第1章 1.6 第2课时 点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式这一核心知识点，作为解析几何的学习支架，承接直线的一般式方程，为距离相关最值问题及几何应用奠定基础。 该资料以立定跳远实例导入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过向量方法推导公式发展数学思维中的推理能力，结合母题探究与跟踪训练强化数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固公式应用，查漏补缺。

第2课时　点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式 新课导入 学习目标 立定跳远是指不带助跑的原地跳远，是在两腿蹬伸、上体伸展、两臂用力摆动情况下，使身体腾起并获得远度的跳跃项目，是《国家体育锻炼标准》项目之一．立定跳远测量的是什么距离？ 1.结合教材实例了解点到直线的距离公式的推导过程．　2.会求点到直线的距离．　3.掌握两条平行直线间的距离公式及应用．　4.能利用距离公式解决与交点相关的问题． 知识点一　点到直线的距离公式 思考1　 什么是点到直线的距离？ 提示：点到直线的距离是该点与直线上任一点的距离的最小值，也就是过该点向直线所引的垂线段的长度． 思考2　向量是解决空间距离问题的有力工具，如图所示，怎样用向量方法求点P到直线l的最短距离呢？ 提示：从直线l上任取一点M，可以看作在直线l的垂线上的投影向量，求出的模即可． [知识梳理] 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝(其中A，B不全为0). [例1] (对接教材例23)求过点A(－1，2)，且原点到直线的距离等于的直线方程． 【解】　由条件可知所求直线的斜率是存在的．设所求直线的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋2＋k＝0.由题意得＝，解得k＝－1或k＝－7.故直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0. 母题探究　将本例中的条件“原点到直线的距离等于”改为“点M(2，1)，N(－3，1)到直线l的距离相等”，求直线l的方程． 解：因为点M(2，1)与点N(－3，1)到直线x＝－1的距离不相等，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由点M(2，1)与点N(－3，1)到直线l的距离相等，得＝，化简得k2＋2k＝0，解得k＝0或k＝－2.所以直线l的方程为y＝2或2x＋y＝0. (1)应用点到直线的距离公式时应注意的3个问题： ①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． ②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． ③对于直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． (2)用待定系数法求直线的方程时，首先考虑斜率不存在的情况是否满足题意． [跟踪训练1] (1)(2026·盐城期中)已知点(a，1)(a<0)到直线l：3x＋4y＋5＝0的距离为3，则a＝(　　) A．－2 B．－8 C．－2或－8 D．2 解析：选B．由点到直线的距离公式得3＝， 即|3a＋9|＝15，又a<0，所以a＝－8. (2)(2026·延庆期中)已知△ABC的三个顶点A(2，2)，B(2，0)，C(0，1)，则△ABC的边AC上的高的长度为________． 解析：由题意可得kAC＝＝，故直线AC的方程为y＝x＋1，即x－2y＋2＝0， 故△ABC的边AC上的高即为点B到直线AC的距离d＝＝. 答案： 知识点二　两条平行直线间的距离公式 思考1　点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式是什么？ 提示：d＝. 思考2　已知两条平行直线l1，l2，从l1上任取两点分别求到l2的距离，两个距离有什么关系？ 提示：相等． [知识梳理] 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝(其中A，B不全为0，且C1≠C2). [例2] (1)(对接教材例24)两条平行直线2x－y＋3＝0与4x－2y＋7＝0间的距离为(　　) A． B． C． D． (2)(多选)已知两条平行直线l1：x－y＋1＝0和l2：x－y＋m＝0之间的距离小于，则实数m的值可能为(　　) A．0 B．1 C．2 D．－1 【解析】　(1)方程2x－y＋3＝0变形为4x－2y＋6＝0，由两条平行直线间的距离公式可得所求距离d＝＝. (2)直线l1：x－y＋1＝0和l2：x－y＋m＝0平行，则m≠1，两条平行直线间距离<，解得－1<m<3且m≠1，故0和2符合要求. 【答案】　(1)A　(2)AC 求两条平行直线间的距离，一般是直接利用两条平行直线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，且A，B不全为0，C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等． [跟踪训练2] (1)已知两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为(　　) A．a＝2，d＝ B．a＝2，d＝ C．a＝－2，d＝ D．a＝－2，d＝ 解析：选B．因为直线2x－y＋3＝0与直线ax－y＋4＝0平行，所以－2＋a＝0，解得a＝2，所以两直线分别为2x－y＋3＝0和2x－y＋4＝0，所以d＝＝.故选B． (2)(多选)(2026·连云港期中)下列直线与直线l：x－y＋1＝0平行，且与它的距离为2的是(　　) A．x－y＋5＝0 B．x－y－5＝0 C．x－y－3＝0 D．x－y＋3＝0 解析：选AC．由题意，设与直线x－y＋1＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，m≠1，由两平行直线间的距离公式可得d＝＝2，解得m＝5或m＝－3，故所求直线方程为x－y＋5＝0或x－y－3＝0. 应用点　与距离有关的最值(范围)问题 [例3] (1)已知实数x，y满足4x－3y＋2＝0，则的最小值是(　　) A． B． C．1 D． (2)设m∈R，已知直线l1：(m＋2)x＋2my＋2－m＝0，过点(3，4)作直线l2，且l1∥l2，则直线l1与l2之间距离的最大值是(　　) A．1 B．2 C．5 D．8 【解】　(1)当取最小值时，即为点(1，1)到直线4x－3y＋2＝0的距离，为＝. (2)由直线l1：(m＋2)x＋2my＋2－m＝0，整理得(x＋2y－1)m＋2x＋2＝0，令解得 即直线l1恒过点(－1，1). 因为直线l2过点(3，4)，且l1∥l2， 则直线l1与l2之间的最大距离为点(－1，1)与点(3，4)间的距离，记为d， 即d＝＝5. 【答案】　(1)A　(2)C (1)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合． (2)利用式子的几何意义可以将一些最值问题转化为距离，通过数形结合或函数性质求解． [跟踪训练3] (1)若点P(－2，－1)到直线l：(1＋2λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离取最大值时，则λ＝________． 解析：直线方程可化为λ(2x＋y－4)＋(x＋y－2)＝0， 令解得 所以直线恒过点(2，0)，设为点A，即A(2，0)， |PA|为点P到直线l的最大距离，此时PA⊥l，且kPA＝，由斜率关系可得－·＝－1，解得λ＝－. 答案：－ (2)已知两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B同时旋转(旋转过程两条直线保持平行)，设两条平行直线间的距离为d. ①求d的取值范围； ②当d取最大值时，求两条直线的方程． 解：①如图所示，显然有0＜d≤|AB|， 而|AB|＝＝3， 故d的取值范围为(0，3 ]. ②当d取最大值时，两条平行直线都垂直于线段AB，所以k＝－＝－＝－3，故所求直线方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 1．(2026·泰州期中)直线l1：3x－4y＋2＝0与l2：3x－4y－5＝0上各有一动点P，Q，那么|PQ|的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析：选C．由直线l1：3x－4y＋2＝0与l2：3x－4y－5＝0，＝≠，所以l1∥l2.所以|PQ|的最小值就是两条平行线间的距离d＝＝. 2．(多选)已知点A(0，3)及直线l: x＋y－1＝0上一点B，则|AB|的值可能是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选BCD．易知点A(0，3)到直线l: x＋y－1＝0的距离d＝＝，所以|AB|≥，因此B，C，D选项符合题意． 3．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，则直线l的方程为________． 解析：设直线l的方程为2x－y＋c＝0(c≠3，c≠－1)，由两条平行线间的距离公式可得，＝，解得c＝1，所以直线l的方程为2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0 4．(教材P79 T11改编)在直线l：y＝x上求一点P，使得以A(1，3)，B(2，5)和P为顶点的三角形的面积为2. 解：易知直线AB的方程为y－3＝·(x－1)，化简得2x－y＋1＝0，|AB|＝＝. 由题意设点P(m，m)，则点P到直线AB的距离d＝＝， 故S△ABP＝·|AB|×d＝2，解得m＝－5或m＝3，则P(－5，－5)或P(3，3). 1．已学习：点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式． 2．须贯通：应用点到直线的距离公式与两平行直线间的距离公式解决问题时，常利用数形结合思想． 3．应注意：(1)在应用点到直线的距离公式时，特别注意直线的方程应为一般式； (2)在应用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别相同． 学科网（北京）股份有限公司 $