第1章 2.1 圆的标准方程-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦圆的标准方程核心知识点，从圆的定义（平面内到定点距离等于定长的点的集合）出发，通过两点间距离公式推导标准方程（(x-a)²+(y-b)²=r²），进而学习点与圆的位置关系（距离与半径比较），最终应用于求方程、位置判断及最值问题，构建概念-推导-应用的完整学习支架。 该资料以“小时不识月”文学情境导入，引导学生用数学眼光观察现实世界。通过思考问题链推动从定义到方程的逻辑推导，培养数学思维。例题采用待定系数法与几何法对比、母题探究等设计，强化数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

§2　圆与圆的方程 2．1　圆的标准方程 新课导入 学习目标 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，在文学作品中有大量描写：小时不识月，呼作白玉盘．又疑瑶台镜，飞在青云端……，如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，那么我们如何确定该圆的方程呢？ 1.掌握圆的定义及标准方程．　2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系． 知识点一　圆的标准方程 思考1　圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．确定圆的要素：圆心和半径．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 思考2　已知圆心为A(a，b)，半径为r，设圆上任一点M(x，y)，你能得到x，y的关系吗？ 提示：|MA|＝r，由两点间的距离公式，得＝r，两边平方，得(x－a)2＋(y－b)2＝r2. [知识梳理] 1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹)叫作圆，其中定点是圆心，定长是半径． 2．圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． [例1] (1)(多选)下列说法错误的是(　　) A．圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1，2)，半径为5 B．圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为b C．圆(x－)2＋(y＋)2＝2的圆心为(，－)，半径为 D．圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(2，2)，半径为 (2)(对接教材例3)求经过点P(1，1)和坐标原点O，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程． 【解】　(1)选ABD．圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1，2)，半径为，A错误；圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为|b|，B错误，C正确；圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(－2，－2)，半径为，D错误．故选ABD． (2)方法一(待定系数法)：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 则有 解得所以圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 方法二(几何法)：由题意，OP是圆的弦，OP的中点坐标为(，)，且kOP＝1，即OP的垂直平分线为y－＝－(x－)，即x＋y－1＝0，弦的垂直平分线过圆心，由得即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝＝5. 所以圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 母题探究　本例(2)变为求经过点P(1，1)和坐标原点O且周长最小的圆的标准方程． 解：当线段OP为圆的直径时，过点O，P的圆的半径最小，从而周长最小，即所求圆以线段OP的中点(，)为圆心，＝为半径，故所求圆的标准方程为(x－)2＋(y－)2＝. 求圆的标准方程的常用方法 (1)直接法：求出圆心和半径，直接写出方程． (2)待定系数法：一般步骤为： (3)几何法：巧妙利用几何性质如垂径定理、切线的性质等确定圆心和半径，求出圆的标准方程． [跟踪训练1] (1)已知一个圆的方程满足：圆心为(－3，4)，且过原点，则它的方程为(　　) A．(x－3)2＋(y－4)2＝5 B．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25 C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25 解析：选D．设圆的半径为r，因为圆心为(－3，4)，且过点(0，0)，所以r＝＝5，所以圆的方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝25.故选D． (2)(2026·平谷月考)写出一个关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为________________． 解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r＞0，圆心坐标为(a，b)，半径为r，因为圆关于直线x－y＋1＝0对称，所以a－b＋1＝0，所以b＝a＋1， 不妨取a＝0，r＝1，则b＝1， 则关于直线x－y＋1＝0对称的一个圆的方程为x2＋(y－1)2＝1. 答案：x2＋(y－1)2＝1(答案不唯一，形如(x－a)2＋(y－a－1)2＝r2，r＞0即可) 知识点二　点与圆的位置关系 思考　平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判定？ 提示：分为点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以用圆心与点的距离与圆的半径相比较判断位置． [知识梳理] 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝. 位置关系 距离判断 方程判断 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 [例2] (对接教材例1)已知E(4，9)，F(6，3)两点，线段EF是圆C1的直径，求圆C1的标准方程，并判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)在圆上、圆内，还是在圆外． 【解】　因为E(4，9)，F(6，3)，线段EF是圆C1的直径， 所以圆心C1(5，6)，半径r＝|EF|＝×＝， 所以圆C1的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10. 因为(6－5)2＋(9－6)2＝10，所以M(6，9)在圆C1上； 因为(3－5)2＋(3－6)2＝13＞10，所以N(3，3)在圆C1外； 因为(5－5)2＋(3－6)2＝9＜10，所以Q(5，3)在圆C1内． 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小来判断． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断． [跟踪训练2] (1)(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则下列点在圆C内的是(　　) A．(0，0) B．(1，0) C．(2，1) D．(2，－1) 解析：选BC．对于A，因为(0－1)2＋(0－1)2＝2，所以点(0，0)在圆上，所以A不符合题意；对于B，因为(1－1)2＋(0－1)2＝1<2，所以点(1，0)在圆内，所以B符合题意；对于C，因为(2－1)2＋(1－1)2＝1<2，所以点(2，1)在圆内，所以C符合题意；对于D，因为(2－1)2＋(－1－1)2＝5>2，所以点(2，－1)在圆外，所以D不符合题意． (2)已知点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则实数a的取值范围为______________________________________________________________． 解析：由题意得(1－a)2＋(1＋a)2>4，即2＋2a2>4，可得a<－1或a>1. 所以实数a的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞). 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞) 应用点　与圆有关的最值问题 [例3] (1)已知点P为圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝4上一点，A(0，－4)，B(6，0)，则|＋|的最大值为(　　) A．5 B．7 C．10 D．14 (2)已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3，则x2＋y2的最大值是________，最小值是________． 【解析】　(1)设P(x0，y0)，则(x0＋1)2＋(y0－1)2＝4，因为A(0，－4)，B(6，0)，所以＝(－x0，－4－y0)，＝(6－x0，－y0)，则＋＝(6－2x0，－4－2y0)，故|＋|＝＝2， 而的几何意义为圆(x＋1)2＋(y－1)2＝4上的动点到点(3，－2)的距离，其最大值为＋2＝5＋2＝7，所以|＋|的最大值为14.故选D． (2)x2＋y2表示圆C：(x－2)2＋y2＝3上的点到原点的距离的平方．由平面几何知识知，x2＋y2在原点与圆心C(2，0)所在直线与圆C的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心C(2，0)到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4. 【答案】　(1)D　(2)7＋4　7－4 常见代数式的几何意义 (1)x2＋y2表示点(x，y)与原点的距离的平方． (2)(x－a)2＋(y－b)2表示点(x，y)与点(a，b)的距离的平方． [跟踪训练3] 已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求的最大值与最小值． 解：因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，圆心C(0，－4)，半径r＝2，因此 表示点A(－1，－1)与该圆上点的距离．因为|AC|2＝(－1－0)2＋(－1＋4)2＝10>4， 所以点A(－1，－1)在圆外．如图所示．所以|AC|＝，所以的最大值为|AC|＋r＝＋2，最小值为|AC|－r＝－2. 1．在平面直角坐标系中，圆心为(1，－3)，半径为2的圆的标准方程为(　　) A．(x－1)2＋(y＋3)2＝4 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝2 C．(x＋1)2＋(y－3)2＝4 D．(x＋1)2＋(y－3)2＝2 解析：选A．圆心为(1，－3)，半径为2的圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝4. 2．(多选)已知圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是(　　) A．圆M的圆心为(4，－3) B．点(1，0)在圆内 C．圆M的半径为5 D．点(－3，1)在圆内 解析：选ABC．圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25的圆心为(4，－3)，半径为5，A，C正确；由(1－4)2＋(0＋3)2＝18<25，得点(1，0)在圆内，B正确；由(－3－4)2＋(1＋3)2＝65>25，得点(－3，1)在圆外，D错误． 3．(2026·湘潭期中)过三点(0，0)，(4，0)，(4，2)的圆的标准方程为________________． 解析：以点(0，0)，(4，0)为端点的线段的中垂线的方程为x＝2，以点(4，0)，(4，2)为端点的线段的中垂线的方程为y＝1，则过三点(0，0)，(4，0)，(4，2)的圆的圆心坐标为(2，1)，半径r＝＝，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5 4．已知三点A(3，2)，B(5，－3)，C(－1，3)，以P(2，－1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程． 解：由题设知，|PA|＝，|PB|＝，|PC|＝5，所以|PA|<|PB|<|PC|，要使A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则圆以|PB|为半径，故圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13. 1．已学习：圆的标准方程及点和圆的位置关系． 2．须贯通：求圆的标准方程有待定系数法和几何性质法，利用方程思想和数形结合思想． 3．应注意：利用几何法求圆的标准方程时，要全面考虑，否则易出现漏解的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $