2.1.2 第2课时 椭圆的简单几何性质（二）(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦椭圆的离心率问题及实际应用，系统梳理定义法、构造齐次方程、求取值范围等求解方法，通过母题探究（变条件、一题多解）深化理解，结合通性通法总结，形成从理论到实践的学习支架。 资料以一题多解和母题变式培养数学思维，用嫦娥四号轨道、隧道设计等实例引导学生用数学眼光观察现实，提炼通性通法强化数学语言表达。课中助力分层教学，课后通过练习题及解析帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

第二课时　椭圆的简单几何性质（二） 题型一　椭圆的离心率问题 角度1　定义法求离心率 已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为B，且△BF1F2是一个等边三角形，则椭圆C的离心率为　　. 解析：因为｜BF1｜＝｜BF2｜＝a，｜F1F2｜＝2c，由题意知a＝2c，所以e＝＝. 【母题探究】 　（变条件）〔一题多解〕若本例条件变为“已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆上有一点A满足△AOF2是等边三角形（O为坐标原点）”，则椭圆C的离心率为　－1　. 解析：法一　由题意知F2（c，0），又△AOF2是等边三角形，所以A（，c），代入椭圆方程得＋＝1　①，又a2＝b2＋c2　②，联立①②得c2＝（4－2）a2，即c＝（－1）a，则椭圆C的离心率e＝＝－1. 法二　连接AF1，则∠AF1O＝∠OAF1＝，所以∠F1AF2＝，所以｜AF1｜＝｜AF2｜＝c，又｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a，即c＋c＝2a，所以e＝＝＝－1. 角度2　构造齐次方程求离心率 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左、右、下、上顶点，F2为其右焦点，直线B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为直角，则该椭圆的离心率e的值为（　　） A. B. C. D.－1 解析：C　设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），F2（c，0）.由题意，得A2（a，0），B1（0，－b），B2（0，b），则＝（a，－b），＝（－c，－b）.因为∠B1PA2为直角，所以·＝0，所以b2－ac＝0.又b2＝a2－c2，所以a2－ac－c2＝0，化简得1－e－e2＝0，解得e＝或e＝.又e∈（0，1），所以e＝，所以该椭圆的离心率e的值为. 角度3　求离心率的取值范围 〔一题多解〕若椭圆＋＝1（a＞b＞0）上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°（F1，F2分别为椭圆的左、右焦点），求椭圆的离心率e的取值范围. 解：法一　设M（x0，y0），则｜x0｜＜a.∵F1（－c，0），F2（c，0）， ∴＝（－c－x0，－y0），＝（c－x0，－y0）. ∵∠F1MF2＝90°，∴·＝0，∴＋＝c2. 又∵点M（x0，y0）在椭圆上，∴＝b2－， ∴＋＝b2＋∈[b2，a2），即c2∈[b2，a2），∴c2≥b2＝a2－c2，∴≥，∴e≥. 又0＜e＜1，故椭圆的离心率e的取值范围是. 法二　设点M的坐标是（x0，y0），则｜x0｜＜a，由题意得消去y0，得＝. ∵0≤＜a2，∴ 由①得c2≥b2，即c2≥a2－c2，∴a2≤2c2，∴e2＝≥. 又0＜e＜1，∴e∈， 由②得c2－b2＜c2，此式恒成立. 综上所述，所求椭圆的离心率e的取值范围是. 通性通法 求椭圆离心率及范围的两种方法 （1）直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解； （2）方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围. 1.〔一题多解〕（2026·广州质检）设椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（　　） A. B. C. D. 解析：B　法一　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以｜PF2｜＝.又由∠PF1F2＝30°，可得｜F1F2｜＝｜PF2｜，故2c＝，变形可得（a2－c2）＝2ac，等式两边同除以a2，得（1－e2）＝2e，解得e＝或e＝－（舍去）. 法二　由题意可设｜PF2｜＝m，结合条件可知｜PF1｜＝2m，｜F1F2｜＝m，故离心率e＝＝＝＝＝. 2.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，｜FA｜＝2｜FB｜，且·≤a2，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） A. B. C. D. 解析：B　如图所示，设椭圆的左焦点为E，连接AE，BE，因为点A，B关于原点对称，所以四边形EBFA为平行四边形，又｜BE｜＋｜BF｜＝2a，｜BE｜＝｜AF｜＝2｜BF｜，所以｜BF｜＝a，｜BE｜＝a.在△EBF中，由余弦定理得cos∠EBF＝＝＝－e2，所以cos∠BFA＝－cos∠EBF＝e2－.由·≤a2，得｜｜｜｜·cos∠BFA＝a×a≤a2，整理得e2≤，又0＜e＜1，所以e∈. 题型二　椭圆的实际应用问题 〔多选〕中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（　　） A.a1＋c1＝a2＋c2 B.a1－c1＝a2－c2 C.＜ D.＞ 解析：BD　由题图可知，a1＞a2，c1＞c2所以a1＋c1＞a2＋c2，所以A不正确；在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝｜PF｜，在椭圆轨道Ⅱ中可得，｜PF｜＝a2－c2，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；a1＋c2＝a2＋c1，两边同时平方得，＋＋2a1c2＝＋＋2a2c1，所以－＋2a1c2＝－＋2a2c1，即＋2a1c2＝＋2a2c1，由题图可得，＞，所以2a1c2＜2a2c1，＜，所以C错误，D正确. 通性通法 解决椭圆的实际问题的基本步骤 （1）认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系； （2）结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系； （3）利用椭圆知识及其他相关知识求解. 如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条PAB的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证PA与PB的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.已知｜PA｜＝2｜AB｜，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为（　　） A.　　　B. C.　　　D. 解析：D　由题意知PA与PB的长度不变，已知｜PA｜＝2｜AB｜，设｜AB｜＝x，则｜PA｜＝2x，当A滑动到O位置处时，P点在上顶点或下顶点，则短半轴长b＝2x，当P在右顶点时，B恰好在O点，则长半轴长a＝3x，故离心率为＝＝.故选D. 1.椭圆＋＝1的离心率是（　　） A. B. C. D. 解析：C　由椭圆＋＝1可得a＝4，b＝，∴c＝＝3，∴椭圆的离心率e＝＝.故选C. 2.已知椭圆C的焦点在x轴上，一个顶点坐标是（2，0），过焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 解析：D　由题意知，a＝2，过焦点且垂直于长轴的弦长为＝1，则2b2＝a＝2，∴b2＝1，∴c＝＝＝，∴e＝＝.故选D. 3.（2026·徐州月考）已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为　［，1）　. 解析：依题意可得2c≥2b，即c≥b.所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，即2c2≥a2，e2＝≥，所以e≥.又因为0＜e＜1，所以椭圆离心率的取值范围是［，1）. 4.〔一题多解〕如图所示，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB，则椭圆的离心率为　　. 解析：法一　设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），则kAB＝－.∵OP∥AB，∴直线OP的方程为y＝－x.又PF⊥x轴，∴点P的坐标为（－c，）.而点P也在椭圆上，∴＋＝1，即2e2＝1，∴e＝. 法二　设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），点F（－c，0）.∵P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，∴易得点P的坐标为（－c，）.又OP∥AB，∴Rt△OPF∽Rt△ABO，∴＝，即＝，则＝，∴b＝c，∴a＝c，∴e＝＝. 5.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6 m（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为8 m，如果限制通行车辆的高度不超过4.5 m，那么隧道设计的拱宽d至少应是　32　m. 解析：设椭圆方程为＋＝1，当点（4，4.5）在椭圆上时，＋＝1，解得a＝16，∵车辆高度不超过4.5 m，∴a≥16，d＝2a≥32，故拱宽至少为32 m. 1.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，离心率相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为10 cm，则小椭圆的长轴长为（　　） A.30 cm B.20 cm C.10 cm D.10 cm 解析：B　因为两个椭圆的离心率相同，所以＝，所以＝，所以2a小＝20，所以小椭圆的长轴长为20 cm. 2.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若＝2，则椭圆的离心率是（　　） A. B. C. D. 解析：D　如图，∵＝2，∴｜OA｜＝2｜OF｜，∴a＝2c，∴e＝. 3.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，｜PF1｜＋｜PF2｜＝10，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：B　根据椭圆定义可得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝10，所以a＝5，由离心率e＝＝，所以c＝，由b2＝a2－c2＝25－5＝20，所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 4.〔一题多解〕直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 解析：B　法一　不妨设直线l过椭圆的上顶点（0，b）和左焦点（－c，0），b＞0，c＞0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，解得b2＝3c2，又b2＝a2－c2，所以＝，即e2＝，所以e＝或e＝－（舍去）. 法二　不妨设直线l过椭圆的上顶点（0，b）和左焦点（－c，0），b＞0，c＞0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，所以＝×2b，所以e＝＝. 法三　如图，由题意得在椭圆中，OF＝c，OB＝b，OD＝×2b＝b，BF＝a.在Rt△OFB中，｜OF｜×｜OB｜＝｜BF｜×｜OD｜，即c×b＝a×b，解得＝，所以椭圆的离心率e＝. 5.〔一题多解〕（2023·新高考Ⅰ卷5题）设椭圆C1：＋y2＝1（a＞1），C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝（　　） A. B. C. D. 解析：A　法一　由题意知e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，得a＝.故选A. 法二　代入验证，若a＝，则e1＝＝＝，又e2＝，所以e2＝e1，所以a＝符合题意，由于是单选题，故选A. 6.〔多选〕已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是（　　） A.｜PF1｜＋｜PF2｜＝2 B.离心率e＝ C.△PF1F2面积的最大值为 D.以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切 解析：AD　对于A选项，由椭圆的定义可知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝2，所以A选项正确.对于B选项，依题意知a＝，b＝1，c＝1，所以e＝＝＝，所以B选项不正确.对于C选项，｜F1F2｜＝2c＝2，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，为·2c·b＝c·b＝1，所以C选项错误.对于D选项，以线段F1F2为直径的圆的圆心为（0，0），半径为c＝1，圆心到直线x＋y－＝0的距离为＝1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切，所以D选项正确.综上所述，正确的为A、D. 7.已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为　　. 解析：不妨设a＞0，因为椭圆C的一个焦点为（2，0），所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝. 8.椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在椭圆C上且关于原点对称，若直线AP，AQ的斜率之积为－，则椭圆C的离心率为　　. 解析：设P（x0，y0），Q（－x0，－y0），＋＝1，且x0≠±a，A（－a，0），则kAPkAQ＝·＝＝＝－＝－，所以e＝＝. 9.若椭圆C：＋＝1（m＞9）比椭圆D：＋＝1更扁，则C的长轴长的取值范围是　（6，＋∞）　. 解析：椭圆C：＋＝1（m＞9）的离心率e1＝，椭圆D：＋＝1的离心率e2＝＝.因为椭圆C：＋＝1（m＞9）比椭圆D：＋＝1更扁，所以e1＞e2，即＞，解得m＞18，则2＞6，所以椭圆C的长轴长的取值范围是（6，＋∞）. 10.椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右顶点是A（a，0），其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围. 解：设P（x，y），由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是＋y2＝. ∴y2＝ax－x2.　① 又P点在椭圆上，故＋＝1.　② 把①代入②化简，得（a2－b2）x2－a3x＋a2b2＝0， 即（x－a）[（a2－b2）x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0， ∴x＝，又0＜x＜a， ∴0＜＜a，即2b2＜a2. 由b2＝a2－c2，得a2＜2c2，∴e＞. 又∵0＜e＜1，∴＜e＜1. 故所求椭圆离心率的取值范围为（，1）. 11.设F1，F2分别为椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，若直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A.（0，］ B.（0，］ C.［，1） D.［，1） 解析：D　由垂直平分线的性质知｜F1F2｜＝｜PF2｜，设直线x＝与x轴的交点为M，则｜PF2｜≥｜F2M｜，即｜F1F2｜≥｜F2M｜，则2c≥－c，即3c2≥a2，所以e2＝≥，又0＜e＜1，所以≤e＜1.故选D. 12.〔多选〕1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是（　　） A.卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c] B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D.卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 解析：ABD　根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；由卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，当卫星在左半椭圆弧运行时，由面积守恒规律知时间更长，B正确；＝＝－1，当比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误；根据面积守恒规律可知，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确.故选A、B、D. 13.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P，使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为　（－1，1）　. 解析：在△PF1F2中，由正弦定理，得＝.∵＝，∴＝，即｜PF1｜＝·｜PF2｜.由椭圆定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，则·｜PF2｜＋｜PF2｜＝2a，即｜PF2｜＝.由椭圆的几何性质知｜PF2｜＜a＋c，则＜a＋c，即c2＋2ac－a2＞0，∴e2＋2e－1＞0，解得e＜－－1或e＞－1.又e∈（0，1），∴e∈（－1，1）. 14.（2026·绍兴月考）如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆＋＝1（x≤0）和＋＝1（x≥0）组成，其中a＞b＞9，“挞圆”内切于矩形（即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点）. （1）求“挞圆”的方程； （2）在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t（t∈（0，15）），求该网箱所占水面面积的最大值. 解：（1）由题意知b＝15，a＋9＝34，解得a＝25. 所以“挞圆”方程为＋＝1（x≤0）和＋＝1（x≥0）. （2）设P（x0，t）为矩形在第一象限内的顶点，Q（x1，t）为矩形在第二象限内的顶点， 则＋＝1，＋＝1，可得x1＝－x0. 所以内接矩形的面积S＝2t（x0－x1）＝2t×x0＝15×34×2××≤15×34×（＋）＝510， 当且仅当＝时，S取最大值510.所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $