B，故λ＝1舍去，所以λ＝－7. (3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，所以|PF1|＋|PB|＋|BF1|≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8. 15．已知圆C：(x－2)2＋y2＝64，F(－2，0)为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕l，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选A．由题知， F(－2，0)，C(2，0)，记点F关于折痕l的对称点为A，折痕l与AC相交于点P，则点A在圆周上，折痕l为线段AF的垂直平分线，如图所示，则有|PA|＝|PF|，可知|PF|＋|PC|＝|PA|＋|PC|＝|AC|＝8>|FC|＝4，所以点P的轨迹是以F，C为左、右焦点的椭圆，其中2a＝8，2c＝4，所以a＝4，c＝2，b＝2，所以点P的轨迹方程，即折痕围成的轮廓的圆锥曲线的方程为＋＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $