第1章 2.1 圆的标准方程-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

§2　圆与圆的方程

2．1　圆的标准方程

知识点一　圆的标准方程

思考1　圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？

提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．确定圆的要素：圆心和半径．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．

思考2　已知圆心为A(a，b)，半径为r，设圆上任一点M(x，y)，你能得到x，y的关系吗？

提示：|MA|＝r，由两点间的距离公式，得＝r，两边平方，得(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

[知识梳理]

1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹)叫作圆，其中定点是圆心，定长是半径．

2．圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2

＝r2．

[例1] (1)(多选)下列说法错误的是(　　)

A．圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1，2)，半径为5

B．圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为b

C．圆(x－)2＋(y＋)2＝2的圆心为(，－)，半径为

D．圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(2，2)，半径为

(2)(对接教材例3)求经过点P(1，1)和坐标原点O，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程．

【解】　(1)选ABD．圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1，2)，半径为，A错误；圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为|b|，B错误，C正确；圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(－2，－2)，半径为，D错误．故选ABD．

(2)方法一(待定系数法)：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，

则有

解得所以圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.

方法二(几何法)：由题意，OP是圆的弦，OP的中点坐标为(，)，且kOP＝1，即OP的垂直平分线为y－＝－(x－)，即x＋y－1＝0，弦的垂直平分线过圆心，由得即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝＝5.

所以圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.

母题探究　本例(2)变为求经过点P(1，1)和坐标原点O且周长最小的圆的标准方程．

解：当线段OP为圆的直径时，过点O，P的圆的半径最小，从而周长最小，即所求圆以线段OP的中点(，)为圆心，＝为半径，

故所求圆的标准方程为(x－)2＋(y－)2＝.

求圆的标准方程的常用方法

(1)直接法：求出圆心和半径，直接写出方程．

(2)待定系数法：一般步骤为：

(3)几何法：巧妙利用几何性质如垂径定理、切线的性质等确定圆心和半径，求出圆的标准方程．

[跟踪训练1] (1)已知一个圆的方程满足：圆心为(－3，4)，且过原点，则它的方程为(　　)

A．(x－3)2＋(y－4)2＝5 B．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25

C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25

解析：选D．设圆的半径为r，因为圆心为(－3，4)，且过点(0，0)，所以r＝＝5，所以圆的方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝25.故选D．

(2)(2026·平谷月考)写出一个关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为________________．

解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r＞0，圆心坐标为(a，b)，半径为r，因为圆关于直线x－y＋1＝0对称，所以a－b＋1＝0，所以b＝a＋1，

不妨取a＝0，r＝1，则b＝1，

则关于直线x－y＋1＝0对称的一个圆的方程为x2＋(y－1)2＝1.

答案：x2＋(y－1)2＝1(答案不唯一，形如(x－a)2＋(y－a－1)2＝r2，r＞0即可)

知识点二　点与圆的位置关系

思考　平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判定？

提示：分为点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以用圆心与点的距离与圆的半径