第1章 1.5 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本高中数学讲义聚焦直线方程综合应用核心知识点，系统梳理直线斜率与截距、交点坐标求解、垂直平行关系判定，以及在三角形、矩形等几何图形中的应用，构建从基础方程到综合问题的学习支架。 资料通过选择、填空、解答题的层次设计，结合三角形高所在直线、矩形顶点坐标等实例，培养学生数学思维（推理能力）与数学眼光（几何直观）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识，查漏补缺。

1．若直线l的斜率、在y轴上的截距分别为2，－1，直线m经过原点O且斜率为3，则直线l，m的交点坐标为(　　) A．(－1，－3) B．(1，－3) C．(－1，3) D．(－3，－1) 解析：选A． 由题意，直线l的方程为y＝2x－1，直线m的方程为y＝3x， 联立解得故直线l，m的交点为(－1，－3). 2．若直线x＋ay＋15＝0经过两直线5x－3y－17＝0和x－y－5＝0的交点，则a＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选B． 联立可得即交点坐标为(1，－4)，将(1，－4)代入直线x＋ay＋15＝0，可得a＝4. 3．(2026·邯郸期中)点P为直线l1：x－y＋1＝0和直线l2：2x＋y－4＝0的交点，O为坐标原点，则直线OP的方程为(　　) A．y＝x B．y＝2x C．y＝－x D．y＝－2x 解析：选B．联立可得点P的坐标为(1，2)，所以直线OP的方程为y＝2x. 4．(2026·苏州期中)直线l与直线l1：x－3y＝0及直线l2：x＋y－4＝0相交于同一点，且(1，1)为l的一个方向向量，则l在y轴上的截距为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选A．联立得故直线l过点(3，1)，又(1，1)为直线l的一个方向向量，则直线l的斜率为1，故直线l：y＝x－2，当x＝0时，y＝－2，即l在y轴上的截距为－2. 5．已知△ABC三边所在直线的方程分别为AB：3x＋4y＋12＝0，BC：4x－3y＋16＝0，AC：2x＋y－2＝0，则AC边上的高所在直线的方程是(　　) A．x－2y＋4＝0 B．2x－4y＋9＝0 C．4x－3y－9＝0 D．7x＋y＋28＝0 解析：选A．设AC边上的高所在直线的斜率为k，则有解得k＝， 联立得B(－4，0)， 所以△ABC中AC边上的高所在直线过点B(－4，0)，斜率为k＝，所以所求方程为y＝(x＋4)，即x－2y＋4＝0. 6．(多选)已知两直线(m＋2)x－y＋m＝0，x＋y＝0与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有(　　) A．－3 B．－2 C．－1 D．0 解析：选ABD．由题知，三条直线中任意两条均有交点，且三条直线不能经过同一点．于是解得m≠－2且m≠－3且m≠0.故选ABD． 7．过直线x＋y＋1＝0和3x－y－3＝0的交点，倾斜角为45°的直线方程为______________________________________________． 解析：联立 可得 故交点坐标为(，－)，又倾斜角为45°，所以斜率为1，故直线方程为y＋＝x－，即y＝x－2. 答案：y＝x－2 8．已知直线l1：x＋(m－1)y＝0，l2：mx＋y－1＝0，若满足l1⊥l2，则两直线的交点坐标为________． 解析：因为直线l1：x＋(m－1)y＝0与直线l2：mx＋y－1＝0垂直，所以m＋m－1＝0，解得m＝， 所以 即解得 故两直线的交点坐标为(，). 答案：(，) 9．(2026·驻马店月考)已知矩形ABCD的边AB所在直线的方程为2x－y＋4＝0，顶点D(0，－1)，则顶点A的坐标为________． 解析：因为AB⊥AD，且边AB所在直线的方程为2x－y＋4＝0，故可设AD所在直线的方程为x＋2y＋m＝0，将D(0，－1)代入，可得m＝2，所以AD所在直线的方程为x＋2y＋2＝0. 由解得 即顶点A的坐标为(－2，0). 答案：(－2，0) 10．(13分)已知△ABC的顶点A(3，1)，AB边上的高所在的直线方程为4x－y－13＝0，AC边上的中线所在的直线方程为5x－2y－12＝0. (1)求直线AB的方程；(6分) (2)求点C的坐标．(7分) 解：(1)设AB边上的高为CE，因为CE⊥AB，且直线CE的方程为4x－y－13＝0，故斜率为4，所以直线AB的斜率为－，因为A(3，1)，所以直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋4y－7＝0. (2)设D为AC的中点，且D(a，b)，则C(2a－3，2b－1)，BD所在直线的方程为5x－2y－12＝0，由题意得 解得即点C的坐标为(5，7). 11．已知三条直线l1：x－2y＋2＝0，l2：y－2＝0，l3：mx＋y＝0将平面分为六个部分，则满足条件的m的值共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 解析：选C．因为三条直线l1：x－2y＋2＝0，l2：y－2＝0，l3：mx＋y＝0将平面分为六个部分，所以三条直线交于一点或两条直线平行且与第三条直线相交． 当三条直线交于一点时， 联立可得x＝y＝2， 此时2m＋2＝0，即m＝－1； 当两条直线平行且与第三条直线相交时，可得l1∥l3或l2∥l3，所以m＝－或m＝0. 12．(多选)已知直线l1：xsin α＋y＝0与直线l2：x＋3y＋c＝0，则下列结论中正确的是(　　) A．直线l1与直线l2可能相交 B．直线l1与直线l2可能重合 C．直线l1与直线l2可能平行 D．直线l1与直线l2可能垂直 解析：选ABC．直线l1：xsin α＋y＝0的斜率为－sin α，过定点(0，0)，直线l2：x＋3y＋c＝0的斜率为－，过点(－c，0)，若直线l1与直线l2相交，则sin α≠，而－1≤sin α≤1，即sin α≠可以成立，故A正确；若直线l1与直线l2重合，则c＝0，且sin α＝，而－1≤sin α≤1，可以有sin α＝，故B正确；若直线l1与直线l2平行，则sin α＝且c≠0，而－1≤sin α≤1，可以有sin α＝，故C正确；若直线l1与直线l2垂直，则sin α＝－1，则sin α＝－3，与－1≤sin α≤1矛盾，直线l1与直线l2不可能垂直，故D错误．故选ABC． 13．已知△ABC的顶点B(－5，－2)，C(1，－2)，一条角平分线所在直线为x－y－1＝0，则点A的坐标为________． 解析：如图所示，易知点A在直线x－y－1＝0上，设点D(xD，yD)为点C(1，－2)关于直线x－y－1＝0的对称点．由于直线CD与直线x－y－1＝0垂直，且线段CD的中点在直线x－y－1＝0上，则解得因此点D的坐标为(－1，0).根据对称性可知点D(－1，0)在直线AB上，又点B的坐标为(－5，－2)，于是直线AB的方程为＝，即x－2y＋1＝0.联立解得得点A的坐标为(3，2). 答案：(3，2) 14．(13分)已知直线l1的方程为x＋2y－4＝0，若直线l2过点(，0)，且l1⊥l2. (1)求直线l1和直线l2的交点坐标；(6分) (2)已知直线l3经过直线l1与直线l2的交点，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的，求直线l3的方程．(7分) 解：(1)经过点(，0)且与x＋2y－4＝0垂直的直线为l2：2(x－)－y＝0，即2x－y－3＝0. 由解得 所以直线l1和直线l2的交点坐标为(2，1). (2)因为直线l3与两坐标轴都相交，故斜率一定存在且不为0. 设l3：y－1＝k(x－2). 直线l3交x轴于点(2－，0)，交y轴于点(0，1－2k). 由2－＝(1－2k)，可得k＝或k＝－2. 所以直线l3的方程为y＝x或y＝－2x＋5. 15．(15分)(2026·萍乡期中)已知两点P(1，4)，Q(3，2)，直线l1为线段PQ的中垂线，直线l2过点A(，)，且与直线PQ平行． (1)求l1与l2的一般式方程；(7分) (2)求l1，l2与y轴围成的三角形的面积．(8分) 解：(1)由题知，直线PQ的斜率kPQ＝＝－1，线段PQ的中点坐标为(2，3)， 则l1的斜率k1＝－＝1，直线l1过点(2，3)，故y－3＝1·(x－2)，即l1的一般式方程为x－y＋1＝0； l2的斜率k2＝kPQ＝－1，直线l2过点A(，)，故y－＝－1·(x－)，即l2的一般式方程为x＋y－3＝0. (2) 如图，令x＝0求得l1，l2与y轴的交点分别为B(0，1)，C(0，3)，所以|BC|＝2， 联立解得即l1与l2的交点坐标为D(1，2)， 则l1，l2与y轴围成的三角形为△BCD，其面积为S＝|BC|·xD＝×2×1＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $