第1章 2.2 圆的一般方程-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦圆的一般方程核心知识点，从圆的标准方程展开引入，系统讲解一般方程的形式、表示圆的条件（D²+E²-4F>0）及化为标准方程的方法，搭建起从标准方程到实际应用的学习支架。 该资料通过思考问题引导学生用数学眼光观察方程形式转化，结合待定系数法例题培养数学思维（推理与运算），即时练和跟踪训练助力学生用数学语言表达解题过程。课中辅助教师清晰授课，课后帮助学生巩固知识，查漏补缺。

2．2　圆的一般方程 新课导入 学习目标 　　给出如下方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，常数A，B，C，D，E，F适当取值，能表示直线吗？能表示二次函数对应的抛物线吗？能表示圆吗？圆的标准方程与上述方程有何关系？这就是这节我们需要解决的问题． 1.掌握圆的一般方程及其特点．　2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小．　3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程，解决相关问题． 知识点一　圆的一般方程的理解 思考1　圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可否化为二元二次方程的一般形式？ 提示：可以，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得到x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，令D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，则x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是二元二次方程的一般形式． 思考2　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？举例说明． 提示：不一定，如x2＋y2＝0，表示坐标原点O(0，0)；如x2＋y2＋1＝0，不能表示任何曲线． [知识梳理] 1．圆的一般方程的概念 一般地，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可以化为x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.在这个方程中，如果令D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，则这个方程可以表示成x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F >0)①的形式，其中D，E，F都是常数，形如①式的圆的方程称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(　　) (2)方程x2＋y2－4x－2y＋5＝0是圆的方程．(　　) (3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则有E≠0.(　　) (4)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(2026·宿州期中)圆x2＋y2＋4x＋2y＝0的圆心坐标是(　　) A．(－2，1) B．(－2，－1) C．(－1，2) D．(2，1) 解析：选B．圆的方程为x2＋y2＋4x＋2y＝0，所以圆心坐标为(－2，－1). 3．已知圆C的一般方程为x2＋y2－2ax－4ay＋4a2＋2a－3＝0，则该圆的半径的最小值为________． 解析：圆C的方程x2＋y2－2ax－4ay＋4a2＋2a－3＝0可化为(x－a)2＋(y－2a)2＝(a－1)2＋2，半径为，当a＝1时，圆C的半径取得最小值. 答案： 4．若点P(－1，2)在圆C：x2＋y2＋x＋y＋m＝0的外部，则实数m的取值范围是________． 解析：因为点P(－1，2)在圆C：x2＋y2＋x＋y＋m＝0的外部， 所以 即解得－6<m<. 答案：(－6，) 判断二元二次方程表示圆的两种方法 (1)配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形为“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F与0的关系，确定它是否表示圆． 注意　在利用D2＋E2－4F来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2与y2的系数． 知识点二　求圆的一般方程 [例1] (对接教材例4)已知点A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1). (1)求△ABC的外接圆的一般方程； (2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值． 【解】　(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得 解得即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. (2)由(1)知，△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，因为点M(a，2)在△ABC的外接圆上，所以a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6. 应用待定系数法求圆的方程的两个注意点 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. [跟踪训练1] (1)(2026·苏州期中)若四点(2，2)，(3，－1)，(5，3)，(6，m)(m＞0)在同一个圆上，则实数m的值为(　　) A． B．1 C． D．2 解析：选D．设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F＞0， 又点(2，2)，(3，－1)，(5，3)在圆上， 则 解得即圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0， 又点(6，m)(m＞0)在圆上，则36＋m2－48－2m＋12＝0，解得m＝2或m＝0(舍去). (2)已知圆C的圆心在直线3x＋2y＝0上，且圆C与x轴的交点分别为(－2，0)，(6，0)，则圆C的方程为________________． 解析：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心坐标为(－，－)， 因为圆C与x轴的交点分别为(－2，0)，(6，0)， 所以解得 因为圆C的圆心在直线3x＋2y＝0上，所以3·(－)＋2·(－)＝3·(－)＋2·(－)＝0，解得E＝6，所以圆C的方程为x2＋y2－4x＋6y－12＝0. 答案：x2＋y2－4x＋6y－12＝0 应用点　圆的方程的综合应用 [例2] 已知点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P为圆上异于点A的一个动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)求过点B的弦的中点T的轨迹方程． 【解】　(1)设线段AP的中点M(x，y)(0≤x<2)，由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2，2y). 因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤x<2). (2)设T(x，y).因为点T是弦的中点， 所以OT⊥BT(O为坐标原点). 方法一：当OT，BT斜率都存在时，有kOT·kBT＝－1，即·＝－1，整理得x2＋y2－x－y＝0. 当x＝0或x＝1时，点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)也都满足方程．故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0. 方法二：易得⊥，·＝(x，y)·(x－1，y－1)＝0，整理得x2＋y2－x－y＝0. 方法三：由圆的几何性质可知，点T一定在以线段OB为直径的圆上，此时圆心坐标为(，)，半径为|OB|＝，所以点T的轨迹方程为(x－)2＋(y－)2＝()2，整理得x2＋y2－x－y＝0. 母题探究　本例条件不变，若Q也是圆x2＋y2＝4上的动点，且∠PBQ＝90°，则线段PQ的中点N的轨迹方程为________________． 解析：设线段PQ的中点N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON，OP(图略)， 则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 答案：x2＋y2－x－y－1＝0 求轨迹方程的三种常用方法 [跟踪训练2] (2026·徐州月考)已知圆C：(x－3)2＋y2＝9，D是圆C上的动点，点E(2，4)，若动点M满足＝2，则点M的轨迹方程为(　　) A．(x－)2＋(y－2)2＝ B．(x－1)2＋(y－8)2＝9 C．(x－5)2＋(y＋8)2＝81 D．(x－8)2＋(y－1)2＝9 解析：选B．设M(x，y)，D(m，n)，因为E(2，4)，则＝(x－m，y－n)，＝(2－m，4－n)，由＝2， 可得(x－m，y－n)＝2(2－m，4－n)， 即故(*) 因为D是圆C上的动点，故(m－3)2＋n2＝9， 将(*)代入上式，可得(4－x－3)2＋(8－y)2＝9，整理得(x－1)2＋(y－8)2＝9，即为点M的轨迹方程． 1．(教材P33T1改编)圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心坐标为(　　) A．(1，2) B．(1，－2) C．(－1，－2) D．(－1，2) 解析：选D．由x2＋y2＋2x－4y＋1＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，故圆心坐标为(－1，2). 2．(多选)若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－2 解析：选AB．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＝－3a2－4a＋4>0，解得－2<a<，结合选项可知A，B正确，C，D错误． 3．过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为________________． 解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 因为圆过点(0，0)，(2，0)和(0，3)， 所以解得 所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－3y＝0. 答案：x2＋y2－2x－3y＝0 4．已知A(－1，1)，B(2，－2)，C(5，1). (1)点A到直线BC的距离为________； (2)△ABC的外接圆的一般方程为____________________________． 解析：(1)直线BC的方程为＝，化简可得x－y－4＝0，所以点A到直线BC的距离d＝＝＝3. (2)设△ABC的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点A，B，C的坐标代入，得 即解得故所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－4＝0. 答案：(1)3　(2)x2＋y2－4x－2y－4＝0 1．已学习：圆的一般方程及综合应用． 2．须贯通：待定系数法求圆的一般方程体现方程思想． 3．应注意：对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的一般方程时，要特别注意D2＋E2－4F>0这一条件． 学科网（北京）股份有限公司 $