3 2.3　直线与圆的位置关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

本讲义聚焦“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理从初中几何直观（相离、相切、相交）到坐标系下代数法（判别式）与几何法（圆心距与半径关系）的判断方法，延伸至相切切线方程、相交弦长计算及实际应用，构建完整知识支架。 资料通过太阳落山情境引入培养数学眼光，一题多解（如几何法与代数法判断位置关系）和变式探究发展数学思维，实际问题（台风、轮船航线）提升数学语言表达能力。课中辅助教师高效授课，课后分层评价与对点练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2.3　直线与圆的位置关系 学习目标 1.能根据给定直线、圆的方程，会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系，培养直观想象、数学运算的核心素养.　2.掌握直线与圆相切时的切线方程和相交时的弦长问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　直线与圆的位置关系 问题1.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面太阳落山的图片，结合初中平面几何知识，思考：直线与圆有哪些位置关系？ 提示：相离、相切与相交. 问题2.在平面直角坐标系中，如何由直线l与圆C的方程判断它们的位置关系？ 提示：直线与圆的位置关系可由圆心到直线的距离与半径的大小关系来决定，也可以根据它们的方程组成的方程组解的情况来决定. 一般地，已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则它们的位置关系的判断方法： 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断 方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝(A，B不全为0) d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 [微思考]　若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d与半径r有何关系？ 提示：d≤r. (一题多解)(链教材P34例6)已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点. 解：法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. 则Δ＝4m(3m＋4). (1)当Δ＞0，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点. (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点. (3)当Δ＜0，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2，1)，半径r＝2. 圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝＝ . (1)当d＜2，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点. (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点. (3)当d＞2，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 直线与圆的位置关系的判断方法 1.几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断. 2.代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断. 3.点与圆的位置关系法：若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交. 注意：上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适合于动直线问题. 学生用书⬇第37页 对点练1.(1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　) A.l与圆C相交 B.l与圆C相切 C.l与圆C相离 D.以上三个选项均有可能 (2)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是(　　) A.(0，2] B.(1，2] C.(0，2) D.(1，2) 答案：(1)A(2)C 解析：(1)将点P(3，0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3＜0，所以点P(3，0)在圆内.所以过点P的直线l必与圆C相交.故选A. (2)由题意得，圆心到直线的距离d＝＞，所以m＜2.因为m＞0，所以0＜m＜2.故选C. 任务二　直线与圆相切问题 (链教材P35例7)若直线l过点P(2，3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程. 解：因为(2－1)2＋(3＋2)2＞1，所以点P在圆外. 法一：①若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0. 因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切， 所以＝1，所以k＝. 所以直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0. ②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求. 所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2. 法二：①若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋3， 与圆的方程联立消去y得(x－1)2＋[k(x－2)＋3＋2]2＝1， 整理得(k2＋1)x2－(4k2－10k＋2)x＋4k2－20k＋25＝0， 所以Δ＝(4k2－10k＋2)2－4(k2＋1)(4k2－20k＋25)＝0， 所以k＝.此时直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0. ②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求. 所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2. [变式探究] 1.(变设问)在本例条件下，求此切线长. 解：因为点P(2，3)到圆心(1，－2)的距离为＝， 所以切线长为＝5. 2.(变条件)若本例点P的坐标改为P(2，－2)，其他条件不变，求直线l的方程. 解：因为(2－1)2＋(－2＋2)2＝1，所以点P在圆上. 所以过P(2，－2)的切线方程为x＝2， 即直线l的方程为x＝2. 求圆的切线方程的方法 几何法 设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求未知量，进而求出切线方程 代数法 设出切线方程，与圆的方程联立，消元得到一元二次方程，利用Δ＝0求未知量，进而求切线方程 设切 点法 先利用切线的性质解出切点坐标，再利用直线的两点式写出切线方程 注意：(1)设切线方程时注意斜率是否存在；(2)求过圆外一点的圆的切线时，若用几何法求出的切线只有一条，则另一条切线的斜率是不存在的，可根据圆外点的坐标直接写出方程. 对点练2.(1)已知过点M(2，1)的直线l与圆C：x2＋y2－2x－6y＋5＝0相切，则直线l的方程为(　　) A.2x＋y－5＝0 B.x－2y－5＝0 C.x－2y＝0 D.x＝2或2x＋y－5＝0 (2)已知圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4及圆C外一点M(－4，－1)，过点M作圆C的一条切线，切点为N，则△MNC的面积为　　　　. 答案：(1)C(2)6 解析：(1)由题知圆C：(x－1)2＋(y－3)2＝5，圆心C的坐标为(1，3).因为(2－1)2＋(1－3)2＝5，所以点M在圆C上.因为kMC＝＝－2，所以直线l的斜率k＝，所以直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0.故选C. (2)因为圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4的圆心为C(2，1)，半径r＝2，由题意得，CN⊥MN，所以｜MN｜＝＝＝6，所以△MNC的面积为×2×6＝6. 任务三　直线与圆相交问题 (一题多解)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1，2)作直线l交圆于A，B两点，若直线l的倾斜角为π，求弦AB的长. 解：法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0. 由消去y，得2x2－2x－7＝0， 所以x1＋x2＝1，x1x2＝－， 所以｜AB｜＝｜x1－x2｜＝·＝·＝(k为直线l的斜率). 法二：由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0. 圆心(0，0)到直线l的距离d＝＝， 则有｜AB｜＝2＝. [变式探究] (变设问)若本例改为“过点(－1，2)的直线被圆x2＋y2＝8截得的弦长为”，求该直线方程. 解：由例题知圆心为(0，0)，半径r＝2，当弦长为时，圆心到直线的距离d＝＝. 又因为直线过(－1，2)，知直线斜率一定存在，设直线斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x＋1)， 利用点到直线的距离公式，d＝＝， 整理得(k＋1)(k＋7)＝0，得k＝－1或k＝－7. 所以所求直线方程为y－2＝－(x＋1)或y－2＝－7(x＋1)，即x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0. 学生用书⬇第38页 求弦长的常用方法 1.几何法：利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题. 2.交点坐标法：利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长. 3.公式法：利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长｜AB｜＝｜x1－x2｜＝. 对点练3.已知直线l：x＋y＋2＝0与圆C：x2＋y2＝9相交于A，B两点. (1)(一题多解)求线段AB的长； (2)求线段AB中点的坐标. 解：(1)法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则｜AB｜2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2. 因为A(x1，y1)，B(x2，y2)都是直线x＋y＋2＝0上的点，所以 两式相减可得x2－x1＋y2－y1＝0，因此y2－y1＝－(x2－x1)， 从而｜AB｜2＝(x2－x1)2＋[－(x2－x1)]2＝2(x2－x1)2. 由方程组消去y，整理得2x2＋4x－5＝0，而且x1，x2是这个方程的两个根， 因此由根与系数的关系可知 所以(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝(－2)2－4×＝14， 因此｜AB｜2＝2×14＝28，从而可知｜AB｜＝2. 法二：如图所示，设AB的中点为M，根据垂径定理可知OM⊥AB，因此△AMO是直角三角形. 由点到直线的距离公式可知｜OM｜＝＝， 又OA是圆的半径，因此｜OA｜＝＝3， 从而在Rt△AMO中，有｜AM｜＝＝＝. 因此｜AB｜＝2｜AM｜＝2. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且线段AB的中点坐标为(x0，y0)，则x0＝，y0＝. 由(1)中的法一可知x0＝＝＝－1， 又因为直线l的方程可以化为y＝－x－2， 所以y0＝－(－1)－2＝－1， 因此所求中点坐标为(－1，－1). 任务四　直线与圆的方程的实际应用 如图所示，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O，A，B三点. (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？ 解：(1)由题意，得A(40，40)，B(20，0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则 所以圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0. (2)该船初始位置为点D，则D(－20，－20)， 且该船航线所在直线l的斜率为1， 故该船航行方向为直线l：x－y＋20－20＝0， 由(1)得圆C的圆心为C(10，30)，半径r＝10， 由于圆心C到直线l的距离d＝＝10＜10，故该船有触礁的危险. 直线与圆的方程解决实际问题的步骤 第一步(审题)：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知； 第二步(建系)：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素； 第三步(求解)：利用直线与圆的有关知识求出未知； 第四步(还原)：将运算结果还原到实际问题中去. 对点练4.一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度， 则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1， 即4x＋7y－28＝0.圆心(0，0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，而半径r＝3， 因为d＞r，所以直线与圆相离，所以轮船不改变航线，不会受到台风的影响. 任务 再现 1.直线与圆的位置关系.2.直线与圆相切问题.3.直线与圆相交问题.4.直线与圆的方程的实际应用 方法 提炼 几何法、代数法、弦长公式法 易错 警示 求直线方程时易忽略斜率不存在的情况 学生用书⬇第39页 1.直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　) A.相交且过圆心 B.相切 C.相离 D.相交但不过圆心 答案：D 解析：因为圆心为(1，－1)，r＝3，圆心到直线的距离d＝＝，所以0＜d＜r，所以直线与圆相交但不过圆心.故选D. 2.圆x2＋y2＝4在点P(，－1)处的切线方程为(　　) A.x＋y－2＝0 B.x＋y－4＝0 C.x－y－4＝0 D.x－y＋2＝0 答案：C 解析：因为()2＋(－1)2＝4，所以点P在圆上，所以点P为切点.因为切点与圆心连线的斜率为－，所以切线的斜率为，所以切线方程为y＋1＝(x－)，即x－y－4＝0.故选C. 3.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长为　　　　. 答案：2 解析：由题意得，直线方程为y＝x，圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心(2，0)到直线的距离d＝＝，弦长l＝2＝2＝2. 4.已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－2，0)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被圆C挡住，则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 答案：∪ 解析：由题意知，AB所在直线与圆C相离时，视线不被挡住，直线AB的方程为y＝(x＋2)，即ax－5y＋2a＝0，所以圆心到直线AB的距离d＝＞1，解得a＞或a＜－. 学科网（北京）股份有限公司 $