第2章 1.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦椭圆方程及性质的应用，核心知识点包括点与椭圆的位置关系（内、上、外的判定条件）、椭圆的实际应用（如探测器轨道问题）、代入法求轨迹方程。通过类比点与圆的位置关系引入新知，结合实例应用椭圆性质，再通过代入法解决轨迹问题，构建基础到应用再到方法的学习支架。 资料特色在于以类比迁移培养数学眼光（如点与圆类比点与椭圆），结合航天等实际问题转化为数学模型（数学思维），代入法步骤化教学（数学语言）。例2火星探测器轨道问题助学生用数学眼光观察现实，跟踪训练和练习题巩固知识，课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺。

第2课时　椭圆方程及性质的应用 知识点　点与椭圆的位置关系 思考　类比点与圆的位置关系，你知道点与椭圆有哪些位置关系吗？ 提示：点在椭圆内、上、外三种情况． [知识梳理] 设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a＞b＞0)，则点P与椭圆的位置关系如表所示： 位置关系 满足条件 P在椭圆外 ＋＞1 P在椭圆上 ＋＝1 P在椭圆内 ＋＜1 [例1] (1)已知椭圆C：＋＝1，点A(3cos θ，2sin θ)，则点A与椭圆C的位置关系是(　　) A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．点在椭圆上或椭圆内 (2)已知点P(m，1)在椭圆＋＝1的外部，则实数m的取值范围是________________． 【解析】　(1)因为＋＝1，所以点A在椭圆C上．故选A． (2)由题意可知＋>1，解得m>或m<－. 【答案】　(1)A　(2)∪(，＋∞) (1)判断点与椭圆的位置关系的方法有两种：定义法和代数法，根据题目条件选择合适的方法判断即可． (2)由点与椭圆的位置关系求参数时，把点的坐标代入椭圆方程，解不等式即可． [跟踪训练1] 若点A(m，1)在椭圆＋＝1的内部，则实数m的取值范围是(　　) A．(－，) B．(－∞，－)∪(，＋∞) C．(－2，2) D．(－1，1) 解析：选A．因为点A(m，1)在椭圆＋＝1的内部，所以＋＜1，整理得m2＜2，解得－＜m＜. 应用点一　椭圆的实际应用 [例2] 某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点M处制动(俗称“踩刹车”)后，以v km/s的速度进入距离火星表面n km的环火星圆形轨道(火星的球心为椭圆的一个焦点)，环绕周期为t s．已知R为火星的半径，远火星点N到火星表面的最近距离为m km，则下列说法不正确的是(　　) A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为vt km C．火星半径为 km D．近火星点与远火星点的距离为(m－n＋) km 【解析】　如图，以线段MN的中点为原点，MN所在直线为x轴，线段MN的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 则可设椭圆轨道所在椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 则由已知m＋R＝a＋c，n＋R＝a－c， 所以2a＝m＋n＋2R，2c＝m－n，故椭圆轨道的离心率为＝，故A正确； 以v km/s的速度进入距离火星表面n km的环火星圆形轨道，环绕周期为t s，所以环绕的圆形轨道周长为vt km，半径为 km，所以火星半径为R＝(－n)km，故B正确，C不正确； 因为近火星点与远火星点的距离为2a＝n＋2R＋m＝n＋2(－n)＋m＝m－n＋(km)，故D正确．故选C． 【答案】　C 解决和椭圆有关的实际问题的步骤 (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题； (2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解； (3)用解得的结果说明原来的实际问题． [跟踪训练2] 如图，某颗人工智能卫星的运行轨道可近似看作以地心F1为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r，则远地点离地面的距离为(　　) A．3r＋2R B．5r＋2R C． D． 解析：选A．由题意，以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， 则e＝，且r＝a－c－R，解得a＝，c＝，又e＝， 故该卫星远地点离地面的距离为a＋c－R＝＋－R＝r＋R＝r＋R＝3r＋2R.故选A． 应用点二　代入法求轨迹方程 [例3] (对接教材例7)已知在平面直角坐标系中，动点M到定点(－，0)的距离与它到定直线l：x＝－的距离之比为常数. (1)求动点M的轨迹Q的方程； (2)设点A(1，)，若P是(1)中轨迹Q上的动点，求线段PA的中点B的轨迹方程． 【解】　(1)设动点M(x，y)，由已知可得 ＝|x＋|，即x2＋2x＋3＋y2＝(x2＋x＋)，化简得＋y2＝1，即所求动点M的轨迹Q的方程为＋y2＝1. (2)设B(x，y)，P(x0，y0)，由得由点P在轨迹Q上，得＋(2y－)2＝1，整理得(x－)2＋4(y－)2＝1，所以线段PA的中点B的轨迹方程是 (x－)2＋4(y－)2＝1. 相关点代入法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0)； (2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0； (3)将x0，y0代入其所在的曲线方程； (4)化简方程得所求方程，注意要检验是否有要删除的点． [跟踪训练3] 已知P(－4，－4)，Q是椭圆x2＋2y2＝16上的动点，M是线段PQ上的点，且满足＝，则动点M的轨迹方程是(　　) A．(x－3)2＋2(y－3)2＝1 B．(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1 C．(x＋1)2＋2(y＋1)2＝9 D．(x－1)2＋2(y－1)2＝9 解析：选B．设动点M(x，y)，Q(m，n)，因为＝，P(－4，－4)，即(x＋4，y＋4)＝(m－x，n－y)， 所以 化简得又Q(m，n)在椭圆x2＋2y2＝16上，故16(x＋3)2＋32(y＋3)2＝16，即动点M的轨迹方程为(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1. 1．已知椭圆C：＋＝1，点M(1，1)，则点M与椭圆C的位置关系是(　　) A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．点在圆上或圆内 解析：选B．因为＋＜1，所以点在椭圆内．故选B． 2．椭圆x2＋2y2＝1的通径长为(　　) A． B． C． D．1 解析：选D．椭圆x2＋2y2＝1的通径即过焦点并且和焦点所在的轴垂直的直线截得的线段长，右焦点为(，0)，直线为x＝，联立解得此直线和椭圆交点的纵坐标为±，则通径长为1.故选D． 3．某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是________米． 解析：设椭圆方程为＋＝1(a>0)，当点(4，4.5)在椭圆上时，＋＝1，解得a＝16， 因为通行车辆高度不超过4.5米，所以a≥16，d＝2a≥32，故拱宽至少为32米． 答案：32 4．设圆(x＋1)2＋y2＝36的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为__________________________________________________________________． 解析：设M(x，y).因为点M在线段AQ的垂直平分线上，所以|MA|＝|MQ|，又点M在圆C的半径CQ上，所以|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝6，所以|MC|＋|MA|＝6>2.故点M的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为2a＝6的椭圆，b2＝a2－c2＝8，所以点M的轨迹方程为＋＝1. 答案：＋＝1 1．已学习：点与椭圆的位置关系、代入法求解轨迹方程． 2．须贯通：代入法求解轨迹方程有关的问题． 3．应注意：检验求解轨迹方程中是否有要删除的点或增加的点． 学科网（北京）股份有限公司 $