第1章 1.6 第2课时 点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

第2课时　点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式

知识点一　点到直线的距离公式

思考1　 什么是点到直线的距离？

提示：点到直线的距离是该点与直线上任一点的距离的最小值，也就是过该点向直线所引的垂线段的长度．

思考2　向量是解决空间距离问题的有力工具，如图所示，怎样用向量方法求点P到直线l的最短距离呢？

提示：从直线l上任取一点M，可以看作在直线l的垂线上的投影向量，求出的模即可．

[知识梳理]

点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝(其中A，B不全为0).

[例1] (对接教材例23)求过点A(－1，2)，且原点到直线的距离等于的直线方程．

【解】　由条件可知所求直线的斜率是存在的．设所求直线的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋2＋k＝0.由题意得＝，解得k＝－1或k＝－7.故直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0.

母题探究　将本例中的条件“原点到直线的距离等于”改为“点M(2，1)，N(－3，1)到直线l的距离相等”，求直线l的方程．

解：因为点M(2，1)与点N(－3，1)到直线x＝－1的距离不相等，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由点M(2，1)与点N(－3，1)到直线l的距离相等，得＝，化简得k2＋2k＝0，解得k＝0或k＝－2.所以直线l的方程为y＝2或2x＋y＝0.

(1)应用点到直线的距离公式时应注意的3个问题：

①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．

②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．

③对于直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．

(2)用待定系数法求直线的方程时，首先考虑斜率不存在的情况是否满足题意．

[跟踪训练1] (1)(2026·盐城期中)已知点(a，1)(a<0)到直线l：3x＋4y＋5＝0的距离为3，则a＝(　　)

A．－2 B．－8

C．－2或－8 D．2

解析：选B．由点到直线的距离公式得3＝，

即|3a＋9|＝15，又a<0，所以a＝－8.

(2)(2026·延庆期中)已知△ABC的三个顶点A(2，2)，B(2，0)，C(0，1)，则△ABC的边AC上的高的长度为________．

解析：由题意可得kAC＝＝，故直线AC的方程为y＝x＋1，即x－2y＋2＝0，

故△ABC的边AC上的高即为点B到直线AC的距离d＝＝.

答案：

知识点二　两条平行直线间的距离公式

思考1　点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式是什么？

提示：d＝.

思考2　已知两条平行直线l1，l2，从l1上任取两点分别求到l2的距离，两个距离有什么关系？

提示：相等．

[知识梳理]

两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝(其中A，B不全为0，且C1≠C2).

[例2] (1)(对接教材例24)两条平行直线2x－y＋3＝0与4x－2y＋7＝0间的距离为(　　)

A． B．  

C． D．

(2)(多选)已知两条平行直线l1：x－y＋1＝0和l2：x－y＋m＝0之间的距离小于，则实数m的值可能为(　　)

A．0 B．1  

C．2 D．－1