第1章 1.6 第2课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本高中数学讲义聚焦直线距离核心知识点，系统梳理点到直线距离公式、平行线间距离公式的推导与应用，通过基础计算（如第1-3题）、几何图形（梯形面积，第4题）、代数最值（第5题）等层次递进，构建从公式到综合问题的学习支架。 该资料以期中、月考真题为情境，注重数学思维培养，如第5题将代数式转化为平行线间距离的几何意义，体现用数学眼光观察问题，第10题解答过程展示严谨推理，培养数学思维。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过典型例题回顾强化，弥补知识盲点。

1．直线－＝1与y＝x＋1之间的距离为(　　) A． B． C． D．24 解析：选B．两直线变形为3x－2y－12＝0与3x－2y＋2＝0，所以两直线平行，故两直线之间的距离为d＝＝＝. 2．(2026·汕头期中)若点P(－1，2)到直线l：y＝2x－a的距离为，则a＝(　　) A．1 B．－9 C．－1或9 D．1或－9 解析：选D．由点P(－1，2)到直线l：2x－y－a＝0的距离为，得＝，解得a＝1或a＝－9. 3．(2026·赣州月考)已知两条平行直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y＋m＝0间的距离为1，则m的值为(　　) A．3 B．6 C．－7或3 D．－14或6 解析：选D．直线3x＋4y－2＝0可化为6x＋8y－4＝0，因为两条平行直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y＋m＝0间的距离为1，所以＝1，解得m＝6或m＝－14. 4．在梯形ABCD中，|CD|＝2|AB|＝6，且AB和CD所在直线的方程分别是x＋2y－3＝0与x＋2y＋7＝0，则梯形ABCD的面积为(　　) A． B．9 C． D．45 解析：选B．由AB：x＋2y－3＝0，CD：x＋2y＋7＝0知AB∥CD，所以梯形ABCD的高即为直线AB和CD间的距离d＝＝2，所以梯形ABCD的面积为(|AB|＋|CD|)·d＝×(3＋6)×2＝9. 5．(2026·武汉月考)已知实数a，b，c，d满足3a－4b＋3＝0，6c－8d－14＝0，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为(　　) A．1 B．4 C．9 D．16 解析：选B．实数a，b，c，d满足3a－4b＋3＝0，6c－8d－14＝0，即实数a，b，c，d满足3a－4b＋3＝0，3c－4d－7＝0，则点(a，b)在直线3x－4y＋3＝0上，点(c，d)在直线3x－4y－7＝0上，且直线3x－4y＋3＝0与直线3x－4y－7＝0平行，所以(a，b)，(c，d)两点间的最短距离为＝2，所以(a－c)2＋(b－d)2的最小值为22＝4. 6．(多选)(2026·南阳月考)若点P(2a，a2)到直线3x－4y＋1＝0的距离为，则(　　) A．a∈Q B．a的最大值为2 C．a的最小值为－ D．a只有3个不同的取值 解析：选ABC．因为点P(2a，a2)到直线3x－4y＋1＝0的距离为，所以由点到直线的距离公式得＝， 化简得6a－4a2＋1＝±3，解得a＝1，a＝2或a＝±，可得a∈，则a∈Q，a的最大值为2，最小值为－，a有4个不同的取值，故A，B，C正确，D错误． 7．已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为___________________________________________________． 解析：设P(a，0)，则有＝6，解得a＝－12或a＝8，所以点P的坐标为(－12，0)或(8，0). 答案：(－12，0)或(8，0) 8．已知点A，B都在直线x＋y＋4＝0上，且点A，B的横坐标之差为2，点C(1，0)，则△ABC的面积为________． 解析：点C到直线AB的距离d＝＝，又|AB|＝|xA－xB|＝2，故S△ABC＝d·|AB|＝××2＝5. 答案：5 9．(2026·南通期中)已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y－1＝0都经过点A(1，1)，则两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)间的最短距离为________． 解析：因为两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y－1＝0都经过点A(1，1)， 所以a1＋b1＋1＝0，a2＋b2－1＝0， 所以P1(a1，b1)，P2(a2，b2)分别在直线x＋y＋1＝0，x＋y－1＝0上，所以两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)间的最短距离为两平行线间距离，即d＝＝. 答案： 10．(13分)(2026·扬州期中)已知直线l1：ax－2y－3＝0，l2：2x－4y＋9＝0. (1)若l1在x轴上的截距与l2在y轴上的截距相等，求a的值；(7分) (2)若l1∥l2，求l1与l2之间的距离．(6分) 解：(1)由题意知l2在y轴上的截距为. 当a＝0时，l1：y＝－，其在x轴上无截距，不符合题意； 当a≠0时，l1：x＝y＋，则l1在x轴上的截距为，所以＝，解得a＝， 综上所述，a＝. (2)因为l1∥l2，所以－4a＝－2×2，解得a＝1， 所以l1：x－2y－3＝0，即2x－4y－6＝0， 所以l1与l2之间的距离d＝＝. 11．已知直线l与m：x－y＋c＝0(c＜0)平行，且l，m之间的距离与点A(0，2)到l的距离均为1，则l在y轴上的截距为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．4 解析：选B．因为直线l与m：x－y＋c＝0(c＜0)平行，设直线l的方程为x－y＋t＝0(t≠c)，因为l，m之间的距离与点A(0，2)到l的距离均为1，则解得所以直线l的方程为x－y＝0，即y＝x，故直线l在y轴上的截距为0. 12．∀x，y∈R，函数f(x，y)＝ ＋|3x＋4y－5|的最小值为________． 解析：设点A(x，y)，B(1，4)和直线l: 3x＋4y－5＝0，A，B到l的距离分别为d1，d2，易知f(x，y)＝|AB|＋d1，如图，显然f(x，y)＝|AB|＋d1≥d2＝＝. 答案： 13．(15分)已知△ABC的顶点C在直线l：x－y＋2＝0上运动，点A的坐标为(0，－2)，点B的坐标为(2，0). (1)求直线AB的方程；(7分) (2)△ABC的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．(8分) 解：(1)由A(0，－2)，B(2，0)得kAB＝＝1， 由点斜式方程y－(－2)＝x－0，化简得x－y－2＝0. (2)△ABC的面积为定值． 由于kAB＝1＝kl，故AB∥l， 又点C在直线l：x－y＋2＝0上运动， 故点C到直线AB的距离为定值， 即为两条平行直线的距离 d＝＝2， 因为|AB|＝＝2， 所以S△ABC＝|AB|·d＝×2×2＝4. 14．(15分)已知直线l1：2x＋3y－7＝0与l2：2x＋3y＋8＝0. (1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)两点分别在直线l1，l2上运动，求AB的中点C到原点的最短距离；(7分) (2)若直线l过点P(1，1)，且被直线l1，l2截得的线段长为，求直线l的方程．(8分) 解：(1)设与直线l1，l2平行且到l1，l2距离相等的直线上的点为(x，y)， 则＝， 所以2x＋3y－7＝－2x－3y－8， 即4x＋6y＋1＝0， 所以AB的中点C到原点的最短距离即为原点到直线4x＋6y＋1＝0的距离， 所以所求最短距离为＝. (2)因为l1与l2之间的距离d＝＝， 所以直线l与直线l1，l2垂直，即直线l的斜率为，又直线l过点P(1，1)， 所以直线l的方程为y－1＝(x－1)，即3x－2y－1＝0. 15．(2026·绍兴月考)若直线m被两平行直线l1：x－y＋＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角大小为________． 解析： 设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为α， 两平行直线l1：x－y＋＝0与l2：x－y＋3＝0间的距离d＝＝， 因为直线m被两平行直线l1与l2所截得的线段长为，所以sin α＝＝， 所以α＝45°，因为直线l1的斜率为，所以其倾斜角为30°，所以直线m的倾斜角可以是30°＋45°＝75°或180°－45°＋30°＝165°. 答案：75°或165° 学科网（北京）股份有限公司 $