第1章 1.1 1.2 第1课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦直线的斜率与倾斜角核心知识点，系统梳理从两点间斜率计算、倾斜角与斜率关系，到三点共线的斜率条件，结合指数函数、三次函数图象及斜拉桥实际问题，构建从概念到综合应用的学习支架。 该资料通过多样化题型培养数学眼光（观察函数图象与斜率关系）、数学思维（推理三点共线条件）、数学语言（斜拉桥问题建模）。课中例题解析助教师高效授课，课后不同难度题目帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1．(2026·西城期中)过点A(2，1)，B(4，5)的直线的斜率为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选D．由题意知kAB＝＝＝2. 2．倾斜角为钝角的直线l一定经过(　　) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第二、三象限 解析：选B．因为直线的倾斜角为钝角，所以斜率为负，由一次函数性质得直线l一定经过第二、四象限． 3．直线y＝－cos 45°的倾斜角为(　　) A．0° B．90° C．135° D．不存在 解析：选A．因为直线y＝－cos 45°＝－平行于x轴，所以倾斜角为0°.故选A． 4．若A(－1，－2)，B(4，8)，C(5，x)，且A，B，C三点共线，则x＝(　　) A．－2 B．5 C．10 D．12 解析：选C．由题意，可知直线AB，AC的斜率存在并且相等， 即＝，解得x＝10. 5．点M(x，y)在函数y＝ex的图象上，当x∈[0，1)时，的值可能为(　　) A．－1或－2 B．－1或－3 C．－2或－3 D．0 解析：选C．表示点M(x，y)与点A(1，－1)所在直线的斜率k，又M(x，y)是y＝ex在x∈[0，1)部分图象上的动点， 如图，当M接近B(1，e)时，k→－∞，当M为(0，1)时，k＝＝－2，则k∈(－∞，－2]，只有C满足． 6．(多选)若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45° B．135°＋α C．α－45° D．135°－α 解析：选BC．当α≥45°时，直线l1的倾斜角为α－45°(如直线AC旋转至直线AD)；当0°≤α<45°时，直线l1的倾斜角为180°－(45°－α)＝135°＋α(如直线AD旋转至直线AB).故选BC． 7．若A(1，2)，B(3，m)，C(7，m＋2)三点能构成三角形，则实数m的取值范围是________． 解析：因为A，B，C三点能构成三角形，所以A，B，C三点不共线，所以kAB≠kAC，即≠，解得m≠3. 答案：{m|m≠3} 8．已知A(－1，2)，B(3，2)，若直线AP与直线BP的斜率分别为2和－2，则点P的坐标是______________________________________________． 解析：设点P(x，y)，则解得 所以点P的坐标是(1，6). 答案：(1，6) 9．已知过A(3m－1，3m－2)，B(2m2，m2)两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为________． 解析：根据题意可得＝1，解得m＝1或m＝－1，当m＝1时，点A，B重合，不符合题意，舍去；当m＝－1时，经验证，符合题意． 综上，m＝－1. 答案：－1 10．(13分)已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值． 解：由题意可知kAB＝＝2，kAC＝＝，kAD＝＝，所以k＝2＝＝，解得a＝4，b＝－3，所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3. 11．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l上的一点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，仍在该直线l上，则直线l的斜率为(　　) A．－3 B． C．3 D．－ 解析：选A．依题意设点P(x0，y0)是直线l上的一点，将点P(x0，y0)向右平移1个单位长度后再向下平移3个单位长度得到点P′(x0＋1，y0－3)，因为点P′(x0＋1，y0－3)仍在该直线l上，所以直线l的斜率k＝＝－3，所以直线l的斜率为－3.故选A． 12．已知A(2，0)，B(4，4)，若Q(m，n)在线段AB上，则4m－3n的最小值为________． 解析：因为点Q(m，n)在线段AB上，当点Q与点A不重合时，kAB＝kAQ，且m∈(2，4]，即＝，所以n＝2m－4，当点Q与点A重合时，m＝2，n＝0，也满足上式，所以n＝2m－4，m∈[2，4].设z＝4m－3n＝4m－3(2m－4)＝－2m＋12，所以当m＝4时，zmin＝－2×4＋12＝4. 答案：4 13．(13分)已知直线l过点A(2，4)和点B(t2，2). (1)若直线l的斜率是－1，求t；(6分) (2)求直线l的斜率的取值范围．(7分) 解：(1)由直线l的斜率k＝＝－1，可得t2＝4，即t＝±2. (2)当t2≠2时，直线l的斜率k＝＝， 又因为t2≥0，所以2－t2≤2，且2－t2≠0， 当2－t2<0时，k＝<0； 当0<2－t2≤2时，k＝≥1， 所以直线l的斜率的取值范围为(－∞，0)∪[1，＋∞). 14．(13分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点．求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0. 证明：kAB＝，kAC＝，因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，所以＝，所以x＋x1x2＋x＝x＋x1x3＋x，所以(x2－x3)(x1＋x2＋x3)＝0，因为x2≠x3，所以x1＋x2＋x3＝0. 15．斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是阆中市盘龙山嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个针的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，…，9)均为3.8 m，拉索下端相邻两个针的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，…，9)均为15 m．最短拉索的针P1，A1满足|OP1|＝60 m，|OA1|＝80 m，则最长拉索所在直线的斜率约为(结果保留两位有效数字)(　　) A．±0.47 B．±0.45 C．±0.44 D．±0.42 解析：选C．依题意，以直线A10B10为x轴，直线P1P10为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，显然|OA10|＝80＋9×15＝215(m)，|OP10|＝60＋9×3.8＝94.2(m)，因此点A10(215，0)，P10(0，94.2)，直线A10P10的斜率为≈－0.44，由对称性得直线B10P10的斜率约为0.44，所以最长拉索所在直线的斜率约为±0.44.故选C． 学科网（北京）股份有限公司 $