第1章 1.6 第1课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本高中数学讲义聚焦平面解析几何核心知识点，系统梳理斜率公式、两点间距离公式、中点坐标公式的应用，从基础的点坐标求解、直线方程确定，到综合的三角形形状判断、最值问题探究，构建递进式学习支架。 资料通过分层题目设计，基础题巩固公式应用，综合题提升推理能力，创新题（如折线距离）培养模型意识。例如第11题将函数最值转化为两点距离之和，体现数学眼光中的几何直观，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺。

1．过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为，则|MN|＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：选B．依题意，斜率k＝＝，解得a＝2，所以M(－2，2)，N(2，4)， 所以|MN|＝＝2. 2．已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3，4)，则|AB|＝(　　) A．10 B．5 C．8 D．6 解析：选A．设A(a，0)，B(0，b)，则a＝6，b＝8，即A(6，0)，B(0，8)， 所以|AB|＝＝10. 3．已知A(－1，2)，B(0，4)，点C在x轴上，且|AC|＝|BC|，则点C的坐标为(　　) A．(－，0) B．(0，－) C．(0，) D．(，0) 解析：选D．因为点C在x轴上，设点C(a，0)，且|AC|＝|BC|，所以＝，解得a＝，所以C(，0).故选D． 4．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：选C．根据两点间的距离公式得，|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝＝3，所以|AB|＝|AC|≠|BC|，且|AB|2＋|AC|2≠|BC|2，故△ABC是等腰非等边三角形．故选C． 5．设m∈R，过定点A的直线x＋my－m＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交于点P，则|PA|2＋|PB|2的值为(　　) A．5 B． C． D．与m的取值有关 解析：选A．直线x＋my－m＝0过定点A(0，1)，直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1，3)，且直线x＋my－m＝0和直线mx－y－m＋3＝0满足1×m－m×1＝0，故两直线垂直，故|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝12＋22＝5.故选A． 6．(多选)对于，下列说法正确的是(　　) A．可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B．可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C．可看作点(x，－1)与点(－1，2)的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 解析：选BD．由题意，可得 ＝＝ ＝， 可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离． 7．直线l1：3ax－y－2＝0和直线l2：y－2＝a(x－1)分别过定点A和B，则|AB|＝________． 解析：直线l1：3ax－y－2＝0经过的定点坐标为A(0，－2)，直线l2：y－2＝a(x－1)经过的定点坐标为B(1，2)，所以|AB|＝＝. 答案： 8．(2026·常州期中)已知A，B两点都在直线y＝x＋1上，且A，B两点横坐标之差为，则A，B两点之间的距离为________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|x1－x2|＝， |AB|＝ ＝ ＝＝2. 答案：2 9．已知直线l过点M(1，1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程为________________． 解析：由题意知直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，则k<0，直线l的方程为y－1＝k(x－1)，则A(1－，0)，B(0，1－k)，所以|MA|2＋|MB|2＝(1－1＋)2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋≥2＋2＝4，当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，此时直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即直线l的方程为x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 10．(13分)已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l与直线l1相交于点B，且使|AB|＝5，求直线l的方程． 解：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，联立解得即B.由|AB|＝＝5，解得k＝－，所以直线l的方程为y＋1＝－·(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.当直线l的斜率不存在时，方程为x＝1.此时直线l与l1的交点为B(1，4)，|AB|＝5，也满足题意，综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1. 11．(2026·晋中月考)函数y＝＋的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选B．由y＝＋＝＋， 设A(1，1)，B(4，3)，P(x，0)，得y的几何意义为|AP|＋|BP|的值． 点A(1，1)关于x轴的对称点为C(1，－1)，所以ymin＝|CB|＝＝5. 12．(多选)已知点A(－2，－1)，B(2，2)，直线l：ax＋y＋3a－3＝0上存在点P满足|PA|＋|PB|＝5，则a的值可能为(　　) A．－2 B．0 C．1 D．3 解析：选CD．直线l：ax＋y＋3a－3＝0变形为y－3＝－a(x＋3)，故直线l过定点C(－3，3)，且斜率为－a，又|AB|＝＝5， 要想直线l：ax＋y＋3a－3＝0上存在点P满足|PA|＋|PB|＝5， 即l：ax＋y＋3a－3＝0与线段AB有交点P，因为kBC＝＝－，kAC＝＝－4，故－a∈[－4，－]，解得a∈[，4]，故C，D满足要求． 13．(13分)如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2. 证明：以AC所在的直线为x轴，过点D作垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设B(b，c)，C(a，0)，则A(－a，0). |AB|2＋|BC|2－|AC|2 ＝(a＋b)2＋c2＋(a－b)2＋c2－(2a)2 ＝2b2＋2c2， 2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2， 所以|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2. 14．(15分)在△ABC中，A(－1，2)，边AC上的高BE所在的直线方程为7x＋4y－46＝0，边AB上的中线CM所在的直线方程为2x－11y＋54＝0. (1)求点C坐标；(4分) (2)求直线BC的方程；(5分) (3)在线段AC上是否存在一点F(异于点C)，使得|BC|＝|BF|？若存在，写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．(6分) 解：(1)因为AC边上的高BE所在的直线方程为7x＋4y－46＝0， 所以kBE＝－，所以kAC＝， 又直线AC经过点A(－1，2)， 所以直线AC的方程为y－2＝(x＋1)， 即4x－7y＋18＝0. 联立解得 即点C(6，6). (2)设B(a，b)，由CM为边AB上的中线，且A(－1，2)， 得AB的中点坐标为M(，). 又点M在直线2x－11y＋54＝0上， 所以有2×－11×＋54＝0，① 又点B在直线BE上， 所以7a＋4b－46＝0，② 联立①②解得a＝2，b＝8，即点B(2，8)， 又C(6，6)，所以kBC＝＝－， 所以直线BC的方程为y－6＝－(x－6)， 即x＋2y－18＝0. (3)假设在线段AC上存在一点F(x0，y0)(－1≤x0<6)，使得|BC|＝|BF|， 则有4x0－7y0＋18＝0，③ ＝，④ 又－1≤x0<6，⑤ 联立③④⑤解得所以存在点F满足题意，此时点F(，). 15．在平面直角坐标系中，定义d(S，T)＝|x2－x1|＋|y2－y1|为两点S(x1，y1)，T(x2，y2)之间的“折线距离”． ①若A(0，0)，B(1，1)，则d(A，B)＝________； ②原点O与直线x－y＋3＝0上任意一点M之间的折线距离d(O，M)的最小值为________． 解析：对于①，若A(0，0)，B(1，1)，则d(A，B)＝|1－0|＋|1－0|＝2； 对于②，设M(x，x＋3)，则d(O，M)＝|x|＋|x＋3|＝ 函数图象如图所示，则d(O，M)min＝3. 答案：①2　②3 学科网（北京）股份有限公司 $