第1章 1.2 第2课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦直线的倾斜角、斜率及方向向量核心知识点，系统梳理从倾斜角定义、斜率公式到方向向量与斜率转化的脉络，构建从基础概念辨析到综合应用（如线段交点、函数图像问题）的学习支架。 资料通过基础辨析题（如判断倾斜角与斜率关系）、综合应用题（如函数图像交点证明）设计，解析结合图像辅助理解。以辨析培养推理意识（数学思维），以实际问题提升应用意识（数学语言），课中助力教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

1．下列说法中正确的是(　　) A．直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若A(1，－3)，B(1，3)，则直线AB的倾斜角为0° C．若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3，4) D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α 解析：选C．对于A，若直线倾斜角大于90°，则直线的斜率为负值，故A错误；对于B，由A(1，－3)，B(1，3)，可知直线AB与x轴垂直，所以直线AB的倾斜角为90°，故B错误；对于C，直线倾斜角为45°，则斜率k＝1，又过点(1，2)，且＝1，故C正确；对于D，直线斜率的定义为倾斜角的正切值，但不能是tan 90°，故D错误．故选C． 2．已知直线l的一个方向向量的坐标为(－1，1)，则直线l的倾斜角为(　　) A．45° B．90° C．135° D．150° 解析：选C．由直线l的一个方向向量的坐标为(－1，1)，得斜率k＝＝－1. 设直线l的倾斜角为α，0°≤α＜180°，由tan α＝－1，得α＝135°. 3．(2026·淄博期中)经过两个不同的点A(1，m＋3)，B(m2，2m2)的直线l的倾斜角为45°，则m的值为(　　) A．－1或2 B．－1 C．－2 D．2 解析：选D．由题意知，直线的斜率为k＝，k＝tan 45°＝1， 所以＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，A(1，5)，B(4，8)，符合题意； 当m＝－1时，A(1，2)，B(1，2)，不符合题意．综上，m＝2. 4．已知直线l的斜率k∈[－1，]，则该直线的倾斜角α的取值范围为(　　) A．[，] B．[0，]∪[，π) C．[，] D．[0，]∪[，π) 解析：选B．直线的倾斜角为α，则α∈[0，π)，由－1≤k≤可得－1≤tan α≤，所以α∈[0，]∪[，π). 5．已知直线l1的方向向量为m＝(1，)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则l2的斜率为(　　) A． B． C． D．－ 解析：选D．设直线l1的倾斜角为α(0≤α<π)，则直线l2的倾斜角为2α，因为直线l1的方向向量为m＝(1，), 所以直线l1的斜率为tan α＝，所以α＝，所以直线l2的斜率为tan 2α＝－.故选D． 6．(多选)如图所示，四条直线l1，l2，l3，l4的斜率分别是k1，k2，k3，k4，倾斜角分别是α1，α2，α3，α4，则下列关系正确的是(　　) A．k2<k1<k4<k3 B．k3<k2<k1<k4 C．α2<α1<α4<α3 D．α3<α2<α1<α4 解析：选BC．直线l1，l2，l3，l4的斜率分别是k1，k2，k3，k4，倾斜角分别是α1，α2，α3，α4，由倾斜角定义知0<α1<α4<，α3>，α2＝0，所以α2<α1<α4<α3，故C正确，D错误；由k＝tan α，知k2＝0，k3<0，0<k1<k4，所以k3<k2<k1<k4，故B正确，A错误．故选BC． 7．直线l：x＝0的倾斜角为________． 答案： 8．一个方向向量为(，2)的直线过(3，5)，(a，7)，(－1，b)三点，则a＋b＝________． 解析：由题意得直线斜率k＝＝2，则2＝＝，所以a＝4，b＝－3，所以a＋b＝1. 答案：1 9．(2026·南阳月考)已知直线l过点P(3，4)，且与以A(－1，0)，B(2，1)为端点的线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是________． 解析：因为直线PA的斜率kPA＝＝1，直线PB的斜率kPB＝＝3，如图，所以要使直线l与线段AB有公共点，k的取值范围为[1，3]. 答案：[1，3] 10．(13分)已知坐标平面内M(m＋3，2m＋5)，N(2m－1，1)两点． (1)当m为何值时，直线MN的倾斜角θ为锐角？(6分) (2)若直线MN的一个方向向量为a＝(0，－2 027)，求m的值．(7分) 解：(1)若直线MN的倾斜角θ为锐角， 则斜率k＝tan θ>0， 又k＝＝>0， 即(m＋2)(m－4)<0，解得－2<m<4. (2)因为直线MN的一个方向向量为a＝(0，－2 027)， 所以直线MN的斜率不存在． 故直线MN垂直于x轴． 所以m＋3＝2m－1，解得m＝4. 11．(2026·惠州月考)已知直线l1经过两点A(－1，0)，B(2，6)，将l1绕其与x轴的交点逆时针旋转得到直线l2，则直线l2的斜率为(　　) A． B．3 C．－3 D．－ 解析：选C．设直线l1的倾斜角为α，则直线l1的斜率k＝tan α＝＝2，逆时针旋转后，则直线l2的倾斜角为α＋， 直线l2的斜率k′＝tan (α＋)＝＝＝－3. 12．(多选)(2026·泰安月考)若两直线l1，l2的斜率存在，其倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，则下列四个结论错误的是(　　) A．若α<β，则k1<k2 B．若α＝β，则k1＝k2 C．若k1＝k2，则α＝β D．若k1<k2，则α<β 解析：选AD．对于A，取α＝<β＝，则k1＝tan α＝1，k2＝tan β＝－1，则k1＞k2，故A错误； 对于B，若α＝β，则tan α＝tan β，即k1＝k2，故B正确； 对于C，若k1＝k2，则直线l1，l2的倾斜角不为，因为k1＝tan α，k2＝tan β，且正切函数y＝tan x在[0，)和(，π)上均单调递增，在[0，)上，tan x≥0，在(，π)上，tan x<0，所以α＝β，故C正确； 对于D，若k1＝－1<k2＝1，则α＝，β＝，所以α>β，故D错误． 13．(13分)已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1). (1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；(6分) (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围．(7分) 解：(1)由斜率公式得kAB＝＝0，kBC＝＝，kAC＝＝.因为tan 0°＝0，所以直线AB的倾斜角为0°.因为tan 60°＝，所以直线BC的倾斜角为60°.因为tan 30°＝，所以直线AC的倾斜角为30°. (2)如图所示，当直线CD由CA按逆时针方向旋转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即点D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为. 14．(15分)已知过坐标原点O的一条直线与函数y＝log9x的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数y＝log3x的图象交于C，D两点． (1)证明：点C，D，O在同一条直线上；(7分) (2)当直线BC的斜率为0时，求点A的坐标．(8分) 解：(1)证明：如图，设点A(x1，log9x1)，B(x2，log9x2)，则C(x1，log3x1)，D(x2，log3x2).由A，O，B三点共线，知kOA＝kOB，所以＝，即＝，所以＝，即kOC＝kOD.又OC，OD有公共点O，所以点C，D，O在同一条直线上． (2)当直线BC的斜率为0时，B，C两点的纵坐标相等，即log9x2＝log3x1，则log3x2＝log3x1，得log3x2＝2log3x1，所以x2＝x.由(1)知＝，所以＝＝，解得x1＝2.所以点A的坐标为(2，log92). 15．直线可以由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定．设直线l经过点P0(x0，y0)，它的一个方向向量是v＝(m，n)，P(x，y)是直线l上的任意一点，则存在唯一的实数t，使＝tv，即我们把这个方程称为直线的参数方程．已知直线l的参数方程为 (t为参数)，则该直线的倾斜角α为(　　) A． B． C． D． 解析：选D．因为直线l的参数方程为(t为参数)，所以直线l的一个方向向量为v＝(－，1)，所以直线l的斜率k＝tan α＝＝－，又α∈[0，π)，则α＝. 学科网（北京）股份有限公司 $