第1章 2.2 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦圆的方程核心知识点，系统梳理圆的标准方程与一般方程的转化，从圆心坐标、半径确定到点与圆位置关系判断，再到动点轨迹方程求解，构建基础到综合的学习支架。 资料设计分层递进，融入期中、月考真题，通过第9题动点轨迹探究培养数学眼光，第14题定值推理发展数学思维，规范解答步骤提升数学语言表达。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

1．圆x2＋y2＋2x＝0的圆心在(　　) A．x轴上 B．y轴上 C．第一象限 D．第二象限 解析：选A．圆x2＋y2＋2x＝0的圆心坐标为(－1，0)，在x轴上． 2．已知圆C经过点(－1，1)和点(1，3)，且圆心在y轴上，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2＋4y＋2＝0 B．x2＋y2－4x＋2＝0 C．x2＋y2－4y＋2＝0 D．x2＋y2＋4x＋2＝0 解析：选C．设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 则圆心坐标为(－，－)， 则有 解得则圆C的方程为x2＋y2－4y＋2＝0. 3．(2026·扬州期中)已知P(0，2)在圆C：x2＋y2＋4x＋m＝0外，则实数m的取值范围为(　　) A．－4＜m＜4 B．m＜4 C．m＜－4或m＞4 D．m＞－4 解析：选A．将圆C的方程化为标准方程为(x＋2)2＋y2＝4－m，因为该方程表示圆，所以4－m＞0，即m＜4.点P(0，2)在圆C外，所以(0＋2)2＋22＞4－m，解得m＞－4.综上，－4＜m＜4. 4．(2026·泰州期中)已知圆x2＋y2＋4x－2ay＋3a2－a＋1＝0的圆心在第三象限，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，0) B．(－，0) C．(－1，0) D．(－1，) 解析：选C．由x2＋y2＋4x－2ay＋3a2－a＋1＝0，得到(x＋2)2＋(y－a)2＝－2a2＋a＋3，则圆心坐标为(－2，a)，由题意得解得－1＜a＜0. 5．(2026·临沂期中)已知圆C：x2＋y2＋2mx－4y＋2m2－2m＋1＝0，点P在直线l：x＋y＋1＝0上，当圆C的半径最大时，|CP|的最小值为(　　) A． B． C．2 D．2 解析：选A．设圆C的半径为r.由题意，圆C的标准方程为(x＋m)2＋(y－2)2＝－m2＋2m＋3，所以圆心C(－m，2)，r2＝－m2＋2m＋3＞0，解得－1＜m＜3.由二次函数的性质知，当m＝1时，r2取得最大值，即r取得最大值，此时C(－1，2)，r＝2.因为点C到直线l的距离d＝＝，所以|CP|的最小值为. 6．(多选)已知圆C：x2＋y2－2ax－4ay＋5a2＋a－6＝0，则下列说法正确的是(　　) A．圆C的半径为6－a B．圆C关于直线y＝2x对称 C．若a＝1，则圆C过坐标原点 D．若圆C的圆心到y轴的距离等于圆C的半径，则a＝2或a＝－3 解析：选BCD．对于A，圆C：(x－a)2＋(y－2a)2＝6－a，所以圆心为C(a，2a)，圆的半径r＝(a<6)，故A错误； 对于B，因为圆心C(a，2a)在直线y＝2x上，故圆C关于直线y＝2x对称，故B正确； 对于C，当a＝1时，圆C：x2＋y2－2x－4y＝0，所以圆C过坐标原点，故C正确； 对于D，由|a|＝且a<6⇒a＝2或a＝－3，故D正确． 7．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0的半径为3，则a＝________． 解析：将圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0的方程转化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，因为圆C的半径为3，所以5－a＝9，即a＝－4. 答案：－4 8．在平面直角坐标系中，过直线x＋y－2＝0与两坐标轴的交点及点(0，0)的圆的一般方程为________________． 解析：在x＋y－2＝0中，令y＝0，得x＝2，所以直线x＋y－2＝0与x轴的交点为A(2，0)，令x＝0，得y＝2，所以直线x＋y－2＝0与y轴的交点为B(0，2)，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，因为A(2，0)，B(0，2)，O(0，0)三点都在圆上，所以解得故所求圆的方程为x2＋y2－2x－2y＝0. 答案：x2＋y2－2x－2y＝0 9．(2026·泉州期中)已知点A是圆x2＋y2＝4上的一动点，点B(2，4)，点P是线段AB的中点，则动点P的轨迹方程是________________． 解析：设点P(x，y)，A(x0，y0)， 所以则① 又x＋y＝4，将①代入有(2x－2)2＋(2y－4)2＝4，即x2－2x＋y2－4y＋4＝0. 答案：x2－2x＋y2－4y＋4＝0 10．(13分)下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径． (1)x2＋y2－4x＝0；(4分) (2)x2＋y2－4x－2y＋5＝0；(4分) (3)2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0.(5分) 解：(1)由方程可知，D＝－4，E＝F＝0， 因为D2＋E2－4F＝D2＝16>0， 所以方程表示圆，又－＝2，－＝0， 所以圆心为(2，0)， 圆的半径为r＝＝2. (2)由方程可知，D＝－4，E＝－2，F＝5，因为D2＋E2－4F＝16＋4－20＝0， 所以方程表示点，又－＝2，－＝1， 所以方程表示的点的坐标是(2，1). (3)原方程可化为x2＋y2－x＋2y＋3＝0，由方程可知D＝－，E＝2，F＝3，因为D2＋E2－4F＝＋4－12<0，所以该方程无实数解，方程不表示任何图形． 11．曲线x2＋y2＝4|x|＋4|y|(x，y不同时为0)的周长为(　　) A．4π B．8π C．12π D．16π 解析：选B．因为x，y不同时为0，所以曲线x2＋y2＝4|x|＋4|y|可化为 曲线的图象如图所示， 曲线由以A，B，C，D四个点为圆心，半径为2的四个半圆弧构成，所以曲线的周长为4×π×2＝8π. 12．已知圆C经过两点P(－1，－3)，Q(2，6)，且圆心在直线x＋2y－4＝0上，若直线l的方程为x＋m(y－1)＋1＝0(m∈R)，圆心C到直线l的距离是1，则m的值是________． 解析：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 由条件，得 解得因此圆C的一般方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0， 故圆心C(2，1)，因此圆心C到直线l的距离d＝＝1，解得m＝±2. 答案：±2 13．(13分)已知圆E经过点A(0，0)，且恒被直线x－my＋m＝0(m∈R)平分． (1)求圆E的标准方程；(6分) (2)设P是圆E上异于点A的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．(7分) 解：(1)直线x－my＋m＝0(m∈R)恒过点(0，1). 因为圆E恒被直线x－my＋m＝0(m∈R)平分，所以直线x－my＋m＝0(m∈R)恒过圆心，所以圆心坐标为(0，1)，又圆E经过点A(0，0)，所以圆E的半径r＝1， 所以圆E的标准方程为x2＋(y－1)2＝1. (2)设M(x，y)(0＜y≤1).因为M为线段AP的中点，所以P(2x，2y). 因为点P是圆E上的动点，所以(2x)2＋(2y－1)2＝1，即x2＋y2－y＝0，所以M的轨迹方程为x2＋y2－y＝0(0＜y≤1). 14．(15分)(2026·沧州月考)已知圆心在x轴上的圆C过A(－2，4)，B(5，3)两点，其中O为坐标原点． (1)求圆C的一般方程；(6分) (2)设P为圆C上的一动点，M(－24，0)，探究是不是定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．(9分) 解：(1)设圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 则解得 所以圆C的一般方程为x2＋y2－2x－24＝0. (2)为定值．设P(x，y)，则|PM|＝，|PO|＝， 所以＝，因为P为圆C上的动点，所以y2＝24－x2＋2x(－4≤x≤6)， 所以＝ ＝ ＝＝＝5， 所以为定值5. 15．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是一个圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点P在边长为6的正方形ABCD 内(包含边界)运动，且满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹长度为________． 解析：如图，以B为原点，AB，BC所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系Bxy， 则A(－6，0)，B(0，0)，设P(x，y)， 因为|PA|＝2|PB|， 即＝2， 整理得(x－2)2＋y2＝16(x≤0，y≥0).所以动点P的轨迹为以O(2，0)为圆心，4为半径的圆的一部分． 设圆O与线段AB交于点M，与线段BC交于点R，因为在Rt△RBO中，|RO|＝4，|BO|＝2，所以∠ROB＝，所以＝×4＝，所以动点P的轨迹长度为. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $