第2章 1.1 椭圆及其标准方程-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦椭圆的定义、标准方程及焦点三角形问题，从生活实例导入，通过细绳实验抽象定义，推导焦点在x轴和y轴的标准方程，结合a,b,c关系，形成概念-推导-应用的完整学习支架。 资料以情境化实例培养数学眼光，实验操作引导数学思维抽象定义，问题驱动与分层练习强化数学语言表达，课中助教师引导探究，课后通过练习题与总结帮学生查漏补缺，巩固知识。

§1　椭　圆 1．1　椭圆及其标准方程 新课导入 学习目标 　　生活中有许多椭圆形的例子：哈雷彗星的运行轨迹、风靡全球的橄榄球、甘甜可口的西瓜、神奇的“跳舞草”……椭圆有着怎样的几何性质，它是否像圆一样有自己的定义、自己的方程呢？ 1.理解并掌握椭圆的定义．　2.掌握椭圆的标准方程的推导，会求椭圆的标准方程．　3.能灵活应用椭圆的定义及标准方程解决焦点三角形问题. 知识点一　椭圆的定义 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出如图所示的轨迹． 思考1　在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 提示：笔尖到两个定点的距离的和等于常数． 思考2　在这一过程中，绳子的长度与两定点F1，F2间的距离有何关系？ 提示：绳子的长度大于两定点F1，F2间的距离． [知识梳理] 1．定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于| F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两个焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|PF1|＋|PF2|＝2a(a为大于0的常数)且2a>|F1F2|. [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆．(　　) (2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆．(　　) (3)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆．(　　) (4)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝3，则点P的轨迹是椭圆．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．如图，F1，F2是平面上的两点，且|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…；A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点．若点A在以F1，F2为焦点的椭圆M上，则(　　) A．点B和C都在椭圆M上 B．点C和D都在椭圆M上 C．点D和E都在椭圆M上 D．点E和B都在椭圆M上 解析：选C．由同心圆及点A在以F1，F2为焦点的椭圆M上得|AF1|＋|AF2|＝3＋9＝12，因为|BF1|＋|BF2|＝5＋9＝14≠12，|CF1|＋|CF2|＝5＋6＝11≠12，|DF1|＋|DF2|＝5＋7＝12，|EF1|＋|EF2|＝11＋1＝12.故点D和E都在椭圆M上． 3．方程＋＝2表示的轨迹为(　　) A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 解析：选C．因为＋＝2，所以方程可表示平面内点P(x，y)到点A(1，0)与点B(－1，0)的距离之和为2的图形，此时|PA|＋|PB|＝|AB|，所以方程＋＝2表示的轨迹是线段AB． 关于椭圆定义的理解 (1)在椭圆定义中，2a>|F1F2|，这是椭圆定义中非常重要的一个条件；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点轨迹不存在．因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含条件． (2)在椭圆定义中，设M为平面内任意一点，F1，F2为椭圆的焦点，则满足|MF1|＋|MF2|＝2a的动点M一定在椭圆上；反过来，椭圆上的任意一点M都满足|MF1|＋|MF2|＝2a. 知识点二　求椭圆的标准方程 思考1　在研究圆的方程时，不同的坐标系得到的圆的方程相同吗？ 提示： 坐标系不同，得到的圆的方程不相同． 思考2　类比圆的方程，结合椭圆的形成过程，怎样建立坐标系才能使椭圆的方程更简单些？ 提示： 结合图形的对称性，以F1F2所在的直线以及线段F1F2的垂直平分线作为坐标轴建立坐标系，所得的方程更简单． [知识梳理] 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准 方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 图象 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 [例1] (对接教材例2)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点； (3)经过点P，Q. 【解】　(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设标准方程为＋＝1(a>b>0).又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，所以解得所以所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设标准方程为＋＝1(a>b>0).由椭圆的定义知，2a＝ ＋＝2， 即a＝，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6， 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)方法一：①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0). 依题意，有 解得又a>b>0，不合题意，故舍去． ②当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).依题意，有解得符合a>b>0，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 方法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).则解得所以椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 求椭圆的标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程． (2)待定系数法：①作判断：依据条件判断椭圆的焦点是在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能． ②设方程：依据上述判断设出椭圆的方程． ③寻关系：依据已知条件，建立关于a，b，c的方程组． ④解方程组：将求得的结果代入所设方程即为所求． 注意　在求椭圆的标准方程时，若焦点的位置不确定，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可． [跟踪训练1] 求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点A(0，2)，B(，)； (2)过点(－3，2)且与椭圆＋＝1有相同焦点． 解：(1)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n). 将A(0，2)，B(，)代入方程， 得解得 故所求椭圆的标准方程为x2＋＝1. (2)依题意，知椭圆的焦点坐标为(±，0). 设所求方程为＋＝1(a2>5)， 将点(－3，2)代入得＋＝1， 整理得a4－18a2＋45＝0， 即(a2－3)(a2－15)＝0， 解得a2＝15(a2＝3舍去)， 则所求椭圆的标准方程为＋＝1. 应用点一　椭圆方程与定义的直接应用 角度1　参数问题 [例2] “m>1”是“椭圆C：＋＝1的焦点在x轴上”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　椭圆C：＋＝1的焦点在x轴上，则m>2－m>0，解得1<m<2， 故“m>1”是“椭圆C：＋＝1的焦点在x轴上”的必要不充分条件． 【答案】　B 根据椭圆方程求参数的值或取值范围 (1)若给出方程＋＝1，则表示椭圆的条件是表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m＞n＞0，表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n＞m＞0.　 (2)若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应首先将其转化为椭圆的标准方程的形式＋＝1，再研究其焦点的位置等情况． 角度2　长度问题 [例3] (1)已知椭圆＋＝1上一点P到左焦点的距离为6，则P到右焦点的距离为(　　) A．5 B．6 C．4 D．12 (2)(2026·秦皇岛期末)设椭圆C：＋＝1的左焦点为F，A(7，12)，点P在C上，则|PA|＋|PF|的最小值为________，最大值为________． 【解析】　(1)由a2＝25，则a＝5，所以2a＝10，根据椭圆的定义，点P到右焦点的距离为10－6＝4. (2)椭圆C：＋＝1中2a＝10，左焦点F(－2，0)，令右焦点为F′(2，0).因为＋＞1，所以点A(7，12)在椭圆C外，因此|PA|＋|PF|≥|FA|＝＝15，当且仅当P为线段AF与椭圆交点时取等号；因为|PF|＋|PF′|＝10，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋10－|PF′|≤10＋|AF′|＝10＋＝23，当且仅当P为线段AF′的延长线与椭圆交点时取等号，所以|PA|＋|PF|的最小值为15，最大值为23. 【答案】　(1)C　(2)15　23 椭圆定义的双向运用 判断 (正用) 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点间的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆 求值 (逆用) 椭圆上的点一定满足定义中的条件，即到两定点的距离之和为2a [跟踪训练2] (1)已知焦点在y轴上的椭圆＋＝1(m>0)的焦距为4，则m的值为(　　) A．2 B．2 C．4 D．12 解析：选B．焦点在y轴上的椭圆＋＝1(m>0)的焦距为4，则2c＝4，所以c＝2，则c2＝m2－8＝4，故m2＝12，又m>0，则m的值为2. (2)已知动点P在椭圆C：＋＝1上，F(0，1)，A(－3，3)，则|PF|－|PA|的最大值为(　　) A．－ B． C．－3 D．－1 解析：选D．由题意，F(0，1)为C的一个焦点，设另一个焦点为F′，则F′(0，－1)，且|PF|＋|PF′|＝4.因为＋>1，所以点A在椭圆外部，所以|PF|－|PA|＝4－(|PF′|＋|PA|)， 即求|PF′|＋|PA|的最小值． 由于|PF′|＋|PA|≥|AF′|＝5，当且仅当P为线段AF′与椭圆的交点时取等号， 所以|PF|－|PA|的最大值为－1. (3)(2026·保定月考)已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，M为椭圆上一点，N是MF1的中点，若|ON|＝，则|MF1|＝________． 解析：由N是MF1的中点，可得|MF2|＝2|ON|＝3， 由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝2×＝8，则|MF1|＝8－|MF2|＝5. 答案：5 应用点二　椭圆中的焦点三角形问题 [例4] 已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 【解】　由已知得|F1F2|＝6.在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2，即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4，即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.② 由①②得|PF1|·|PF2|＝4，所以S＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝. 母题探究1　若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠F1PF2＝90°”，求△F1PF2的面积． 解：由椭圆＋＝1知|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|＝6，因为∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝36，所以|PF1|·|PF2|＝6，所以S＝|PF1|·|PF2|＝3. 母题探究2　若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠F1PF2＝θ”，问P位于椭圆的什么位置时，θ最大？ 解：在△F1PF2中，由余弦定理的推论知 cos θ＝ ＝ ＝－1 ≥－1 ＝－1＝－， 当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立，由于y＝cos x在(0，π)上单调递减，所以当点P位于椭圆与y轴的交点时θ取最大值． 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△F1PF2，称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解． 常用结论　(1)焦点三角形△F1PF2的周长L＝2a＋2c. (2)在△F1PF2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ(θ＝∠F1PF2). (3)焦点三角形的面积S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan (θ＝∠F1PF2). [跟踪训练3] (1)已知椭圆E：＋＝1，点A，B在椭圆上且在x轴异侧，F1，F2分别为椭圆E的左、右焦点，则四边形AF1BF2的周长为(　　) A．8 B．4 C．3 D．4＋2 解析：选A．由题及椭圆的定义得，|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，故四边形AF1BF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝8. (2)(2026·沙坪坝期中)已知椭圆C：＋＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，且∠F1AF2＝，则b的取值范围为________． 解析：由椭圆C：＋＝1(b>0)，设椭圆C与y轴正半轴的交点为B(0，b)， 若椭圆C上存在一点A使得∠F1AF2＝，则∠F1BF2≥， 可得∠F1BO≥，其中O为坐标原点， 所以cos ∠F1BO＝≤cos ＝， 可得b≤，所以b∈(0，]. 答案：(0，] 1．(多选)平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是(　　) A．M到两定点(0，2)，(0，－2)的距离之和为4 B．M到两定点(0，2)，(0，－2)的距离之和为6 C．M到两定点(3，0)，(－3，0)的距离之和为6 D．M到两定点(3，0)，(－3，0)的距离之和为8 解析：选BD．因为两定点(0，2)，(0，－2)的距离为4，且4<6，所以选项A不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义；因为两定点(3，0)，(－3，0)的距离为6，且6<8，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合椭圆定义． 2．(多选)已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5，3.过P且与两焦点的连线垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，则椭圆的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选AD．依题意，设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，不妨令|PF1|＝5，|PF2|＝3，且△PF2F1为直角三角形，所以|F1F2|2＝|PF1|2－|PF2|2＝52－32＝16，所以|F1F2|＝4，所以c＝2，又2a＝|PF1|＋|PF2|＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝12，又椭圆的焦点位置不确定，故所求的椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 3．已知P是椭圆＋＝1上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则|OP|＝________． 解析：由椭圆＋＝1，得a＝，b＝2，c＝＝1， 设F1(－1，0)，F2(1，0)，|F1F2|＝2， 设P(x，y)，因为△PF1F2的面积为1，则×|y|×2＝1，解得y＝±1，不妨设P在第一象限，当y＝1时，＋＝1，解得x＝，|OP|＝＝. 答案： 4．在平面直角坐标系xOy中，已知动点P，Q分别在x轴、y轴上，M是线段PQ上靠近P的三等分点，N为M关于x轴的对称点．若·＝－3，求点M的轨迹方程并说明轨迹是什么图形． 解：设M(x，y).M是线段PQ上靠近P的三等分点，则Q(0，3y)，P(，0)，N为M关于x轴的对称点，则N(x，－y)，所以＝(－，3y)，＝(x，－y). 若·＝－3，则－x2－3y2＝－3，即＋y2＝1， 则点M的轨迹方程为＋y2＝1，该方程表示焦点在x轴上的椭圆． 1．已学习：椭圆的定义及其应用、椭圆的标准方程的求解及判别、椭圆中的焦点三角形问题． 2．须贯通：求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法． 用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，体现分类讨论思想及方程思想． 3．应注意：椭圆定义中a，b，c的关系；不同坐标系下椭圆的两种标准方程． 学科网（北京）股份有限公司 $